Matchstick grafigi - Matchstick graph

Eng noyob kub gugurt cho'pni grafigi
Harbort grafigi
Harborth grafiği vector.svg
Vertices52
Qirralar104
Radius6
Diametri9
Atrof3
Grafiklar va parametrlar jadvali
3-gugurt cho'pni grafigi
Winkler 3-reg girth5 54.svg
Vertices54
Qirralar81
Atrof5
Grafiklar va parametrlar jadvali

Yilda geometrik grafik nazariyasi, matematikaning bir bo'limi, a gugurt cho'pni grafigi tekislikda shunday chizish mumkinki, uning qirralari uzunligi bir-biriga to'g'ri kelmaydigan uzunlikdagi chiziq bo'laklari bo'lsin. Ya'ni, bu bir vaqtning o'zida a bo'lgan joylashtirilgan grafik birlik masofa grafigi va a tekislik grafigi. Norasmiy ravishda gugurt cho'pni grafikalari o'zaro faoliyat bo'lmagan holda joylashtirilishi mumkin gugurt cho'plari tekis yuzaga, shuning uchun bu nom.[1]

Muntazam gugurt cho'pni grafikalari

Gugurt cho'pni grafikalari bo'yicha olib borilgan tadqiqotlarning ko'p qismi tegishli muntazam grafikalar, unda har bir tepalik bir xil miqdordagi qo'shnilarga ega. Ushbu raqamga daraja grafikning

Ma'lumki, har qanday darajada 4 gacha bo'lgan gugurt cho'pni grafikalari mavjud to'liq grafikalar bitta, ikkita va uchta tepaliklar bilan (bitta tepa, bitta qirra va uchburchak) barchasi gugurt cho'plar grafigi bo'lib, mos ravishda 0-, 1- va 2-tartibli. Eng kichigi 3 muntazam gugurt cho'pni grafigi ikki nusxada hosil bo'ladi olmos grafigi mos keladigan tepaliklar bir-biridan birlik masofada bo'ladigan tarzda joylashtirilgan; uning ikki tomonlama qopqoq 8-kesilgan prizma grafigi.[1]

1986 yilda, Heiko Harborth uning ismiga ega bo'lgan grafigini taqdim etdi Harbort grafigi. 104 qirrasi va 52 tepasi bilan 4- ning ma'lum bo'lgan eng kichik namunasimuntazam gugurt cho'pni grafigi.[2] Bu qattiq grafik.[3]

Har 4 ta muntazam gugurt chizig'i grafasida kamida 20 ta tepalik mavjud.[4] To'rtta muntazam gugurt cho'pni grafikalarining namunalari hozirda 53, 55, 56, 58, 59, 61 va 62 dan tashqari barcha vertikallar soni 52 uchun ma'lum. 54, 57, 65, 67, 73, 74, 77 va 85 ta tepalik birinchi marta 2016 yilda nashr etilgan. 52, 54, 57, 60 va 64 tepaliklar uchun faqat bitta misol ma'lum. Ushbu beshta grafikadan faqat bittasi tepalikka ega, qolgan to'rttasi qat'iy.[5]

Muntazam gugurt cho'pni grafigi to'rtdan katta darajaga ega bo'lishi mumkin emas.[4] Uchburchaklarsiz (muntazam g-4) 3 ta muntazam gugurt cho'pni grafigi 20 ta tepaga ega, buni Kurz va Mazzuoccolo isbotlagan.[6]3-muntazam gugurt chizig'ining 5-grafigining ma'lum bo'lgan eng kichik namunasi 54 ta tepalikka ega va Mayk Vinkler tomonidan birinchi marta 2019 yilda taqdim etilgan.[7]

Hisoblashning murakkabligi

Bu Qattiq-qattiq berilgan yo'naltirilmagan tekislik grafigini gugurt cho'poni grafigi sifatida amalga oshirish mumkinligini tekshirish.[8][9] Aniqrog'i, bu muammo to'liq uchun reallarning ekzistensial nazariyasi.[10] Kurz (2011) grafika gugurt cho'pni grafigi bo'lishi uchun osonlikcha sinovdan o'tgan zaruriy mezonlarni taqdim etadi, ammo bu ham etarli mezon emas: grafika Kurzning sinovlaridan o'tishi mumkin va hanuzgacha gugurt choyi grafigi bo'lmasligi mumkin.[11]

Bu ham To'liq emas gugurt choyi grafigida a borligini aniqlash uchun Gamilton tsikli, hatto grafik uchlari hammasi masala kiritilishining bir qismi sifatida berilgan butun son koordinatalariga ega bo'lsa ham.[12]

Kombinatorial sanab chiqish

Alohida (noizomorfik) gugurt cho'pni grafikalarining soni 1, 2, 3, ... o'n qirragacha ma'lum; ular:

1, 1, 3, 5, 12, 28, 74, 207, 633, 2008 (ketma-ketlik) A066951 ichida OEIS )[13][14]

Masalan, uchta gugurt cho'pi bilan tuzilishi mumkin bo'lgan uch xil grafikalar a tirnoq, a uchburchak grafigi va uch qirrali yo'l grafigi.

Grafiklarning maxsus sinflari

Uzoq uzunliklarning bir xilligi uzoq vaqtdan beri istalgan sifat sifatida ko'rib chiqilgan grafik rasm,[15] va ba'zi bir tekis planli grafikalar sinflarini har doim butunlay bir xil qirralar bilan chizish mumkin.

Har bir daraxt shunday chizish mumkinki, agar daraxtning barg qirralari cheksiz nurlar bilan almashtirilsa, chizma tekislikni hech qanday kesishmasdan, qavariq ko'pburchak mintaqalarga ajratadi. Bunday chizma uchun, agar har bir chekka uzunligi o'zboshimchalik bilan o'zgartirilsa, chekka qiyaligi o'zgarmasdan, chizma tekis bo'lib qoladi. Xususan, teng uzunlikka ega bo'lgan barcha qirralarni tanlash mumkin, natijada o'zboshimchalik bilan daraxt gugurt cho'ntagi grafigi sifatida amalga oshiriladi.[16]

A amalga oshirish kvadratchalar gugurt cho'pni grafigi sifatida

Shunga o'xshash xususiyat uchun amal qiladi kvadratchalar, tekislikda har bir chegaralangan yuz to'rtburchak bo'ladigan va har bir tepalik cheksiz yuzga yotadigan yoki kamida to'rtta qo'shnisi bo'ladigan tarzda chizish mumkin bo'lgan planar grafikalar. Ushbu grafikalar barcha yuzlar parallelogrammlari bilan chizilgan bo'lishi mumkin, shunda hammasi bir-biriga parallel bo'lgan qirralarning pastki qismi bir vaqtning o'zida uzaytirilsa yoki qisqartirilsin, shunda hammasi bir xil uzunlikda davom etsin, u holda hech qanday kesishish mumkin emas. Xususan, qirralarning hammasi bir xil uzunlikka ega bo'lishi uchun ularni normalizatsiya qilish va har qanday kvadratografni gugurt cho'pni grafigi sifatida amalga oshirish mumkin.[17]

Tegishli grafikalar sinflari

Har bir gugurt cho'pni grafigi birlik masofa grafigi.Penny grafikalari bir-biriga to'g'ri kelmaydigan birlik doiralarining tanjanslari bilan ifodalanishi mumkin bo'lgan grafikalar. Har bir tiyin grafigi gugurt cho'pni grafigi. Biroq, ba'zi gugurt cho'plar grafikalari (masalan, birinchi rasmning sakkizta vertex kubik gugurt cho'pni grafigi) bir tiyinli grafikalar emas, chunki ularni gugurt choyi grafigi sifatida anglash ba'zi qo'shni bo'lmagan tepaliklarni bir-birlariga birlik masofasidan yaqinroq bo'lishiga olib keladi.

Adabiyotlar

  1. ^ a b Vayshteyn, Erik V. "Matchstick grafigi". MathWorld.
  2. ^ Xarbort, Xeyko (1994), "Uchrashuv tayoqlari samolyotda", Gayda, R. K .; Woodrow, R. E. (tahr.), Matematikaning engil tomoni: Eugéne Strens yodgorlik matematikasi va uning tarixi memorial konferentsiyasining materiallari, Kalgari, Kanada, 1986, Vashington, DC: Amerika matematik assotsiatsiyasi, 281-288 betlar. Qabul qilinganidek: Vayshteyn, Erik V. "Matchstick grafigi". MathWorld.
  3. ^ Gerbraxt, Eberxard H.-A. (2011), "Harbort grafigini ramziy ravishda buzish", Amaliy matematikaning yutuqlari, 47 (2): 276–281, doi:10.1016 / j.aam.2010.09.003, JANOB  2803803. Qo'shimcha ma'lumot uchun Gerbraxtning avvalgi "Harbort grafigi koordinatalari uchun minimal polinomlar" (2006), arXiv: matematik / 0609360.
  4. ^ a b Kurz, Sascha; Pinchasi, Rom (2011), "Muntazam gugurt cho'pni grafikalari", Amerika matematik oyligi, 118 (3): 264–267, arXiv:1401.4372, doi:10.4169 / amer.math.monthly.118.03.264, JANOB  2800336.
  5. ^ Vinkler, Mayk; Dinkelacker, Piter; Vogel, Stefan (2017), "Yangi minimal (4; n) - muntazam gugurt cho'pon grafikalari", Geombinatorika, 27: 26–44, arXiv:1604.07134.
  6. ^ Kurz, Sascha; Mazzuoccolo, Juzeppe (2010), "atrofi berkitilgan 3 ta muntazam gugurt cho'pni grafigi", Geombinatorika, 19: 156–175, arXiv:1401.4360.
  7. ^ Vinkler, Mayk; Dinkelacker, Piter; Vogel, Stefan (2020), "54 ta vertikaldan iborat 5-gachasi 3 ta muntazam gugurt chizig'i grafigi", Geombinatorika, 29: 116–121, arXiv:1903.04304.
  8. ^ Eades, Butrus; Vormald, Nikolay C. (1990), "Belgilangan chekka uzunlikdagi chizma NP-qattiq", Diskret amaliy matematika, 28 (2): 111–134, doi:10.1016 / 0166-218X (90) 90110-X.
  9. ^ Kabello, Serxio; Demain, Erik D.; Rote, Gyunter (2007), "Belgilangan chekka uzunlikdagi grafiklarning tekis joylashtirilishi" (PDF), Grafik algoritmlari va ilovalari jurnali, 11 (1): 259–276, doi:10.7155 / jgaa.00145.
  10. ^ Hobil, Zakari; Demain, Erik D.; Demain, Martin L.; Eyzenstat, Sara; Linch, Jeyson; Schardl, Tao B. (2016), "o'tish joylari kimga kerak? Tekislik grafigi qat'iyligining qattiqligi", Sanekordagi Fekete shahrida; Lubiv, Anna (tahr.), Hisoblash geometriyasi bo'yicha 32-chi xalqaro simpozium (SoCG 2016), Leybnits Xalqaro Informatika Ishlari (LIPIcs), 51, Dagstuhl, Germaniya: Schloss Dagstuhl – Leibniz-Zentrum fuer Informatik, 3-bet: 1-3: 15, doi:10.4230 / LIPIcs.SoCG.2016.3, ISBN  978-3-95977-009-5.
  11. ^ Kurz, Sascha (2011), "Yassi bo'lmagan masofaviy grafikalarni tez tanib olish", Geombinatorika, 21 (1): 25–33, arXiv:1401.4375, JANOB  2858668.
  12. ^ Itay, Alon; Papadimitriou, Xristos H.; Svartsfiter, Jeym Luiz (1982), "Gril grafikalaridagi Xemilton yo'llari", Hisoblash bo'yicha SIAM jurnali, 11 (4): 676–686, doi:10.1137/0211056, JANOB  0677661.
  13. ^ Salviya, Raffaele (2013), Gugurt cho'pni grafikalari uchun katalog, arXiv:1303.5965
  14. ^ Vaisse, Aleksis (2015). "Matchstick grafikalari 10 qirragacha".
  15. ^ Fruchterman, Tomas M. J.; Reingold, Edvard M. (1991), "Zo'rlik bilan joylashtirish orqali grafik chizish", Dasturiy ta'minot - Amaliyot va tajriba, Vili, 21 (11): 1129–1164, doi:10.1002 / spe.4380211102.
  16. ^ Karlson, Yo'shiya; Eppshteyn, Devid (2006), "Qavariq yuzlari va optimal burchaklari bo'lgan daraxtlar", Kaufmanda, Maykl; Vagner, Doroteya (tahr.), Grafika chizish bo'yicha 14-xalqaro simpozium materiallari, Kompyuter fanidan ma'ruza matnlari, 4372, Springer-Verlag, 77–88-betlar, arXiv:cs.CG/0607113, doi:10.1007/978-3-540-70904-6_9, ISBN  978-3-540-70903-9, JANOB  2393907.
  17. ^ Eppshteyn, Devid; Wortman, Kevin A. (2011), "Yuz nosimmetrik chizmalar uchun optimal burchak o'lchamlari", Grafik algoritmlari va ilovalari jurnali, 15 (4): 551–564, arXiv:0907.5474, doi:10.7155 / jgaa.00238.