Tor sinf guruhi - Narrow class group

Yilda algebraik sonlar nazariyasi, tor sinf guruhi a raqam maydoni K ning takomillashtirilishi sinf guruhi ning K joylashtirilishi haqidagi ba'zi ma'lumotlarni hisobga oladi K maydoniga haqiqiy raqamlar.

Rasmiy ta'rif

Aytaylik K a cheklangan kengaytma ning Q. Ning oddiy sinf guruhini eslang K deb belgilangan

${ displaystyle C_ {K} = I_ {K} / P_ {K}, , !}$

qayerda Men_K guruhidir kasr ideallari ning Kva P_K ning asosiy kasr ideallari guruhidir K, ya'ni shakl ideallari aO_K qayerda a ning elementidir K.

The tor sinf guruhi kotirovka sifatida belgilangan

${ displaystyle C_ {K} ^ {+} = I_ {K} / P_ {K} ^ {+},}$

hozir qayerda P_K⁺ guruhidir umuman ijobiy asosiy kasr ideallari ning K; ya'ni shakl ideallari aO_K qayerda a ning elementidir K shunday qilib σ (a) ijobiy har bir joylashtirish uchun

${ displaystyle sigma: K to mathbf {R}.}$

Foydalanadi

Butun sonlarni ifodalash nazariyasida tor sinf guruhi muhim o'rin tutadi kvadratik shakllar. Bunga quyidagi natijani misol keltirish mumkin (Fruhlich va Teylor, V bob, Teorema 1.25).

Teorema. Aytaylik

${ displaystyle K = mathbf {Q} ({ sqrt {d}}),}$

qayerda d a kvadratsiz butun son va bu tor sinf guruhi K ahamiyatsiz. Aytaylik

${ displaystyle { omega _ {1}, omega _ {2} } , !}$

ning butun sonlari halqasi uchun asosdir K. Kvadratik shaklni aniqlang

${ displaystyle q_ {K} (x, y) = N_ {K / mathbf {Q}} ( omega _ {1} x + omega _ {2} y)}$,

qayerda N_K/Q bo'ladi norma. Keyin a asosiy raqam p shakldadir

${ displaystyle p = q_ {K} (x, y) , !}$

ba'zi bir butun sonlar uchun x va y agar va faqat agar yoki

${ displaystyle p mid d_ {K} , !,}$

yoki

${ displaystyle p = 2 quad { mbox {and}} quad d_ {K} equiv 1 { pmod {8}},}$

yoki

${ displaystyle p> 2 quad { mbox {and}} quad left ({ frac {d_ {K}} {p}} right) = 1,}$

qayerda d_K bo'ladi diskriminant ning Kva

${ displaystyle chap ({ frac {a} {b}} o'ng)}$

ni bildiradi Legendre belgisi.

Misollar

Masalan, isbotlash mumkin kvadratik maydonlar Q(√−1), Q(√2), Q(√−3) barchasi ahamiyatsiz tor sinf guruhiga ega. Keyin, uchun mos asoslarni tanlash orqali butun sonlar bularning har biri dalalar, yuqoridagi teorema quyidagilarni nazarda tutadi:

• Asosiy p shakldadir p = x² + y² butun sonlar uchun x va y agar va faqat agar

${ displaystyle p = 2 quad { mbox {or}} quad p equiv 1 { pmod {4}}.}$

(Bu ma'lum Ikki kvadratning yig'indisi bo'yicha Ferma teoremasi.)

• Asosiy p shakldadir p = x² − 2y² butun sonlar uchun x va y agar va faqat agar

${ displaystyle p = 2 quad { mbox {or}} quad p equiv 1,7 { pmod {8}}.}$

• Asosiy p shakldadir p = x² − xy + y² butun sonlar uchun x va y agar va faqat agar

${ displaystyle p = 3 quad { mbox {or}} quad p equiv 1 { pmod {3}}.}$ (qarang Eyzenshteyn eng yaxshi )

Dar sinf guruhi va ning o'rtasidagi farqni ko'rsatadigan misol odatdagi sinf guruhi ishi Q(√6). Bu sinfning ahamiyatsiz guruhiga ega, ammo uning tor sinf guruhi 2-tartibga ega. Sinf guruhi ahamiyatsiz bo'lgani uchun quyidagi so'z to'g'ri keladi:

• Asosiy p yoki uning teskari tomoni -p shakldadir ± p = x² - 6y² butun sonlar uchun x va y agar va faqat agar

${ displaystyle p = 2 quad { mbox {or}} quad p = 3 quad { mbox {or}} quad left ({ frac {6} {p}} right) = 1. }$

Ammo, agar biz faqat diqqatni jamlasak, bu gap yolg'ondir p va emas -p (va aslida hatto yolg'ondir p = 2), chunki tor sinf guruhi norivialdir. Ijobiy tasniflovchi bayonot p quyidagilar:

• Asosiy p shakldadir p = x² - 6y² butun sonlar uchun x va y agar va faqat agar p = 3 yoki

${ displaystyle left ({ frac {6} {p}} right) = 1 quad { mbox {and}} quad left ({ frac {-2} {p}} right) = 1.}$

(Holbuki, birinchi bayonotda asosiy sonlarga ruxsat berilgan ${ displaystyle p equiv 1,5,19,23 { pmod {24}}}$, ikkinchisi faqat asosiy sonlarga ruxsat beradi ${ displaystyle p equiv 1,19 { pmod {24}}}$.)

Shuningdek qarang

• Sinf guruhi
• Kvadratik shakl

Adabiyotlar

• A. Fruhlich va M. J. Teylor, Algebraik sonlar nazariyasi (180-bet), Kembrij universiteti matbuoti, 1991 y.