Nodal tahlil - Nodal analysis

Kirchhoffning amaldagi qonuni tugunlarni tahlil qilishning asosidir.

Elektr zanjirlarini tahlil qilishda, tugunni tahlil qilish, tugun kuchlanishini tahlil qilishyoki filialning joriy usuli kuchlanishni aniqlash usuli (potentsial farq ) "tugunlar "(elementlar yoki filiallar ulanadigan joylar) elektr davri tarmoq oqimlari nuqtai nazaridan.

Yordamida elektronni tahlil qilishda Kirxhoffning qonunlari, Kirchhoffning amaldagi qonuni (KCL) yordamida yoki tugun tahlilini qilish mumkin mashni tahlil qilish Kirchhoff kuchlanish qonuni (KVL) dan foydalangan holda. Nodal tahlil har birida tenglama yozadi elektr tuguni, tugunga tushgan tarmoq oqimlari nolga tenglashishini talab qiladi. Filial oqimlari elektron tugunlari kuchlanishlari bo'yicha yozilgan. Natijada, har bir tarmoq konstitutsiyaviy aloqasi kuchlanishning kuchi sifatida oqim berishi kerak; an qabul qilish vakillik. Masalan, qarshilik uchun men_filial = V_filial * G, bu erda G (= 1 / R) - qarshilikning o'tkazuvchanligi (o'tkazuvchanligi).

Tugun tahlili barcha elektron elementlarning filial konstitutsiyaviy aloqalari qabul qilish vakolatiga ega bo'lganda mumkin. Nodal tahlil tarmoq uchun ixcham tenglamalar to'plamini hosil qiladi, agar ularni kichik bo'lsa qo'l bilan hal qilish mumkin yoki chiziqli algebra yordamida kompyuter yordamida tezda echish mumkin. Yilni tenglamalar tizimi tufayli ko'pchilik elektron simulyatsiya dasturlar (masalan, ZARIF ) asos sifatida tugun tahlilidan foydalanish. Elementlar qabul qilish vakolatiga ega bo'lmaganda, tugun tahlilining umumiy kengayishi, o'zgartirilgan nodal tahlil, foydalanish mumkin.

Jarayon

O'chirishning barcha ulangan sim segmentlariga e'tibor bering. Bular tugunlar tugunni tahlil qilish.
Bitta tugunni sifatida tanlang zamin ma'lumotnoma. Tanlov natijaga ta'sir qilmaydi va shunchaki konventsiya masalasidir. Eng ko'p bog'langan tugunni tanlash tahlilni soddalashtirishi mumkin. O'chirish davri uchun N tugunlar tugunli tenglamalar soni N−1.
Kuchlanishi noma'lum bo'lgan har bir tugun uchun o'zgaruvchini tayinlang. Agar kuchlanish allaqachon ma'lum bo'lsa, o'zgaruvchini tayinlash shart emas.
Har bir noma'lum kuchlanish uchun Kirchhoffning amaldagi qonuni asosida tenglama tuzing (ya'ni tugundan chiqadigan barcha oqimlarni birlashtiring va yig'indisini nolga teng deb belgilang). Ikkala tugun orasidagi oqim potentsiali yuqoriroq va pastki potentsialli tugunni chiqarib tashlagan tugunga teng, ikkalasi ham ikkita tugun orasidagi qarshilikka bo'linadi.
Agar ikkita noma'lum kuchlanish o'rtasida kuchlanish manbalari mavjud bo'lsa, ikkita tugunni a sifatida ulang superkod. Ikkala tugunning oqimlari bitta tenglamada birlashtirilib, kuchlanish uchun yangi tenglama hosil bo'ladi.
Tizimini hal qiling bir vaqtning o'zida tenglamalar har bir noma'lum kuchlanish uchun.

Misollar

Asosiy ish₁

Bitta noma'lum kuchlanishli asosiy elektron davri, V₁.

Ushbu sxemadagi yagona noma'lum kuchlanish V₁. Ushbu tugunga uchta ulanish va natijada uchta oqim mavjud. Hisob-kitoblarda oqimlarning yo'nalishi tugundan uzoqda tanlangan.

R qarshiligi orqali oqim₁: (V₁ - V_S) / R₁
R qarshiligi orqali oqim₂: V₁ / R₂
Oqim manbai I orqali oqim_S: Men_S

Kirchhoffning amaldagi qonuni bilan biz quyidagilarni olamiz:

${ displaystyle { frac {V_ {1} -V_ {S}} {R_ {1}}} + { frac {V_ {1}} {R_ {2}}} - I_ {S} = 0}$

Ushbu tenglamani V ga nisbatan echish mumkin₁:

${ displaystyle V_ {1} = { frac { chap ({ frac {V_ {S}} {R1}} + I_ {S} o'ng)} {{chap ({ frac {1} {R_ {) 1}}} + { frac {1} {R_ {2}}} o'ng)}}}$

Va nihoyat, noma'lum kuchlanishni belgilar uchun raqamli qiymatlarni almashtirish orqali hal qilish mumkin. Har qanday noma'lum oqimlarni zanjirdagi barcha kuchlanishlar ma'lum bo'lgandan keyin hisoblash oson.

${ displaystyle V_ {1} = { frac { chap ({ frac {5 { text {V}}} {100 , Omega}} + 20 { text {mA}} right)} { chap ({ frac {1} {100 , Omega}} + { frac {1} {200 , Omega}} o'ng)}} = { frac {14} {3}} { matn {V}}}$

Supernodlar

Ushbu sxemada V_A ikkita noma'lum kuchlanish o'rtasida bo'ladi va shuning uchun supernod hisoblanadi.

Ushbu sxemada dastlab bizda V noma'lum ikkita kuchlanish mavjud₁ va V₂. V kuchlanish₃ allaqachon V ekanligi ma'lum bo'lgan_B chunki kuchlanish manbasining boshqa terminali yer potentsialida.

V kuchlanish manbai orqali o'tadigan oqim_A to'g'ridan-to'g'ri hisoblash mumkin emas. Shuning uchun, biz V ning ham tenglamalarini yozolmaymiz₁ yoki V₂. Biroq, biz bilamizki, xuddi shu oqim V tugunni tark etadi₂ tugunni V kiritish kerak₁. Tugunlarni individual ravishda echib bo'lmaydigan bo'lsa ham, biz bilamizki, bu ikkita tugunning umumiy oqimi nolga teng. Ikkala tugunning birlashishi deyiladi superkod texnikasi va unga bitta qo'shimcha tenglama kerak: V₁ = V₂ + V_A.

Ushbu sxema uchun to'liq tenglamalar to'plami:

${ displaystyle { begin {case} { frac {V_ {1} -V _ { text {B}}} {R_ {1}}} + { frac {V_ {2} -V _ { text {B }}} {R_ {2}}} + { frac {V_ {2}} {R_ {3}}} = 0 V_ {1} = V_ {2} + V _ { text {A}} end {case}}}$

V o'rniga₁ birinchi tenglamaga va V ga nisbatan echim₂, biz olamiz:

${ displaystyle V_ {2} = { frac {(R_ {1} + R_ {2}) R_ {3} V _ { text {B}} - R_ {2} R_ {3} V _ { text {A }}} {(R_ {1} + R_ {2}) R_ {3} + R_ {1} R_ {2}}}}$

Tugun kuchlanish tenglamasi uchun matritsa shakli

Umuman olganda, elektron bilan ${ displaystyle N}$ tugunlarni tahlil qilish natijasida olingan tugunli kuchlanishli tenglamalarni matritsali shaklda quyidagilar asosida yozish mumkin. ${ displaystyle k}$ , KCL ${ displaystyle sum _ {j neq k} G_ {jk} (v_ {k} -v_ {j}) = 0}$ qayerda ${ displaystyle G_ {kj} = G_ {jk}}$ tugunlar orasidagi o'tkazuvchanlik yig'indisining manfiy ko'rsatkichi ${ displaystyle k}$ va ${ displaystyle j}$ va ${ displaystyle v_ {k}}$ tugunning kuchlanishi ${ displaystyle k}$ .Bu shuni anglatadi ${ displaystyle 0 = sum _ {j neq k} G_ {jk} (v_ {k} -v_ {j}) = sum _ {j neq k} G_ {jk} v_ {k} - sum _ {j neq k} G_ {jk} v_ {j} = G_ {kk} v_ {k} - sum _ {j neq k} G_ {jk} v_ {j}}$ qayerda ${ displaystyle G_ {kk}}$ tugunga ulangan o'tkazuvchanlik yig'indisi ${ displaystyle k}$ . Birinchi muddat tugunga lineer ravishda hissa qo'shishini ta'kidlaymiz ${ displaystyle k}$ orqali ${ displaystyle G_ {kk}}$ , ikkinchi muddat har bir tugunga lineer ravishda yordam beradi ${ displaystyle j}$ tugunga ulangan ${ displaystyle k}$ orqali ${ displaystyle G_ {jk}}$ minus belgisi bilan, agar mustaqil oqim manbai / kirish bo'lsa ${ displaystyle i_ {k}}$ shuningdek tugunga biriktirilgan ${ displaystyle k}$ , yuqoridagi ifoda umumlashtiriladi ${ displaystyle i_ {k} = G_ {kk} v_ {k} - sum _ {j neq k} G_ {jk} v_ {j}}$ .Bu yuqoridagi tugunli kuchlanishli tenglamalarni hamma uchun birlashtirishi mumkinligini ko'rsatish oson ${ displaystyle N}$ tugunlari va ularni quyidagi matritsa shaklida yozing

{ displaystyle { begin {pmatrix} G_ {11} & G_ {12} & cdots & G_ {1N} G_ {21} & G_ {22} & cdots & G_ {2N} vdots & vdots & ddots & vdots G_ {N1} & G_ {N2} & cdots & G_ {NN} end {pmatrix}} { begin {pmatrix} v_ {1} v_ {2} vdots v_ {N} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} i_ {1} i_ {2} vdots i_ {N} end {pmatrix}}}

yoki oddiygina

{ displaystyle mathbf {Gv} = mathbf {i}}

Matritsa ${ displaystyle mathbf {G}}$ Tenglamaning chap tomonida yagona, chunki u qondiradi ${ displaystyle mathbf {G1} = 0}$ qayerda ${ displaystyle mathbf {1}}$ a ${ displaystyle 1 marta N}$ ustunli matritsa. Bu hozirgi tabiatni muhofaza qilish faktiga mos keladi, ya'ni ${ displaystyle sum _ {k} i_ {k} = 0}$ va mos yozuvlar tugunini (erni) tanlash erkinligi. Amalda, kuchlanish mos yozuvlar tugunini 0 ga teng deb qabul qilinadi, bu oxirgi tugun deb hisoblang, ${ displaystyle v_ {N} = 0}$ . Bunday holda, hosil bo'lgan tenglamalar boshqasiga to'g'ri kelishini tekshirish to'g'ri ${ displaystyle N-1}$ tugunlar bir xil bo'lib qoladi va shuning uchun matritsa tenglamasining oxirgi satri bilan bir qatorda oxirgi ustuni ham bekor qilish mumkin. Ushbu protsedura natijasida a ${ displaystyle (N-1) marta (N-1)}$ barcha elementlarning ta'riflari bilan o'lchovli yagona bo'lmagan matritsa tenglamasi o'zgarishsiz qoladi.