Nontransitiv zarlar - Nontransitive dice

To'plam zar bu noaniq agar u uchta zar bo'lsa, A, Bva C, mulk bilan A dan yuqori rulonlar B vaqtning yarmidan ko'pi va B dan yuqori rulonlar C vaqtning yarmidan ko'pi, ammo bu haqiqat emas A dan yuqori rulonlar C vaqtning yarmidan ko'pi. Boshqacha qilib aytganda, aforizmlar to'plami, agar bo'lsa ikkilik munosabat – $X$ dan yuqori raqamni aylantiradi $Y$ vaqtning yarmidan ko'pi - uning elementlari bo'yicha emas o'tish davri.

To'plamdagi har bir o'lik uchun, vaqtning yarmidan ko'prog'ini ko'paytiradigan yana bir o'lik mavjud bo'lgan yanada kuchli xususiyatga ega bo'lgan zar to'plamlarini topish mumkin. Bunday zarlardan foydalangan holda, zararli bo'lmagan zarlardan foydalanilmaydigan odamlar kutmasligi mumkin bo'lgan o'yinlarni ixtiro qilish mumkin (qarang. Misol ).

Misol

Nontransitiv zarlarning misoli (qarama-qarshi tomonlar ko'rsatilgan qiymatga teng).

Quyidagi zarlar to'plamini ko'rib chiqing.

O'l A 2, 2, 4, 4, 9, 9 tomonlari bor.
O'l B 1, 1, 6, 6, 8, 8 tomonlari bor.
O'l C 3, 3, 5, 5, 7, 7 tomonlari bor.

The ehtimollik bu A dan yuqori raqamni aylantiradi B, ehtimolligi B dan yuqori rulonlar Cva bu ehtimollik C dan yuqori rulonlar A hammasi 5/9, shuning uchun bu zarlar to'plami o'tkazuvchan emas. Aslida, u yanada kuchli xususiyatga ega, chunki to'plamdagi har bir o'lish uchun, vaqtning yarmidan ko'prog'ini ko'paytiradigan yana bir o'lik mavjud.

Endi zarlar to'plami bilan o'ynaladigan quyidagi o'yinni ko'rib chiqing.

Birinchi o'yinchi suratga olish maydonidan o'limni tanlaydi.
Ikkinchi o'yinchi qolgan zarlardan bittasini tanlaydi.
Ikkala o'yinchi ham o'z o'limini siljitadi; yuqori raqamni aylantirgan o'yinchi g'alaba qozonadi.

Agar bu o'yin o'tkinchi zarlar to'plami bilan o'ynalsa, u birinchi o'yinchi foydasiga adolatli yoki xolisona bo'ladi, chunki birinchi o'yinchi har doim boshqa zarlar tomonidan urib bo'lmaydigan o'limni topishi mumkin, chunki u vaqtning yarmidan ko'proq vaqtini oladi. Agar u yuqorida tavsiflangan zarlar to'plami bilan o'ynalsa, o'yin ikkinchi o'yinchi foydasiga noaniq bo'ladi, chunki ikkinchi o'yinchi har doim birinchi o'yinchining o'limini engib chiqadigan o'lik topishi mumkin 5/9. Quyidagi jadvallarda barcha 3 juft zar uchun barcha mumkin bo'lgan natijalar ko'rsatilgan.

A C	2	4	9	B A	1	6	8	C B	3	5	7
1-o'yinchi o'lishni tanlaydi A 2-o'yinchi o'lishni tanlaydi C				1-o'yinchi o'lishni tanlaydi B 2-o'yinchi o'lishni tanlaydi A				1-o'yinchi o'lishni tanlaydi C 2-o'yinchi o'lishni tanlaydi B
3	C	A	A	2	A	B	B	1	C	C	C
5	C	C	A	4	A	B	B	6	B	B	C
7	C	C	A	9	A	A	A	8	B	B	B

Nontransitiv zarlarning ekvivalentligi haqida sharh

Uchta transitiv bo'lmagan zar, A, B, C (birinchi zar to'plami)

Javob: 2, 2, 6, 6, 7, 7
B: 1, 1, 5, 5, 9, 9
C: 3, 3, 4, 4, 8, 8

P (A> B) = P (B> C) = P (C> A) = 5/9

va uchta nontransitiv zar A ′, B ′, C ′ (zarlarning ikkinchi to'plami)

A ′: 2, 2, 4, 4, 9, 9
B ′: 1, 1, 6, 6, 8, 8
C ′: 3, 3, 5, 5, 7, 7

P (A ′> B ′) = P (B ′> C ′) = P (C ′> A ′) = 5/9

teng ehtimollik bilan bir-biriga qarshi g'alaba qozonish ular teng emas. Zarlarning birinchi to'plami (A, B, C) "eng yuqori" o'limga ega bo'lsa, ikkinchi zarlar to'plami "eng past" o'limga ega. To'plamning uchta zarini siljitish va har doim baholash uchun eng yuqori balldan foydalanish, zarlarning ikkita to'plami uchun boshqa g'oliblikni namoyish etadi. Zarlarning birinchi to'plami bilan B o'lishi eng katta ehtimollik bilan g'alaba qozonadi (88/216) va A va C zarlari har biri ehtimollik bilan g'alaba qozonadi 64/216. Zarlarning ikkinchi to'plami bilan C die o'lishi eng past ehtimollik bilan g'alaba qozonadi (56/216) va A ′ va B d zarlari har biri ehtimollik bilan g'alaba qozonadi 80/216.

O'zgarishlar

Efron zarlari

Efron zarlari tomonidan ixtiro qilingan to'rtta transitiv bo'lmagan zarlarning to'plami Bredli Efron.

Efron zarlarining namoyishi.

A, B, C, D to'rtta zarning oltita yuzida quyidagi raqamlar mavjud:

Javob: 4, 4, 4, 4, 0, 0
B: 3, 3, 3, 3, 3, 3
C: 6, 6, 2, 2, 2, 2
D: 5, 5, 5, 1, 1, 1

Ehtimollar

Har bir o'lim ro'yxatdagi oldingi o'lim bilan kaltaklanadi, ehtimollik bilan 2/3:

{displaystyle P (A> B) = P (B> C) = P (C> D) = P (D> A) = {2 dan 3}} gacha

A shartli ehtimollik daraxtdan C ning D dan yuqori siljish ehtimolini aniqlash uchun foydalanish mumkin.

B ning qiymati doimiy; A uradi 2/3 oltita yuzining to'rttasi balandroq bo'lgani uchun rulon.

Xuddi shunday, B C ni a bilan uradi 2/3 ehtimollik, chunki S yuzlarining faqat ikkitasi yuqoriroq.

P (C> D) ni yig'ish yo'li bilan hisoblash mumkin shartli ehtimolliklar ikki tadbir uchun:

C rulonlari 6 (ehtimollik) 1/3); D ga qaramasdan yutadi (ehtimol 1)
C rulonlari 2 (ehtimollik) 2/3); faqat D 1 o'tsa yutadi (ehtimollik) 1/2)

Shuning uchun C uchun umumiy g'alaba ehtimoli

{displaystyle left ({1 over 3} imes 1ight) + left ({2 over 3} imes {1 over 2} ight) = {2 over 3}}

Shunga o'xshash hisob-kitob bilan D ning A ni yutish ehtimoli

{displaystyle left ({1 over 2} imes 1ight) + left ({1 over 2} imes {1 over 3} ight) = {2 over 3}}

Eng yaxshi umumiy o'lim

To'rt zarda qolgan uchtadan tasodifiy tanlangan o'limni urishning teng bo'lmagan ehtimoli bor:

Yuqorida isbotlanganidek, o'lim A vaqtning uchdan ikki qismini B ga uradi, lekin D ning faqat uchdan bir qismiga uradi. O'lish ehtimoli A ning C ni urishi 4/9 (To'rtburchakni siljitish kerak va C 2 ga o'ralishi kerak). Shunday qilib, tasodifiy tanlangan boshqa har qanday o'limni urish ehtimoli A:

{displaystyle {1 dan 3} gacha im ({2 dan 3} + {1 dan 3} gacha + {4 dan 9} gacha) = = 13 dan 27} gacha}

Xuddi shunday, die B vaqtning uchdan ikki qismini C ni uradi, lekin A ning faqat uchdan bir qismini uradi. B o'limining D ni urish ehtimoli 1/2 (faqat D yuvarlanganda 1). Shunday qilib, B ning tasodifiy tanlangan har qanday o'limni mag'lub etish ehtimoli quyidagicha:

{displaystyle {1 dan 3} gacha im ({2 dan 3} + {1 dan 3} gacha + {1 dan 2} gacha)) = {1 dan 2}} gacha

Die C vaqtning uchdan ikki qismi D ni uradi, lekin B ning faqat uchdan bir qismini uradi. C o'limining A ni urish ehtimoli 5/9. Shunday qilib, boshqa har qanday tasodifiy tanlangan o'limni urish ehtimoli C:

{displaystyle {1 dan 3} gacha im ({2 dan 3} + {1 dan 3} gacha + {5 dan 9} gacha)) = {14 dan 27} gacha}

Va nihoyat, D o'lishi vaqtning uchdan ikki qismini uradi, ammo C ning faqat uchdan bir qismini uradi. D o'lish ehtimoli B ning urishidir 1/2 (faqat D 5 ga o'tsa). Shunday qilib, D ning boshqa tasodifiy tanlangan o'limni mag'lub etish ehtimoli quyidagicha:

{displaystyle {1 dan 3} gacha im ({2 dan 3} + {1 dan 3} gacha + {1 dan 2} gacha)) = {1 dan 2}} gacha

Shuning uchun eng yaxshi umumiy o'lim 0,5185 yutish ehtimoli bo'lgan C dir. S, shuningdek, eng yuqori o'rtacha sonni mutlaq ma'noda aylantiradi, 3+1/3. (A o'rtacha 2+2/3, B va D ning ikkalasi ham 3.)

O'rtacha teng bo'lgan variantlar

Efronning zarlari boshqacha ekanligini unutmang o'rtacha rulonlar: A ning o'rtacha rulosi 8/3, B va D har biri o'rtacha 9/3va S o'rtacha 10/3. Nontransitiv xususiyat qaysi yuzlar kattaroq yoki kichikroq bo'lishiga bog'liq, lekin bajaradi emas yuzlarning mutlaq kattaligiga bog'liq. Shunday qilib, Efron zarlarining variantlarini topish mumkin, bu erda g'alaba qozonish koeffitsientlari o'zgarmaydi, ammo hamma zarlar o'rtacha rulonga teng. Masalan,

Javob: 7, 7, 7, 7, 1, 1
B: 5, 5, 5, 5, 5, 5
C: 9, 9, 3, 3, 3, 3
D: 8, 8, 8, 2, 2, 2

Ushbu zar zarlari, masalan, talabalarni tasodifiy o'zgaruvchilarni taqqoslashning turli usullari bilan tanishtirish uchun foydalidir (va qanday qilib) faqat o'rtacha ko'rsatkichlarni taqqoslash muhim tafsilotlarni e'tiborsiz qoldirishi mumkin).

1 dan 24 gacha zar bilan raqamlangan

Barcha 1 dan 24 gacha bo'lgan raqamlardan foydalangan holda to'rtta zar to'plami o'tkazuvchan bo'lmagan bo'lishi mumkin, qo'shni juftliklar bilan bitta o'limning g'alaba qozonish ehtimoli 2/3 ni tashkil qiladi.

Katta sonni siljitish uchun B, A, C, B, D, C, A, D ni uradi.

Javob: 01, 02, 16, 17, 18, 19
B: 03, 04, 05, 20, 21, 22
C: 06, 07, 08, 09, 23, 24
D: 10, 11, 12, 13, 14, 15

Efron zarlari bilan bog'liqlik

Ushbu zarlar, asosan, Efron zarlari bilan bir xil, chunki bitta matritsadagi ketma-ket sonlarning har bir sonini ularning hammasi eng past songa almashtirilishi va keyinchalik ularni qayta nomlashi mumkin.

Javob: 01, 02, 16, 17, 18, 19 → 01, 01, 16, 16, 16, 16 → 0, 0, 4, 4, 4, 4
B: 03, 04, 05, 20, 21, 22 → 03, 03, 03, 20, 20, 20 → 1, 1, 1, 5, 5, 5
C: 06, 07, 08, 09, 23, 24 → 06, 06, 06, 06, 23, 23 → 2, 2, 2, 2, 6, 6
D: 10, 11, 12, 13, 14, 15 → 10, 10, 10, 10, 10, 10 → 3, 3, 3, 3, 3, 3

Mayvin zarlari

Mayvin zarlari

Mayvin zarlari 1975 yilda fizik Maykl Vinkelmann tomonidan ixtiro qilingan.

III, IV va V uchta zarlardan iborat to'plamni ko'rib chiqing

die III ning 1, 2, 5, 6, 7, 9 tomonlari bor
die IV ning 1, 3, 4, 5, 8, 9 tomonlari bor
die V ning 2, 3, 4, 6, 7, 8 tomonlari bor

Keyin:

The ehtimollik bu III ga qaraganda yuqori sonni aylantiradi 17/36
IV ning V ga nisbatan yuqori sonni aylantirish ehtimoli 17/36
V ning III ga nisbatan katta sonni aylantirish ehtimoli 17/36

Standart zarlarga minimal o'zgarishlar kiritilgan uchta zar

Quyidagi nontransitiv zarlar 1 dan 6 gacha standart zarlarga nisbatan bir nechta farqlarga ega:

standart zarlarda bo'lgani kabi, pipslarning umumiy soni har doim 21 ga teng
standart zarlarda bo'lgani kabi, tomonlar faqat 1 dan 6 gacha bo'lgan pip raqamlarini olib yurishadi
bir xil miqdordagi pipsga ega bo'lgan yuzlar bir zar uchun maksimal ikki marta uchraydi
har bir o'limning faqat ikkita tomonida standart zarlardan farqli raqamlar mavjud:
- Javob: 1, 1, 3, 5, 5, 6
- B: 2, 3, 3, 4, 4, 5
- C: 1, 2, 2, 4, 6, 6

Miwinning to'plami singari, A ning B ga qarshi (yoki B ga qarshi C, C va A ga qarshi) g'olib chiqish ehtimoli 17/36. Ammo durang ehtimoli shu 4/36, shuning uchun 36 ta rulondan atigi 15 tasi yo'qoladi. Shunday qilib, umumiy g'oliblikni kutish yuqori.

Uorren Baffet

Uorren Baffet nontransitiv zarlarning muxlisi ekanligi ma'lum. Kitobda Fortune's Formula: Casino va Uoll-Stritni mag'lub etgan ilmiy tikish tizimining aytilmagan hikoyasi, u bilan munozarasi Edvard Thorp tasvirlangan. Baffet va Torp transitiv bo'lmagan zarlarga bo'lgan umumiy qiziqishlarini muhokama qilishdi. "Bu matematik qiziqish, aksariyat odamlarning ehtimollik haqidagi g'oyalarini chalkashtirib yuboradigan" hiyla-nayrang "ning bir turi".

Baffet bir marta zar o'yinida g'alaba qozonishga urindi Bill Geyts nontransitiv zarlardan foydalanish. "Baffet ularning har biriga zarlardan birini tanlashni, so'ngra qolgan ikkitasini tashlashni taklif qildi. Ular eng ko'p sonni kim tez-tez dumalay olishiga pul tikishdi. Baffet Geytsga birinchi bo'lib o'lishini tanlashga ruxsat berishni taklif qildi. Bu taklif bir zumda Geytsning qiziqishini uyg'otdi. zarlarni tekshirishni so'radi, shundan keyin u Baffetdan oldin tanlashni talab qildi. "^[1]

2010 yilda Wall Street Journal jurnali Baffetning ko'prikdagi sherigi Sharon Osbergning so'zlariga ko'ra, u 20 yil oldin birinchi marta uning ofisiga tashrif buyurganida, uni g'alaba qozonib bo'lmaydigan transitiv zarlar bilan o'yin o'ynashga aldab, "bu kulgili deb o'ylagan".^[2]

Nontransitiv zarlar ikkitadan ortiq o'yinchiga mo'ljallangan

Bir nechta odamlar translatsiya qilmaydigan zarlarning bir nechta raqiblariga qarshi raqobatlashadigan variantlarini taklif qilishdi.

Uchta o'yinchi

Oskar zarlari

Oskar van Deventer ettita zar to'plamini taqdim etdi (barcha yuzlar ehtimoli bor) 1/6) quyidagicha:^[3]

Javob: 2, 02, 14, 14, 17, 17
B: 7, 07, 10, 10, 16, 16
C: 5, 05, 13, 13, 15, 15
D: 3, 03, 09, 09, 21, 21
E: 1, 01, 12, 12, 20, 20
F: 6, 06, 08, 08, 19, 19
G: 4, 04, 11, 11, 18, 18

A ning {B, C, E} urishini tekshirish mumkin; B uradi {C, D, F}; C urishi {D, E, G}; D {A, E, F}; E uradi {B, F, G}; F uradi {A, C, G}; G uradi {A, B, D}. Binobarin, o'zboshimchalik bilan tanlangan ikkita zar uchun ikkalasini ham uradigan uchinchisi bor. Ya'ni,

G uradi {A, B}; F uradi {A, C}; G uradi {A, D}; D {A, E}; D uradi {A, F}; F uradi {A, G};
Beat {B, C}; G uradi {B, D}; Beat {B, E}; E {B, F}; E uradi {B, G};
B uradi {C, D}; Beat {C, E}; B uradi {C, F}; F uradi {C, G};
C urishi {D, E}; B {D, F} ni uradi; C urishi {D, G};
D uradi {E, F}; C E {G, G};
E {F, G} ni uradi.

Ikki raqib nima bo'lishidan qat'iy nazar, uchinchi o'yinchi ikkala raqibning zarlarini mag'lub etgan qolgan zarlardan birini topadi.

Grime zarlari

Doktor Jeyms Grim beshta zar to'plamini quyidagicha topdi:^[4]

Javob: 2, 2, 2, 7, 7, 7
B: 1, 1, 6, 6, 6, 6
C: 0, 5, 5, 5, 5, 5
D: 4, 4, 4, 4, 4, 9
E: 3, 3, 3, 3, 8, 8

O'yin Grime zarlari to'plami bilan o'ynaganda, buni tasdiqlash mumkin:

Beats B uradi C uradi D uradi E uradi E uradi A (birinchi zanjir);
Beats C uradi E uradi B uradi D uradi A uradi A (ikkinchi zanjir).

Biroq, o'yin ikkita bunday to'plam bilan o'ynaganda, birinchi zanjir bir xil bo'lib qoladi (bundan keyin bir istisno bundan mustasno), ammo ikkinchi zanjir teskari yo'naltiriladi (ya'ni A uradi D uradi B uradi E uradi E uradi C uradi A uradi). Binobarin, ikkala raqib qaysi zarni tanlasa ham, uchinchi o'yinchi har doim ikkalasini mag'lub etgan qolgan zarlardan birini topishi mumkin (agar o'yinchiga bitta o'lim varianti bilan ikkala o'lim variantini tanlashga ruxsat berilsa):

To'plamlar tanlandi raqiblar tomonidan		Zarlarning to'plami
To'plamlar tanlandi raqiblar tomonidan		Turi	Raqam
A	B	E	1
A	C	E	2
A	D.	C	2
A	E	D.	1
B	C	A	1
B	D.	A	2
B	E	D.	2
C	D.	B	1
C	E	B	2
D.	E	C	1

Biroq, ushbu to'plam bilan bog'liq ikkita asosiy muammo mavjud. Birinchisi, o'yinning ikkita o'lim variantida birinchi zanjir o'yinni noaniq holga keltirish uchun aynan bir xil bo'lishi kerak. Ammo amalda D aslida C ni uradi. Ikkinchi muammo shundaki, uchinchi o'yinchiga bitta o'lik variant va ikkita o'lik variantni tanlashga ruxsat berilishi kerak edi - bu boshqa o'yinchilar uchun adolatsiz deb qaralishi mumkin.

Grime zarlari tuzatildi

D ning C ni mag'lub etish haqidagi yuqoridagi masala, zarlarning 5 emas, balki 6 yuzga ega bo'lishi sababli yuzaga keladi, chunki har bir o'limning eng past (yoki eng yuqori) yuzini "reroll" (R) bilan almashtirish bilan, barcha besh zar ham doktor Jeyms Grimning maqsadiga muvofiq ishlaydi. :

Javob: R, 2, 2, 7, 7, 7
B: R, 1, 6, 6, 6, 6
C: R, 5, 5, 5, 5, 5
D: R, 4, 4, 4, 4, 9
E: R, 3, 3, 3, 8, 8

Shu bilan bir qatorda, ushbu yuzlar bir qatorga moslashtirilishi mumkin beshburchak-trapezoedral (10 qirrali) zar, har bir raqam to'liq ikki marta yoki bir qatorda ko'rinadi ikosahedral (20 tomonlama) zar, har bir raqam to'rt marta paydo bo'ladi. Bu "reroll" yuziga bo'lgan ehtiyojni yo'q qiladi.

Ushbu echimni avstraliyalik matematika o'qituvchisi Jon Chambers kashf etdi.^{[iqtibos kerak ]}

To'rt o'yinchi

To'rt o'yinchi to'plami hali kashf qilinmagan, ammo bunday to'plam kamida 19 zarni talab qilishi isbotlangan.^[4]^[5]

Nontransitiv 4 tomonlama zar

Tetraedra sifatida ishlatilishi mumkin to'rtta mumkin bo'lgan natijalar bilan zar.

1-ni o'rnating

Javob: 1, 4, 7, 7
B: 2, 6, 6, 6
C: 3, 5, 5, 8

P (A> B) = P (B> C) = P (C> A) = 9/16

Quyidagi jadvallarda barcha mumkin bo'lgan natijalar ko'rsatilgan:

B A	2	6	6	6
1	B	B	B	B
4	A	B	B	B
7	A	A	A	A
7	A	A	A	A

"A qarshi B" da A 16 holatdan 9tasida g'olib chiqadi.

C B	3	5	5	8
2	C	C	C	C
6	B	B	B	C
6	B	B	B	C
6	B	B	B	C

"B ga qarshi C" da, B 16 holatdan 9tasida g'olib chiqadi.

A C	1	4	7	7
3	C	A	A	A
5	C	C	A	A
5	C	C	A	A
8	C	C	C	C

"C qarshi A" da, 16 holatdan 9tasida C g'olib chiqadi.

2-ni o'rnating

Javob: 3, 3, 3, 6
B: 2, 2, 5, 5
C: 1, 4, 4, 4

P (A> B) = P (B> C) = 10/16, P (C> A) = 9/16

O'tkazmaydigan 12 tomonlama zar

Nontransitiv olti qirrali zarlarga o'xshab, o'tmaydigan bo'lib xizmat qiladigan dodekahedralar ham mavjud. o'n ikki tomonlama zar. Zarlarning har biridagi nuqtalar 114 ning yig'indisiga olib keladi. Ikki dodekaedrada takrorlanadigan raqamlar mavjud emas.

Mayvinning dodekaedrasi (1-set) 35:34 nisbatida bir-birlariga qarshi davriy ravishda g'alaba qozonadi.

Miwinning dodecahedra (2-set) 71:67 nisbatida bir-birlariga qarshi davriy ravishda g'alaba qozonadi.

1-to'plam:

D III	ko'k nuqta bilan	1	2			5	6	7		9	10	11			14	15	16		18
D IV	qizil nuqta bilan	1		3	4	5			8	9	10		12	13	14			17	18
D V	qora nuqta bilan		2	3	4		6	7	8			11	12	13		15	16	17

nontransitiv dodekaedron D III	nontransitiv dodekaedron D IV	nontransitiv dodekaedron D V

2-to'plam:

D VI	sariq nuqta bilan	1	2	3	4					9	10	11	12	13	14			17	18
D VII	oq nuqta bilan	1	2			5	6	7	8	9	10					15	16	17	18
D VIII	yashil nuqta bilan			3	4	5	6	7	8			11	12	13	14	15	16

o'tmaydigan dodekaedron D VI	nontransitiv dodekaedron D VII	nontransitiv dodekaedr D VIII

Nontransitiv sonli 12 qirrali zar

Nontransitiv dodecahedra to'plamlarini shunday tuzish mumkinki, ular takrorlanadigan sonlar bo'lmasin va barcha sonlar tub sonlar bo'lsin. Mayvinning noontransitiv oddiy raqamli dodekaedrasi 35:34 nisbatida bir-biriga qarshi tsikl bilan g'olib chiqadi.

1-to'plam: Raqamlar 564 gacha qo'shiladi.

PD 11	ko'k raqamlar bilan	13	17	29	31	37	43	47	53	67	71	73	83
PD 12	qizil raqamlar bilan	13	19	23	29	41	43	47	59	61	67	79	83
PD 13	qora raqamlar bilan	17	19	23	31	37	41	53	59	61	71	73	79

nontransitiv asosiy sonlar-dodekahedron PD 11	nontransitiv oddiy sonlar-dodekahedron PD 12	o'tmaydigan asosiy sonlar-dodekahedron PD 13

2-to'plam: Raqamlar 468 gacha qo'shiladi.

PD 1	sariq raqamlar bilan	7	11	19	23	29	37	43	47	53	61	67	71
PD 2	oq raqamlar bilan	7	13	17	19	31	37	41	43	59	61	67	73
PD 3	yashil raqamlar bilan	11	13	17	23	29	31	41	47	53	59	71	73

nontransitiv oddiy sonlar-dodekahedron PD 1	nontransitiv oddiy sonlar-dodekahedron PD 2	nontransitiv oddiy sonlar-dodekahedron PD 3

Shuningdek qarang

Adabiyotlar

^ Bill Geyts; Janet Lou (1998-10-14). Bill Geyts gapiradi: dunyodagi eng buyuk tadbirkorning fikri. Nyu-York: Vili. ISBN 9780471293538. Olingan 2011-11-29.
^ "shunchaki bardoshli nikoh kabi: Yahoo! Finance shaxsiy moliya yangiliklari!". Finance.yahoo.com. 2010-12-06. Olingan 2011-11-29.
^ "Matematik o'yinlar - Ed Pegg Jr tomonidan musobaqa zarlari". Amerika matematik assotsiatsiyasi. 2005-07-11. Olingan 2012-07-06.
^ ^a ^b Nontransitiv zarlar Arxivlandi 2016-05-14 da Orqaga qaytish mashinasi ("Grime Dice")
^ Rid, Kennet; Makrey, A.A .; Hedetniemi, S.M .; Hedetniemi, Stiven (2004-01-01). "Turnirlarda ustunlik va kamyoblik". Australasian Journal of Combinatorics [faqat elektron]. 29.

Manbalar

Gardner, Martin (2001). Matematikaning ulkan kitobi: klassik jumboqlar, paradokslar va masalalar: sonlar nazariyasi, algebra, geometriya, ehtimolliklar, topologiya, o'yin nazariyasi, cheksizlik va rekreatsiya matematikasining boshqa mavzulari (1-nashr). Nyu-York: W. W. Norton & Company. p.286 –311.^{[ISBN yo'q ]}
Spielerische Mathematik mit Miwin'schen Würfeln (nemis tilida). Bildungsverlag Lemberger. ISBN 978-3-85221-531-0.

Tashqi havolalar

[1] Bill Geyts; Janet Lou (1998-10-14). Bill Geyts gapiradi: dunyodagi eng buyuk tadbirkorning fikri. Nyu-York: Vili. ISBN 9780471293538. Olingan 2011-11-29.

[2] "shunchaki bardoshli nikoh kabi: Yahoo! Finance shaxsiy moliya yangiliklari!". Finance.yahoo.com. 2010-12-06. Olingan 2011-11-29.

[3] "Matematik o'yinlar - Ed Pegg Jr tomonidan musobaqa zarlari". Amerika matematik assotsiatsiyasi. 2005-07-11. Olingan 2012-07-06.

[A-4] Nontransitiv zarlar Arxivlandi 2016-05-14 da Orqaga qaytish mashinasi ("Grime Dice")

[5] Rid, Kennet; Makrey, A.A .; Hedetniemi, S.M .; Hedetniemi, Stiven (2004-01-01). "Turnirlarda ustunlik va kamyoblik". Australasian Journal of Combinatorics [faqat elektron]. 29.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]