Modulli lambda funktsiyasi - Modular lambda function - Wikipedia

Yilda matematika, elliptik modulli lambda funktsiya λ (function) - bu kompleksdagi juda nosimmetrik holomorf funktsiya yuqori yarim tekislik. Ning kesirli chiziqli harakati ostida o'zgarmasdir muvofiqlik guruhi Γ (2), va mos keladigan qismning funktsiya maydonini hosil qiladi, ya'ni bu Hauptmodul modul egri X(2). Har qanday τ nuqtada uning qiymatini a deb ta'riflash mumkin o'zaro faoliyat nisbati tomonidan proektsion chiziqning kengaytirilgan ikki tomonlama qopqog'ining tarmoq nuqtalarining elliptik egri chiziq ${ displaystyle mathbb {C} / langle 1, tau rangle}$ , bu erda xarita [-1] involyutsiyasi bilan keltirilgan qism sifatida aniqlanadi.

Q kengayishi, qaerda ${ displaystyle q = e ^ { pi i tau}}$ bo'ladi nom, tomonidan berilgan:

{ displaystyle lambda ( tau) = 16q-128q ^ {2} + 704q ^ {3} -3072q ^ {4} + 11488q ^ {5} -38400q ^ {6} + dots}

. OEIS: A115977

Lambda funktsiyasini nosimmetrik guruhning kanonik harakati ostida simmetrizatsiya qilish orqali S₃ kuni X(2), so'ngra mos ravishda normallashganda, yuqori yarim tekislikda to'liq modulli guruh ostida o'zgarmas funktsiyani oladi ${ displaystyle SL_ {2} ( mathbb {Z})}$ va bu aslida Kleinning modulidir j-o'zgarmas.

Modulli xususiyatlar

Funktsiya ${ displaystyle lambda ( tau)}$ tomonidan yaratilgan guruh ostida o'zgarmasdir^[1]

{ displaystyle tau mapsto tau +2 ; tau mapsto { frac { tau} {1-2 tau}} .}

Modulli guruh generatorlari tomonidan ishlaydi^[2]

{ displaystyle tau mapsto tau +1 : lambda mapsto { frac { lambda} { lambda -1}} ,;}

{ displaystyle tau mapsto - { frac {1} { tau}} : lambda mapsto 1- lambda .}

Natijada, modulli guruhning harakati ${ displaystyle lambda ( tau)}$ bu anharmonik guruh, ning oltita qiymatini berish o'zaro nisbat:^[3]

{ displaystyle left lbrace { lambda, { frac {1} {1- lambda}}, { frac { lambda -1} { lambda}}, { frac {1} { lambda} }, { frac { lambda} { lambda -1}}, 1- lambda} right rbrace .}

Boshqa ko'rinishlar

Boshqa elliptik funktsiyalar

Bu kvadrat ning Jakobi moduli,^[4] anavi, ${ displaystyle lambda ( tau) = k ^ {2} ( tau)}$ . Jihatidan Dedekind eta funktsiyasi ${ displaystyle eta ( tau)}$ va teta funktsiyalari,^[4]

{ displaystyle lambda ( tau) = { Bigg (} { frac {{ sqrt {2}} , eta ({ tfrac { tau} {2}}) eta ^ {2} ( 2 tau)} { eta ^ {3} ( tau)}} { Bigg)} ^ {8} = { frac {16} { chap ({ frac { eta ( tau / 2) } { eta (2 tau)}} o'ng) ^ {8} +16}} = { frac { theta _ {2} ^ {4} (0, tau)} {{theta _ {3 } ^ {4} (0, tau)}}}

va,

{ displaystyle { frac {1} {{ big (} lambda ( tau) { big)} ^ {1/4}}} - { big (} lambda ( tau) { big) } ^ {1/4} = { frac {1} {2}} chap ({ frac { eta ({ tfrac { tau} {4}})} { eta ( tau)}} o'ng) ^ {4} = 2 , { frac { theta _ {4} ^ {2} (0, { tfrac { tau} {2}})} {{theta _ {2} ^ { 2} (0, { tfrac { tau} {2}})}}}

qayerda^[5] uchun nom ${ displaystyle q = e ^ { pi i tau}}$ ,

{ displaystyle theta _ {2} (0, tau) = sum _ {n = - infty} ^ { infty} q ^ { chap ({n + { frac {1} {2}}} o'ng) ^ {2}}}

{ displaystyle theta _ {3} (0, tau) = sum _ {n = - infty} ^ { infty} q ^ {n ^ {2}}}

{ displaystyle theta _ {4} (0, tau) = sum _ {n = - infty} ^ { infty} (- 1) ^ {n} q ^ {n ^ {2}}}

Ning yarim davrlari bo'yicha Vaysterstrasning elliptik funktsiyalari, ruxsat bering ${ displaystyle [ omega _ {1}, omega _ {2}]}$ bo'lishi a davrlarning asosiy juftligi bilan ${ displaystyle tau = { frac { omega _ {2}} { omega _ {1}}}}$ .

{ displaystyle e_ {1} = wp chap ({ frac { omega _ {1}} {2}} o'ng), e_ {2} = wp chap ({ frac { omega _ {) 2}} {2}} o'ng), e_ {3} = wp chap ({ frac { omega _ {1} + omega _ {2}} {2}} o'ng)}

bizda ... bor^[4]

{ displaystyle lambda = { frac {e_ {3} -e_ {2}} {e_ {1} -e_ {2}}} ,.}

Uchta yarim davr qiymatlari bir-biridan ajralib turishi sababli, bu $ Delta $ 0 yoki 1 qiymatini qabul qilmasligini ko'rsatadi.^[4]

Ga munosabat j-o'zgarmas bu^[6]^[7]

{ displaystyle j ( tau) = { frac {256 (1- lambda (1- lambda)) ^ {3}} {( lambda (1- lambda)) ^ {2}}} = { frac {256 (1- lambda + lambda ^ {2}) ^ {3}} { lambda ^ {2} (1- lambda) ^ {2}}} .}

qaysi j-ning elliptik egri chizig'ining o'zgaruvchisi Legendre shakli ${ displaystyle y ^ {2} = x (x-1) (x- lambda)}$

Kichik Pikard teoremasi

Lambda funktsiyasi ning asl isbotida ishlatiladi Kichik Pikard teoremasi, bu butun murakkab tekislikdagi doimiy bo'lmagan funktsiya bir nechta qiymatni o'tkazib yuborishi mumkin emas. Ushbu teorema 1879 yilda Pikard tomonidan isbotlangan.^[8] Agar iloji bo'lsa, deylik f butun va 0 va 1 qiymatlarini qabul qilmaydi, chunki hol holomorf bo'lganligi sababli u 0,1, ∞ dan aniqlangan lokal holomorfik teskari has ga ega. Funktsiyani ko'rib chiqing z → ω (f(z)). Tomonidan Monodromiya teoremasi bu holomorfik va murakkab tekislikni xaritada aks ettiradi C yuqori yarim tekislikka. Dan holomorf funktsiyasini tuzish oson C birlik diskiga, qaysi tomonidan Liovil teoremasi doimiy bo'lishi kerak.^[9]

Moonshine

Funktsiya ${ displaystyle { frac {16} { lambda (2 tau)}} - 8}$ normallashtirilgan Hauptmodul guruh uchun ${ displaystyle Gamma _ {0} (4)}$ va uning q- kengayish ${ displaystyle q ^ {- 1} + 20q-62q ^ {3} + nuqta}$ , OEIS: A007248 qayerda ${ displaystyle q = e ^ {2 pi i tau}}$ , ning 4C konjugatsiya sinfidagi har qanday elementning darajalangan belgisi hayvonlar guruhi bo'yicha harakat qilish monster vertex algebra.