Erkin guruhlar uchun oddiy shakl va guruhlarning bepul mahsuloti - Normal form for free groups and free product of groups - Wikipedia

Bu maqola aksariyat o'quvchilar tushunishi uchun juda texnik bo'lishi mumkin. Iltimos uni yaxshilashga yordam bering ga buni mutaxassis bo'lmaganlarga tushunarli qilish, texnik ma'lumotlarni olib tashlamasdan. (2012 yil may) (Ushbu shablon xabarini qanday va qachon olib tashlashni bilib oling)

Matematikada, xususan kombinatorial guruh nazariyasi, a normal shakl a bepul guruh to'plami ustida generatorlar yoki uchun guruhlarning bepul mahsuloti elementni oddiyroq element bilan ifodalashi, bu element erkin guruhda yoki guruhning bepul mahsulotlarida. Erkin guruh bo'lsa, bu oddiy elementlar qisqartirilgan so'zlar va guruhlarning erkin mahsuloti holatida bu qisqartirilgan ketma-ketliklar. Bularning aniq ta'riflari quyida keltirilgan. Ma'lum bo'lishicha, erkin guruh va guruhlarning bepul mahsuloti uchun noyob normal shakl mavjud, ya'ni har bir element oddiyroq element bilan ifodalanadi va bu vakillik noyobdir. Bu erkin guruhlar va guruhlarning erkin mahsuloti uchun normal shakl teoremasi. Oddiy shakl teoremasining isboti bu fikrga amal qiladi Artin va van der Vaerden.

Bepul guruhlar uchun oddiy shakl

Ruxsat bering ${ displaystyle G}$ bo'lishi a bepul guruh bilan ishlab chiqaruvchi to'plam ${ displaystyle S}$. Har bir element ${ displaystyle G}$ so'z bilan ifodalanadi ${ displaystyle w = a_ {1} cdots a_ {n},}$ qayerda ${ displaystyle a_ {j} in S ^ { pm}, 1 leqslant j leqslant n.}$

Ta'rif. Bir so'z deyiladi kamaytirilgan agar unda shaklning qatori bo'lmasa ${ displaystyle aa ^ {- 1}, a in S ^ { pm}.}$

Ta'rif. A normal shakl a bepul guruh ${ displaystyle G}$ bilan ishlab chiqaruvchi to'plam ${ displaystyle S}$ a tanlovidir qisqartirilgan so'z yilda ${ displaystyle S}$ ning har bir elementi uchun ${ displaystyle G}$.

Erkin guruhlar uchun normal shakl teoremasi. Erkin guruh noyob normal shaklga ega, ya'ni har bir element ${ displaystyle G}$ noyob qisqartirilgan so'z bilan ifodalanadi.

Isbot. So'zning elementar o'zgarishi ${ displaystyle w in G}$ shaklning bir qismini kiritish yoki o'chirishdan iborat ${ displaystyle aa ^ {- 1}}$ bilan ${ displaystyle a in S ^ { pm}}$. Ikki so'z ${ displaystyle w_ {1}}$ va ${ displaystyle w_ {2}}$ teng, ${ displaystyle w_ {1} equiv w_ {2}}$, agar elementar transformatsiyalar zanjiri mavjud bo'lsa ${ displaystyle w_ {1}}$ ga ${ displaystyle w_ {2}}$. Bu aniq ekvivalentlik munosabati ${ displaystyle G}$. Ruxsat bering ${ displaystyle G_ {0}}$ qisqartirilgan so'zlar to'plami bo'ling. So'zlarning har bir ekvivalentlik sinfida to'liq bitta qisqartirilgan so'z borligini ko'rsatamiz. Har bir ekvivalentlik sinfida qisqartirilgan so'z borligi aniq, chunki qismlarni ketma-ket o'chirish ${ displaystyle aa ^ {- 1}}$ har qanday so'zdan ${ displaystyle w}$ qisqartirilgan so'zga olib kelishi kerak. Shunda aniq qisqartirilgan so'zlarni ko'rsatish kifoya ${ displaystyle u}$ va ${ displaystyle v}$ teng emas. Har biriga ${ displaystyle x in S}$ almashtirishni aniqlang ${ displaystyle x Delta}$ ning ${ displaystyle G_ {0}}$ sozlash orqali ${ displaystyle w (x Delta) = wx}$ agar ${ displaystyle wx}$ kamayadi va ${ displaystyle w (x Delta) = u}$ agar ${ displaystyle w = ux ^ {- 1}}$. Ruxsat bering ${ displaystyle P}$ ning almashtirish guruhi bo'ling ${ displaystyle G_ {0}}$ tomonidan yaratilgan ${ displaystyle x Delta, x in S}$. Ruxsat bering ${ displaystyle Delta ^ {*}}$ ning multiplikativ kengaytmasi bo'ling ${ displaystyle Delta}$ xaritaga ${ displaystyle Delta ^ {*}: W mapsto P}$. Agar ${ displaystyle u_ {1} equiv u_ {2},}$ keyin ${ displaystyle u_ {1} Delta ^ {*} = u_ {2} Delta ^ {*}}$; bundan tashqari ${ displaystyle 1 (u Delta ^ {*}) = u_ {0}}$ bilan kamayadi ${ displaystyle u_ {0} equiv u.}$ Bundan kelib chiqadiki, agar ${ displaystyle u_ {1} equiv u_ {2}}$ bilan ${ displaystyle u_ {1}, u_ {2}}$ kamaytirildi, keyin ${ displaystyle u_ {1} = u_ {2}}$.

Bepul mahsulotlar uchun oddiy shakl

Ruxsat bering ${ displaystyle G = A * B}$ bo'lishi bepul mahsulot guruhlar ${ displaystyle A}$ va ${ displaystyle B}$. Har qanday element ${ displaystyle w in G}$ bilan ifodalanadi ${ displaystyle w = g_ {1} cdots g_ {n}}$ qayerda ${ displaystyle g_ {j} in A { text {or}} B}$ uchun ${ displaystyle 1 leqslant j leqslant n}$.

Ta'rif. A qisqartirilgan ketma-ketlik bu ketma-ketlik ${ displaystyle g_ {1}, cdots, g_ {n}}$ shunday uchun ${ displaystyle 1 leqslant j leqslant n}$ bizda ... bor ${ displaystyle g_ {j} in A { text {or}} B, g_ {j} neq e}$ va ${ displaystyle g_ {j}, g_ {j + 1}}$ bir xil omil emas ${ displaystyle A}$ yoki ${ displaystyle B}$. Identifikatsiya elementi bo'sh to'plam bilan ifodalanadi.

Ta'rif. A normal shakl a guruhlarning bepul mahsuloti ning har bir elementi uchun qisqartirilgan ketma-ketlikning tasviri yoki tanlovidir bepul mahsulot.

Guruhlarning bepul mahsuloti uchun normal shakl teoremasi. Bepul mahsulotni ko'rib chiqing ${ displaystyle A * B}$ ikki guruh ${ displaystyle A}$ va ${ displaystyle B}$. Keyin quyidagi ikkita ekvivalent bayonotlar mavjud.

(1) Agar ${ displaystyle w = g_ {1} cdots g_ {n}, n> 0}$, qayerda ${ displaystyle g_ {1}, cdots, g_ {n}}$ qisqartirilgan ketma-ketlik, keyin ${ displaystyle w neq 1}$ yilda ${ displaystyle A * B.}$

(2) ning har bir elementi ${ displaystyle A * B}$ kabi noyob tarzda yozilishi mumkin ${ displaystyle w = g_ {1} cdots g_ {n}}$ qayerda ${ displaystyle g_ {1}, cdots, g_ {n}}$ qisqartirilgan ketma-ketlikdir.

Isbot

Ekvivalentlik

Ikkinchi bayonot birinchisini nazarda tutishi oson. Endi birinchi bayonot ushlab turilsin va ruxsat bering:

${ displaystyle g_ {1} cdots g_ {m} = w = h_ {1} cdots h_ {n}.}$

Bu shuni anglatadi

${ displaystyle h_ {n} ^ {- 1} cdots h_ {1} ^ {- 1} g_ {1} cdots g_ {m} = 1.}$

Shuning uchun birinchi so'z bilan chap tomonni qisqartirish mumkin emas. Bu faqat shunday bo'lishi mumkin ${ displaystyle h_ {1} ^ {- 1} g_ {1} = 1,}$ ya'ni ${ displaystyle g_ {1} = h_ {1}.}$ Bizda induktiv ravishda davom etish ${ displaystyle m = n}$ va ${ displaystyle g_ {i} = h_ {i}}$ Barcha uchun ${ displaystyle 1 leqslant i leqslant n.}$ Bu ikkala bayonotning teng ekanligini ko'rsatadi.

(2) ning isboti

Ruxsat bering V barcha qisqartirilgan ketma-ketliklar to'plami bo'ling A ∗ B va S(V) uning permutatsiyalar guruhi bo'ling. Aniqlang φ : A → S(V) quyidagicha:

${ displaystyle varphi (a) (g_ {1}, g_ {2}, cdots, g_ {m}) = { begin {case} (g_ {1}, g_ {2}, cdots, g_ { m}) & { text {if}} a = 1 (a, g_ {1}, g_ {2}, cdots, g_ {m}) va { text {if}} g_ {1} B (ag_ {1}, g_ {2}, cdots, g_ {m}) va { text {if}} g_ {1} in A { text {va}} ag_ {1} neq 1 (g_ {2}, g_ {3}, cdots, g_ {m}) & { text {if}} g_ {1} in A { text {and}} ag_ {1} = 1. end {case}}}$

Xuddi shunday biz aniqlaymiz ψ : B → S(V).

Buni tekshirish oson φ va ψ gomomorfizmlardir. Shuning uchun bepul mahsulotning universal mulki orqali biz noyob xaritani qo'lga kiritamiz φ ∗ ψ : A ∗ B → S(V) shu kabi φ ∗ ψ (id) (1) = id (1) = 1.

Endi faraz qiling ${ displaystyle w = g_ {1} cdots g_ {n}, n> 0,}$ qayerda ${ displaystyle (g_ {1}, cdots, g_ {n})}$ qisqartirilgan ketma-ketlik, keyin ${ displaystyle phi * psi (w) (1) = (g_ {1}, cdots, g_ {n}).}$ Shuning uchun w = 1 yilda A ∗ B bu zid n > 0.

Adabiyotlar

• Lindon, Rojer S.; Shupp, Pol E. (1977). Kombinatorial guruh nazariyasi. Springer. ISBN  978-3-540-41158-1..