Matritsa normasi - Matrix norm

Yilda matematika, a matritsa normasi a vektor normasi elementlari (vektorlari) bo'lgan vektor makonida matritsalar (berilgan o'lchamlar bo'yicha).

Ta'rif

Berilgan maydon ${ displaystyle K}$ ikkalasining ham haqiqiy yoki murakkab sonlar, va vektor maydoni ${ displaystyle K ^ {m times n}}$ o'lchamdagi barcha matritsalardan ${ displaystyle m marta n}$ (bilan ${ displaystyle m}$ qatorlar va ${ displaystyle n}$ ustunlar) maydonidagi yozuvlar bilan ${ displaystyle K}$, matritsa normasi a norma vektor makonida ${ displaystyle K ^ {m times n}}$ (foydalanish bilan belgilangan individual normalar bilan ikkita vertikal chiziqlar kabi ${ displaystyle | A |}$^[1]). Shunday qilib, matritsa normasi a funktsiya ${ displaystyle | cdot |: K ^ {m times n} to mathbb {R}}$ bu quyidagi xususiyatlarga javob berishi kerak:^[2][3]

Barcha skalar uchun ${ displaystyle alpha in K}$ va barcha matritsalar uchun ${ displaystyle A, B in K ^ {m marta n}}$,

• ${ displaystyle | alfa A | = | alfa | | A |}$ (bo'lish mutlaqo bir hil)
• ${ displaystyle | A + B | leq | A | + | B |}$ (bo'lish pastki qo'shimchalar yoki qoniqtiradigan uchburchak tengsizligi)
• ${ displaystyle | A | geq 0}$ (bo'lish ijobiy baholangan)
• ${ displaystyle | A | = 0 iff A = 0_ {m, n}}$ (bo'lish aniq)

Bundan tashqari, taqdirda kvadrat matritsalar (bilan matritsalar m = n), ba'zi (lekin barchasi ham) matritsa me'yorlari quyidagi shartni qondiradi, bu matritsalar faqat vektorlardan ko'proq ekanligi bilan bog'liq:^[2]

• ${ displaystyle | AB | leq | A | | B |}$ barcha matritsalar uchun ${ displaystyle A}$ va ${ displaystyle B}$ yilda ${ displaystyle K ^ {n marta n}.}$

Ushbu qo'shimcha xususiyatni qondiradigan matritsa normasi a deb ataladi submultiplikativ norma^[4][3] (ba'zi kitoblarda terminologiya matritsa normasi submultiplicative bo'lgan me'yorlar uchungina qo'llaniladi^[5]). Hammasi to'plami ${ displaystyle n times n}$ matritsalar, bunday submultiplikativ me'yor bilan birgalikda, a ga misoldir Banach algebra.

Submultiplikativlikning ta'rifi ba'zida induktsiyadagi kabi kvadrat bo'lmagan matritsalarga ham uzatiladi. p-norm, qaerda ${ displaystyle A {K} ^ {m times n}} da$ va ${ displaystyle B {K} ^ {n marta k}} da$ buni ushlab turadi ${ displaystyle | AB | _ {q} leq | A | _ {p} | B | _ {q}}$. Bu yerda, ${ displaystyle | cdot | _ {p}}$ va ${ displaystyle | cdot | _ {q}}$ dan kelib chiqqan normalar ${ displaystyle K ^ {p}}$ va ${ displaystyle K ^ {q}}$navbati bilan, qaerda p,q ≥ 1.

Quyida ko'rib chiqiladigan matritsa me'yorlarining uch turi mavjud:

• Matritsa me'yorlari vektor normalari bilan indüklenen
• Kirish matritsasi normalari va
• Schatten normalari.

Vektorli normalar tomonidan induktsiya qilingan matritsa normalari

Aytaylik vektor normasi ${ displaystyle | cdot |}$ kuni ${ displaystyle K ^ {m}}$ berilgan. Har qanday ${ displaystyle m marta n}$ matritsa A dan chiziqli operatorni chaqiradi ${ displaystyle K ^ {n}}$ ga ${ displaystyle K ^ {m}}$ standart bazaga nisbatan, va biri mos keladiganni belgilaydi induktsiya qilingan norma yoki operator normasi kosmosda ${ displaystyle K ^ {m times n}}$ hammasidan ${ displaystyle m marta n}$ matritsalar quyidagicha:

${ displaystyle { begin {aligned} | A | & = sup { | Ax |: x in K ^ {n} { text {with}} | x | = 1 } & = sup left {{ frac { | Ax |} { | x |}}: x in K ^ {n} { text {with}} x neq 0 right }. end {hizalangan}}}$

Xususan, agar p- vektorlar uchun norm (1 ≤ p ≤ ∞) ikkala bo'shliq uchun ishlatiladi ${ displaystyle K ^ {n}}$ va ${ displaystyle K ^ {m}}$, keyin tegishli induksiya operator normasi bu:^[3]

${ displaystyle | A | _ {p} = sup _ {x neq 0} { frac { | Ax | _ {p}} { | x | _ {p}}}.}$

Ushbu induktsiya me'yorlari quyidagilardan farq qiladi "kirish usuli bilan" p-norms va Shatten p-norms odatda quyida keltirilgan matritsalar uchun ${ displaystyle | A | _ {p}.}$

Eslatma: Yuqoridagi tavsif quyidagilarga tegishli induktsiya qilingan operator normasi "ketish joyida" xuddi shu vektor normasidan foydalanilganda ${ displaystyle K ^ {n}}$ va "kelish maydoni" ${ displaystyle K ^ {m}}$ operatorning ${ displaystyle A in K ^ {m times n}}$. Bu zaruriy cheklov emas. Odatda, norma berilgan ${ displaystyle | cdot | _ { alfa}}$ kuni ${ displaystyle K ^ {n}}$ va norma ${ displaystyle | cdot | _ { beta}}$ kuni ${ displaystyle K ^ {m}}$, matritsa normasini belgilash mumkin ${ displaystyle K ^ {m times n}}$ ushbu me'yorlar asosida:

${ displaystyle | A | _ { alfa, beta} = max _ {x neq 0} { frac { | Ax | _ { beta}} { | x | _ { alfa}}}.}$

Matritsa normasi ${ displaystyle | A | _ { alfa, beta}}$ ba'zan bo'ysunuvchi norma deb ham ataladi. Subordinatsion me'yorlar ularni keltirib chiqaradigan me'yorlarga mos keladi

${ displaystyle | Ax | _ { beta} leq | A | _ { alfa, beta} | x | _ { alpha}.}$

Har qanday induktsiya qilingan operator normasi submultiplikativ matritsa normasidir: ${ displaystyle | AB | leq | A | | B |;}$ bu quyidagidan kelib chiqadi

${ displaystyle | ABx | leq | A | | Bx | leq | A | | B | | x |}$

va

${ displaystyle max _ { | x | = 1} | ABx | = | AB |.}$

Bundan tashqari, har qanday induktsiya qilingan me'yor tengsizlikni qondiradi

${ displaystyle | A ^ {r} | ^ {1 / r} geq rho (A) quad}$ (1)

qayerda r (A) bo'ladi spektral radius ning A. Uchun nosimmetrik yoki hermitchi A, bizda tenglik mavjud (1) 2-norma uchun, chunki bu holda 2-norma bu ning spektral radiusi A. Ixtiyoriy matritsa uchun bizda biron bir me'yor uchun tenglik bo'lmasligi mumkin; qarshi misol bo'ladi

${ displaystyle A = { begin {bmatrix} 0 & 1 0 & 0 end {bmatrix}},}$

yo'qolib borayotgan spektral radiusga ega. Har qanday holatda, kvadrat matritsalar uchun bizda spektral radius formulasi:

${ displaystyle lim _ {r to infty} | A ^ {r} | ^ {1 / r} = rho (A).}$

Maxsus holatlar

Maxsus holatlarda ${ displaystyle p = 1,2, infty,}$ induktsiya qilingan matritsa normalarini hisoblash yoki taxmin qilish mumkin

${ displaystyle | A | _ {1} = max _ {1 leq j leq n} sum _ {i = 1} ^ {m} | a_ {ij} |,}$

bu shunchaki matritsaning maksimal ustun ustun yig'indisi;

${ displaystyle | A | _ { infty} = max _ {1 leq i leq m} sum _ {j = 1} ^ {n} | a_ {ij} |,}$

bu shunchaki matritsaning maksimal maksimal satr yig'indisi;

${ displaystyle | A | _ {2} = sigma _ { max} (A),}$

qayerda ${ displaystyle sigma _ { max} (A)}$ matritsaning eng katta birlik qiymatini ifodalaydi ${ displaystyle A}$. Ish uchun muhim tengsizlik mavjud ${ displaystyle p = 2}$:

${ displaystyle | A | _ {2} = sigma _ { max} (A) leq | A | _ { rm {F}} = left ( sum _ {i = 1} ^ {m} sum _ {j = 1} ^ {n} | a_ {ij} | ^ {2} o'ng) ^ { frac {1} {2}},}$

qayerda ${ displaystyle | A | _ { rm {F}}}$ bo'ladi Frobenius normasi. Agar matritsa bo'lsa, tenglik amal qiladi ${ displaystyle A}$ bir darajali matritsa yoki nol matritsa. Ushbu tengsizlikni matritsaning izi uning o'ziga xos qiymatlari yig'indisiga teng bo'lishidan kelib chiqishi mumkin.

Qachon ${ displaystyle p = 2}$ uchun ekvivalent ta'rifimiz bor ${ displaystyle | A | _ {2}}$ kabi ${ displaystyle sup {x ^ {T} Ay: x, y in K ^ {n} { text {with}} | x | _ {2} = | y | _ {2} = 1 }}$. Dan foydalanib, yuqoridagi ta'riflarga teng ekanligini ko'rsatish mumkin Koshi-Shvarts tengsizligi.

Masalan, uchun

${ displaystyle A = { begin {bmatrix} -3 & 5 & 7 2 & 6 & 4 0 & 2 & 8 end {bmatrix}},}$

bizda shunday

${ displaystyle | A | _ {1} = max (| {-3} | + 2 + 0; 5 + 6 + 2; 7 + 4 + 8) = max (5,13,19) = 19,}$

${ displaystyle | A | _ { infty} = max (| {-3} | + 5 + 7; 2 + 6 + 4; 0 + 2 + 8) = max (15,12,10) = 15.}$

Maxsus holatda ${ displaystyle p = 2}$ (the Evklid normasi yoki ${ displaystyle ell _ {2}}$-vektorlar uchun norm), induksiya qilingan matritsa normasi bu spektral norma. Matritsaning spektral normasi ${ displaystyle A}$ eng kattasi birlik qiymati ning ${ displaystyle A}$ (ya'ni eng kattasining kvadrat ildizi o'ziga xos qiymat matritsaning ${ displaystyle A ^ {*} A}$, qayerda ${ displaystyle A ^ {*}}$ belgisini bildiradi konjugat transpozitsiyasi ning ${ displaystyle A}$):^[6]

${ displaystyle | A | _ {2} = { sqrt { lambda _ { max} chap (A ^ {*} A o'ng)}} = sigma _ { max} (A). }$

Ushbu holatda, ${ displaystyle | A ^ {*} A | _ {2} = | AA ^ {*} | _ {2} = | A | _ {2} ^ {2}}$ beri ${ displaystyle | A ^ {*} A | _ {2} = sigma _ { max} (A ^ {*} A) = sigma _ { max} (A) ^ {2} = | A | _ {2} ^ {2}}$ va shunga o'xshash ${ displaystyle | AA ^ {*} | _ {2} = | A | _ {2} ^ {2}}$ tomonidan yagona qiymat dekompozitsiyasi (SVD).

"Kirish" matritsasi normalari

Ushbu me'yorlar an ${ displaystyle m marta n}$ matritsa kattaligi vektori sifatida ${ displaystyle m cdot n}$va tanish bo'lgan vektor me'yorlaridan birini qo'llang. Masalan, yordamida p- vektorlar uchun norma, p ≥ 1, biz olamiz:

${ displaystyle | A | _ {p, p} = | mathrm {vec} (A) | _ {p} = left ( sum _ {i = 1} ^ {m} sum _ {j = 1} ^ {n} | a_ {ij} | ^ {p} o'ng) ^ {1 / p}}$

Bu induktsiyadan boshqacha me'yor p-norm (yuqoriga qarang) va Shatten p-norm (pastga qarang), lekin yozuv bir xil.

Maxsus ish p = 2 Frobenius normasi va p = ∞ maksimal normani beradi.

L_2,1 va L_{p, q} normalar

Ruxsat bering ${ displaystyle (a_ {1}, ldots, a_ {n})}$ matritsaning ustunlari bo'ling ${ displaystyle A}$. The ${ displaystyle L_ {2,1}}$ norma^[7] matritsa ustunlari evklid normalarining yig'indisi:

${ displaystyle | A | _ {2,1} = sum _ {j = 1} ^ {n} | a_ {j} | _ {2} = sum _ {j = 1} ^ { n} chap ( sum _ {i = 1} ^ {m} | a_ {ij} | ^ {2} o'ng) ^ { frac {1} {2}}}$

The ${ displaystyle L_ {2,1}}$ xato funktsiyasi sifatida norma yanada kuchliroqdir, chunki har bir ma'lumot nuqtasi (ustun) uchun kvadrat to'rtburchak emas. Bu ishlatiladi ma'lumotlarni ishonchli tahlil qilish va siyrak kodlash.

Uchun p, q ≥ 1, ${ displaystyle L_ {2,1}}$ normani umumlashtirilishi mumkin ${ displaystyle L_ {p, q}}$ norma quyidagicha:

${ displaystyle | A | _ {p, q} = left ( sum _ {j = 1} ^ {n} left ( sum _ {i = 1} ^ {m} | a_ {ij} | ^ {p} right) ^ { frac {q} {p}} right) ^ { frac {1} {q}}.}$

Frobenius normasi

Qachon p = q = 2 uchun ${ displaystyle L_ {p, q}}$ norma, deyiladi Frobenius normasi yoki Hilbert-Shmidt normasigarchi oxirgi atama operatorlar kontekstida tez-tez ishlatilsa ham (ehtimol cheksiz o'lchovli) Hilbert maydoni. Ushbu me'yorni turli yo'llar bilan aniqlash mumkin:

${ displaystyle | A | _ { text {F}} = { sqrt { sum _ {i = 1} ^ {m} sum _ {j = 1} ^ {n} | a_ {ij} | ^ {2}}} = { sqrt { operator nomi {trace} chap (A ^ {*} A o'ng)}} = { sqrt { sum _ {i = 1} ^ { min { m, n }} sigma _ {i} ^ {2} (A)}},}$

qayerda ${ displaystyle sigma _ {i} (A)}$ ular birlik qiymatlari ning ${ displaystyle A}$. Eslatib o'tamiz izlash funktsiyasi kvadrat matritsaning diagonal yozuvlari yig'indisini qaytaradi.

Frobenius normasi Evklid normasining kengayishi ${ displaystyle K ^ {n times n}}$ va keladi Frobenius ichki mahsuloti barcha matritsalar maydonida.

Frobenius normasi submultiplikativ hisoblanadi va bu uchun juda foydali raqamli chiziqli algebra. Frobenius normasining submultiplikativligi yordamida isbotlanishi mumkin Koshi-Shvarts tengsizligi.

Frobenius me'yorini induktsiya qilingan me'yorlarga qaraganda tez-tez hisoblash osonroq va o'zgarmas bo'lish foydali xususiyatiga ega aylanishlar (va unitar umuman operatsiyalar). Anavi, ${ displaystyle | A | _ { text {F}} = | AU | _ { text {F}} = | UA | _ { text {F}}}$ har qanday unitar matritsa uchun ${ displaystyle U}$. Ushbu xususiyat izning tsiklik xususiyatidan kelib chiqadi (${ displaystyle operator nomi {trace} (XYZ) = operator nomi {trace} (ZXY)}$):

${ displaystyle | AU | _ { text {F}} ^ {2} = operatorname {trace} left ((AU) ^ {*} AU right) = operatorname {trace} left (U ^ {*} A ^ {*} AU o'ng) = operator nomi {trace} chap (UU ^ {*} A ^ {*} A o'ng) = operator nomi {trace} chap (A ^ {*} A o'ng) = | A | _ { text {F}} ^ {2},}$

va shunga o'xshash:

${ displaystyle | UA | _ { text {F}} ^ {2} = operatorname {trace} left ((UA) ^ {*} UA right) = operatorname {trace} left (A ^ {*} U ^ {*} UA o'ng) = operator nomi {trace} chap (A ^ {*} A o'ng) = | A | _ { text {F}} ^ {2}, }$

qaerda biz unitar tabiatdan foydalanganmiz ${ displaystyle U}$ (anavi, ${ displaystyle U ^ {*} U = UU ^ {*} = mathbf {I}}$).

Bu ham qoniqtiradi

${ displaystyle | A ^ {*} A | _ { text {F}} = | AA ^ {*} | _ { text {F}} leq | A | _ { text {F}} ^ {2}}$

va

${ displaystyle | A + B | _ { text {F}} ^ {2} = | A | _ { text {F}} ^ {2} + | B | _ { text {F}} ^ {2} +2 langle A, B rangle _ { text {F}},}$

qayerda ${ displaystyle langle A, B rangle _ { text {F}}}$ bo'ladi Frobenius ichki mahsuloti.

Maksimal norma

The maksimal norma elementar normadir p = q = ∞:

${ displaystyle | A | _ { max} = max _ {ij} | a_ {ij} |.}$

Bu norma emas submultiplikativ.

E'tibor bering, ba'zi adabiyotlarda (masalan Muloqotning murakkabligi ), shuningdek, max-normaning muqobil ta'rifi ${ displaystyle gamma _ {2}}$-norm, faktorizatsiya normasiga ishora qiladi:

${ displaystyle gamma _ {2} (A) = min _ {U, V: A = UV ^ {T}} | U | _ {2, infty} | V | _ {2, infty} = min _ {U, V: A = UV ^ {T}} max _ {i, j} | U_ {i,:} | _ {2} | V_ {j ,:} | _ {2}}$

Schatten normalari

Shatten pqo'llash paytida normalar paydo bo'ladi p- ning vektoriga nisbatan norma birlik qiymatlari matritsaning^[3] Agar $ ning birlik qiymatlari bo'lsa ${ displaystyle m marta n}$ matritsa ${ displaystyle A}$ bilan belgilanadi σ_men, keyin Shatten p-norm tomonidan belgilanadi

${ displaystyle | A | _ {p} = chap ( sum _ {i = 1} ^ { min {m, n }} sigma _ {i} ^ {p} (A) o'ng) ^ { frac {1} {p}}.}$

Ushbu me'yorlar yana yozuvlarni induktsiya qilingan va kiritiladigan usul bilan taqsimlaydi p-normlar, lekin ular har xil.

Shattenning barcha me'yorlari submultiplikativdir. Ular, shuningdek, birma-bir o'zgarmasdir, bu shuni anglatadiki ${ displaystyle | A | = | UAV |}$ barcha matritsalar uchun ${ displaystyle A}$ va barchasi unitar matritsalar ${ displaystyle U}$ va ${ displaystyle V}$.

Eng tanish holatlar p = 1, 2, p. Ish p = 2 oldin kiritilgan Frobenius normasini beradi. Ish p = Spektral normani beradi, bu 2-norma vektori tomonidan induktor qilingan operator normasi (yuqoriga qarang). Nihoyat, p = 1 hosil qiladi yadro normasi (shuningdek,. nomi bilan ham tanilgan iz normasiyoki Ky Fan 'n'-norma^[8]) sifatida belgilanadi

${ displaystyle | A | _ {*} = operator nomi {trace} chap ({ sqrt {A ^ {*} A}} o'ng) = sum _ {i = 1} ^ { min {m, n }} sigma _ {i} (A),}$

qayerda ${ displaystyle { sqrt {A ^ {*} A}}}$ ijobiy yarim yarim matritsani bildiradi ${ displaystyle B}$ shu kabi ${ displaystyle BB = A ^ {*} A}$. Aniqrog'i, beri ${ displaystyle A ^ {*} A}$ a ijobiy yarim yarim matritsa, uning kvadrat ildiz aniq belgilangan. Yadro normasi ${ displaystyle | A | _ {*}}$ a qavariq konvert daraja funktsiyasining ${ displaystyle { text {rank}} (A)}$, shuning uchun u ko'pincha ishlatiladi matematik optimallashtirish past darajadagi matritsalarni qidirish.

Muvofiq me'yorlar

Matritsa normasi ${ displaystyle | cdot |}$ kuni ${ displaystyle K ^ {m times n}}$ deyiladi izchil vektor normasi bilan ${ displaystyle | cdot | _ {a}}$ kuni ${ displaystyle K ^ {n}}$ va vektor normasi ${ displaystyle | cdot | _ {b}}$ kuni ${ displaystyle K ^ {m}}$, agar:

${ displaystyle | Ax | _ {b} leq | A | | x | _ {a}}$

Barcha uchun ${ displaystyle A in K ^ {m times n}, x in K ^ {n}}$. Barcha induktsiya qilingan me'yorlar ta'rifi bo'yicha izchil.

Muvofiq me'yorlar

Matritsa normasi ${ displaystyle | cdot |}$ kuni ${ displaystyle K ^ {n times n}}$ deyiladi mos vektor normasi bilan ${ displaystyle | cdot | _ {a}}$ kuni ${ displaystyle K ^ {n}}$, agar:

${ displaystyle | Ax | _ {a} leq | A | | x | _ {a}}$

Barcha uchun ${ displaystyle A in K ^ {n times n}, x in K ^ {n}}$. Induktsiya qilingan normalar ta'rifi bo'yicha induktor vektor normasiga mos keladi.

Normalarning ekvivalentligi

Har qanday ikkita matritsa normasi uchun ${ displaystyle | cdot | _ { alfa}}$ va ${ displaystyle | cdot | _ { beta}}$, bizda shunday:

${ displaystyle r | A | _ { alfa} leq | A | _ { beta} leq s | A | _ { alpha}}$

ba'zi ijobiy raqamlar uchun r va s, barcha matritsalar uchun ${ displaystyle A in K ^ {m times n}}$. Boshqacha qilib aytganda, barcha normalar ${ displaystyle K ^ {m times n}}$ bor teng; ular xuddi shu narsani keltirib chiqaradi topologiya kuni ${ displaystyle K ^ {m times n}}$. Bu to'g'ri, chunki vektor maydoni ${ displaystyle K ^ {m times n}}$ cheklangan o'lchov ${ displaystyle m marta n}$.

Bundan tashqari, har bir vektor normasi uchun ${ displaystyle | cdot |}$ kuni ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n times n}}$, noyob ijobiy haqiqiy raqam mavjud ${ displaystyle k}$ shu kabi ${ displaystyle l | cdot |}$ har bir kishi uchun submultiplikativ matritsa normasi ${ displaystyle l geq k}$.

Submultiplikativ matritsa normasi ${ displaystyle | cdot | _ { alfa}}$ deb aytilgan minimal, agar boshqa submultiplikativ matritsa normasi bo'lmasa ${ displaystyle | cdot | _ { beta}}$ qoniqarli ${ displaystyle | cdot | _ { beta} < | cdot | _ { alpha}}$.

Norma ekvivalentligiga misollar

Ruxsat bering ${ displaystyle | A | _ {p}}$ yana bir bor vektor tomonidan induktsiya qilingan normaga murojaat qiling p-norm (yuqoridagi kabi induktsiya qilingan normada).

Matritsa uchun ${ displaystyle A in mathbb {R} ^ {m times n}}$ ning daraja ${ displaystyle r}$, quyidagi tengsizliklar mavjud:^[9][10]

• ${ displaystyle | A | _ {2} leq | A | _ {F} leq { sqrt {r}} | A | _ {2}}$
• ${ displaystyle | A | _ {F} leq | A | _ {*} leq { sqrt {r}} | A | _ {F}}$
• ${ displaystyle | A | _ { max} leq | A | _ {2} leq { sqrt {mn}} | A | _ { max}}$
• ${ displaystyle { frac {1} { sqrt {n}}} | A | _ { infty} leq | A | _ {2} leq { sqrt {m}} | A | _ { infty}}$
• ${ displaystyle { frac {1} { sqrt {m}}} | A | _ {1} leq | A | _ {2} leq { sqrt {n}} | A | _ {1}.}$

Matritsa me'yorlari orasidagi yana bir foydali tengsizlik

${ displaystyle | A | _ {2} leq { sqrt { | A | _ {1} | A | _ { infty}}},}$

bu alohida holat Xolderning tengsizligi.

Shuningdek qarang

• Ikkala norma
• Logaritmik norma

Adabiyotlar

Bibliografiya

• Jeyms V. Demmel, Amaliy raqamli chiziqli algebra, 1.7-bo'lim, SIAM tomonidan nashr etilgan, 1997 y.
• Karl D. Meyer, Matritsa tahlili va amaliy chiziqli algebra, SIAM tomonidan nashr etilgan, 2000 y. [1]
• Jon Uotroz, Kvant ma'lumotlari nazariyasi, 2.3 Operatorlarning me'yorlari, ma'ruza matnlari, Vaterloo universiteti, 2011 y.
• Kendall Atkinson, Raqamli tahlilga kirish, John Wiley & Sons tomonidan nashr etilgan, Inc 1989