Markov - Kakutani sobit nuqta teoremasi - Markov–Kakutani fixed-point theorem

Yilda matematika, Markov - Kakutani sobit nuqta teoremasinomi bilan nomlangan Andrey Markov va Shizuo Kakutani, doimiy ravishda qatnovchi oilani ta'kidlaydi afinaviy o'z-o'zini xaritalar a ixcham konveks pastki to'plami a mahalliy konveks topologik vektor maydoni umumiy sobit nuqtaga ega.

Bayonot

Ruxsat bering E mahalliy konveks topologik vektor makoni bo'ling. Ruxsat bering C ning ixcham konveks pastki qismi bo'lishi E. Ruxsat bering S o'z-o'zini xaritalash uchun kommutatsiya oilasi bo'ling T ning C doimiy va afinali, ya'ni.T(tx +(1 – t)y) = tT(x) + (1 – t)T(y) uchun t [0,1] va x, y yilda C. Keyin xaritalar umumiy belgilangan nuqtaga egaC.

O'z-o'zini xaritaga tushirish uchun bitta affin

Ruxsat bering T doimiy ravishda o'z-o'zini xaritalash xaritasi bo'lishi C.

Uchun x yilda C ning boshqa elementlarini aniqlang C tomonidan

${ displaystyle x (N) = {1 over N + 1} sum _ {n = 0} ^ {N} T ^ {n} (x).}$

Beri C ixcham, konvergent subnet mavjud C:

${ displaystyle x (N_ {i}) rightarrow y. ,}$

Buni isbotlash uchun y belgilangan nuqta, buni ko'rsatish kifoya f(Ty) = f(y) har bir kishi uchun f dualda E(Ikkilik nuqtalarni Xahn-Banax teoremasi bilan ajratib turadi; bu erda mahalliy konveksiya taxminidan foydalaniladi).

Beri C ixcham, |f| chegaralangan C ijobiy doimiy M. Boshqa tarafdan

${ displaystyle | f (Tx (N)) - f (x (N)) | = {1 over N + 1} | f (T ^ {N + 1} x) -f (x) | leq { 2M ustidan N + 1}.}$

Qabul qilish N = N_men va limitga o'tish men cheksizlikka boradi, bundan kelib chiqadi

${ displaystyle f (Ty) = f (y). ,}$

Shuning uchun

${ displaystyle Ty = y. ,}$

Teoremaning isboti

Yagona afinali xaritalashning sobit nuqtalari to'plami T bo'sh bo'lmagan ixcham konveks to'plamidir C^T bitta xaritalash uchun natija bo'yicha. Oiladagi boshqa xaritalar S bilan borish T shuning uchun keting C^T o'zgarmas. Natijani ketma-ket bitta xaritalash uchun qo'llagan holda, har qanday sonli kichik to'plam kelib chiqadi S ixcham qavariq to'plamlarning kesishishi sifatida berilgan bo'sh bo'lmagan sobit nuqta to'plamiga ega C^T kabi T ichki to'plam oralig'ida. Dan ixchamlik ning C bu to'plamdan kelib chiqadi

${ displaystyle C ^ {S} = {y in C mid Ty = y, , T in S } = bigcap _ {T in S} C ^ {T} ,}$

bo'sh emas (va ixcham va konveks).

Adabiyotlar

• Markov, A. (1936), "Quelques théorèmes sur les ansambles abéliens", Dokl. Akad. Nauk SSSR, 10: 311–314
• Kakutani, S. (1938), "Ikki kompakt konveks to'plamlariga tegishli ikkita aniq nuqta teoremasi", Proc. Imp. Akad. Tokio, 14: 242–245
• Rid, M.; Simon, B. (1980), Funktsional tahlil, Matematik fizika usullari, 1 (2-tahrir qilingan tahr.), Academic Press, p. 152, ISBN  0-12-585050-6