Metaplektik tuzilish - Metaplectic structure - Wikipedia

Yilda differentsial geometriya, a metaplektik tuzilish bo'ladi simpektik analogi spin tuzilishi kuni yo'naltirilgan Riemann manifoldlari. A ustidagi metaplektik tuzilish simpektik manifold ni aniqlashga imkon beradi simpektik spinor to'plami, bu Hilbert maydoni metaplektik tasvir orqali metaplektik tuzilishga bog'langan to'plam, a tushunchasini keltirib chiqaradi simpektik spinor maydoni differentsial geometriyada.

Simpektik spin tuzilmalari keng qo'llanmalarga ega matematik fizika, xususan kvant maydon nazariyasi bu erda ular simpektik spin geometriyasi va simpektik Dirac operatorlari simpektik geometriya va simpektik topologiyada qimmatli vositalar berishi mumkin degan g'oyani asoslashda muhim ahamiyatga ega. Ular nafaqat matematik qiziqish uyg'otadi differentsial geometriya, algebraik topologiya va K nazariyasi. Ular simpektik spin geometriyasi uchun asos yaratadi.

Rasmiy ta'rif

A metaplektik tuzilish ^[1] a simpektik manifold ${ displaystyle (M, omega)}$ bu ekvariant ko'tarish simpektik ramka to'plami ${ displaystyle pi _ { mathbf {R}} nuqta { mathbf {R}} dan M ,} gacha$ ikki qavatli qoplamaga nisbatan ${ displaystyle rho colon { mathrm {Mp}} (n, { mathbb {R}}) to { mathrm {Sp}} (n, { mathbb {R}}). ,}$ Boshqacha qilib aytganda, juftlik ${ displaystyle ({ mathbf {P}}, F _ { mathbf {P}})}$ a asosiy to'plamdagi metaplektik tuzilish ${ displaystyle pi _ { mathbf {R}} nuqta { mathbf {R}} dan M ,} gacha$ qachon

a) ${ displaystyle pi _ { mathbf {P}} colon { mathbf {P}} to M ,}$ asosiy hisoblanadi ${ displaystyle { mathrm {Mp}} (n, { mathbb {R}})}$- to'plam ${ displaystyle M}$,

b) ${ displaystyle F _ { mathbf {P}} colon { mathbf {P}} to { mathbf {R}} ,}$ bu ekvariant ${ displaystyle 2}$- katlama qoplama xaritasi shu kabi

${ displaystyle pi _ { mathbf {R}} circ F _ { mathbf {P}} = pi _ { mathbf {P}}}$ va ${ displaystyle F _ { mathbf {P}} ({ mathbf {p}} q) = F _ { mathbf {P}} ({ mathbf {p}}) rho (q)}$ Barcha uchun ${ displaystyle { mathbf {p}} in { mathbf {P}}}$ va ${ displaystyle q in { mathrm {Mp}} (n, { mathbb {R}}).}$

Asosiy to'plam ${ displaystyle pi _ { mathbf {P}} colon { mathbf {P}} to M ,}$ to'plami ham deyiladi metaplektik ramkalar ustida ${ displaystyle M}$.

Ikki metaplektik tuzilish ${ displaystyle ({ mathbf {P} _ {1}}, F _ { mathbf {P} _ {1}})}$ va ${ displaystyle ({ mathbf {P} _ {2}}, F _ { mathbf {P} _ {2}})}$ xuddi shu narsa simpektik manifold ${ displaystyle (M, omega)}$ deyiladi teng agar mavjud bo'lsa a ${ displaystyle { mathrm {Mp}} (n, { mathbb {R}})}$-iqtisodiy xarita ${ displaystyle f colon { mathbf {P} _ {1}} to { mathbf {P} _ {2}}}$ shu kabi

${ displaystyle F _ { mathbf {P} _ {2}} circ f = F _ { mathbf {P} _ {1}}}$ va ${ displaystyle f ({ mathbf {p}} q) = f ({ mathbf {p}}) q}$ Barcha uchun ${ displaystyle { mathbf {p}} in { mathbf {P} _ {1}}}$ va ${ displaystyle q in { mathrm {Mp}} (n, { mathbb {R}}).}$

Albatta, bu holda ${ displaystyle F _ { mathbf {P} _ {1}}}$ va ${ displaystyle F _ { mathbf {P} _ {2}}}$ simpektik ramkaning ikkita ekvivalent ikki qavatli qoplamasi ${ displaystyle { mathrm {Sp}} (n, { mathbb {R}})}$- to'plam ${ displaystyle pi _ { mathbf {R}} nuqta { mathbf {R}} dan M ,} gacha$ berilgan simpektik kollektor ${ displaystyle (M, omega)}$.

Yo'lni to'sish

Har bir narsadan beri simpektik manifold ${ displaystyle M}$ albatta, hatto o'lchovli va yo'naltirilgan, topologik ekanligini isbotlash mumkin yo'lni to'sish mavjudligiga metaplektik tuzilmalar Riemanniyadagi kabi bir xil Spin geometriyasi.^[2] Boshqacha qilib aytganda, simpektik manifold ${ displaystyle (M, omega)}$ tan oladi a metaplektik tuzilmalar agar va faqat ikkinchisi bo'lsa Stifel-Uitni sinf ${ displaystyle w_ {2} (M) in H ^ {2} (M, { mathbb {Z} _ {2}})}$ ning ${ displaystyle M}$ yo'qoladi. Aslida, modul ${ displaystyle _ {2}}$ birinchisini kamaytirish Chern sinfi ${ displaystyle c_ {1} (M) in H ^ {2} (M, { mathbb {Z}})}$ ikkinchisi Stifel-Uitni sinf ${ displaystyle w_ {2} (M)}$. Shuning uchun, ${ displaystyle (M, omega)}$ metaplektik tuzilmalarni va agar shunday bo'lsa tan oladi ${ displaystyle c_ {1} (M)}$ hatto, ya'ni, agar shunday bo'lsa ham ${ displaystyle w_ {2} (M)}$ nolga teng.

Agar shunday bo'lsa, ning izomorfiya sinflari metaplektik tuzilmalar kuni ${ displaystyle (M, omega)}$ birinchisi bilan tasniflanadi kohomologiya guruhi ${ displaystyle H ^ {1} (M, { mathbb {Z} _ {2}})}$ ning ${ displaystyle M}$ bilan ${ displaystyle { mathbb {Z} _ {2}}}$-koeffitsientlar.

Kollektor sifatida ${ displaystyle M}$ yo'naltirilgan deb taxmin qilinadi, birinchisi Stifel-Uitni sinf ${ displaystyle w_ {1} (M) in H ^ {1} (M, { mathbb {Z} _ {2}})}$ ning ${ displaystyle M}$ ham g'oyib bo'ladi.

Misollar

Metaplektik tuzilmani tan oladigan manifoldlar

• Faza bo'shliqlari ${ displaystyle (T ^ { ast} N, theta) ,,}$ ${ displaystyle N}$ har qanday yo'naltirilgan manifold.
• Murakkab proektsion bo'shliqlar ${ displaystyle { mathbb {P}} ^ {2k + 1} { mathbb {C}} ,,}$ ${ displaystyle , k in { mathbb {N}} _ {0} ,.}$ Beri ${ displaystyle { mathbb {P}} ^ {2k + 1} { mathbb {C}} ,}$ shunchaki bog'langan, bunday tuzilish noyob bo'lishi kerak.
• Grassmannian ${ displaystyle Gr (2,4) ,,}$ va boshqalar.

Shuningdek qarang

• Metaplektik guruh
• Simpektik ramka to'plami
• Simpektik guruh
• Simpektik spinor to'plami

Izohlar

Adabiyotlar

• Xabermann, Katarina; Xabermann, Luts (2006), Symplectic Dirac operatorlariga kirish, Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-33420-0