Orthodiagonal to'rtburchak - Orthodiagonal quadrilateral

Ortodiyagonal to'rtburchak (sariq). Ushbu to'rtburchaklar xarakteristikasiga ko'ra, to'rtburchakning ikkita qarama-qarshi tomonidagi ikkita qizil kvadrat umumiy maydonga qarama-qarshi tomonlarning boshqa juftidagi ikkita ko'k kvadratga teng.

Yilda Evklid geometriyasi, an ortdiagonal to'rtburchak a to'rtburchak unda diagonallar kesib o'tish to'g'ri burchaklar. Boshqacha qilib aytganda, bu to'rtburchak shaklda, unda chiziq segmentlari qo'shni bo'lmagan o'rtasida tepaliklar bor ortogonal (perpendikulyar) bir-biriga.

Maxsus holatlar

A uçurtma - bitta diagonal simmetriya chizig'i bo'lgan ortodiagonal to'rtburchak. Kitslar aynan a tarkibiga ega bo'lgan ortdiagonal to'rtburchaklardir doira ularning to'rt tomoniga tegib turgan; ya'ni kites bu teginativ ortdiagonal to'rtburchaklar.^[1]

A romb Ikki juft parallel yonga ega bo'lgan ortdiagonali to'rtburchak (ya'ni, ortdiagonal to'rtburchak, u ham parallelogram ).

A kvadrat ham uçurtma, ham rombning cheklovchi hodisasidir.

Orthodiagonal teng burchakli diagonallari hech bo'lmaganda to'rtburchaklar tomonlarining barchasi, to'rtburchaklar orasida ularning diametri uchun maksimal maydonga ega bo'lgan to'rtburchaklar n = Ning 4 holati eng katta kichik ko'pburchak muammo. Kvadrat shunday to'rtburchaklardan biri, ammo boshqalari cheksiz ko'p. Ortdiagonal to'rtburchak ham tengburchakka teng o'rta to'rtburchak chunki uning Varignon parallelogrammasi kvadrat. Uning maydoni faqat tomonlari bo'yicha ifodalanishi mumkin.

Xarakteristikalar

Har qanday ortdiagonal to'rtburchak uchun ikkita qarama-qarshi tomonning kvadratlari yig'indisi qolgan ikki qarama-qarshi tomonga teng: ketma-ket tomonlar uchun a, b, vva d, bizda ... bor ^[2]^[3]

{ displaystyle displaystyle a ^ {2} + c ^ {2} = b ^ {2} + d ^ {2}.}

Bu Pifagor teoremasi, bu ikki kvadratning ikkala yig'indisining har birini to'rtburchak vertikallaridan diagonallar kesishgan nuqtaga qadar to'rt kvadrat masofaning yig'indisiga tenglashtirib kengaytirish mumkin. Aksincha, undagi har qanday to'rtburchak a² + v² = b² + d² ortodiagonal bo'lishi kerak.^[4]Buni bir qancha usullar bilan, shu jumladan kosinuslar qonuni, vektorlar, an bilvosita dalil va murakkab sonlar.^[5]

Qavariq to'rtburchakning diagonallari perpendikulyar agar va faqat agar ikkitasi bimediyaliklar teng uzunlikka ega.^[5]

Boshqa xarakteristikaga ko'ra, qavariq to'rtburchakning diagonallari A B C D perpendikulyar va agar shunday bo'lsa

{ displaystyle burchak PAB + burchak PBA + burchak PCD + burchak PDC = pi}

qayerda P diagonallarning kesishish nuqtasi. Ushbu tenglamadan deyarli darhol kelib chiqadiki, agar qavariq to'rtburchakning diagonallari perpendikulyar bo'lsa va faqat proektsiyalar to'rtburchak tomonlariga diagonal kesmaning a tepaliklari tsiklik to'rtburchak.^[5]

Qavariq to'rtburchak ortdiagonali, agar u bo'lsa Varignon parallelogrammasi (uning tepalari o'rta nuqtalar uning yon tomonlari) a to'rtburchak.^[5] Tegishli xarakteristikada, agar to'rtburchakning yon tomonlari va oyoqlari o'rta nuqtalari bo'lsa, faqat to'rtburchak to'rtburchaklar ortdiagonal bo'ladi. yomonlik sakkiz konsiklik nuqta; The sakkizta nuqta doirasi. Ushbu doiraning markazi bu centroid to'rtburchakning Maltitlarning oyoqlari bilan hosil bo'lgan to'rtburchak deyiladi asosiy ortik to'rtburchak.^[6]

Agar normal Qavariq to'rtburchak tomonlariga A B C D diagonal kesishma orqali qarama-qarshi tomonlarni kesib o'tadi R, S, T, Uva K, L, M, N keyin bu normallarning oyoqlari A B C D sakkizta nuqta bo'lsa va faqat ortdiagonal bo'ladi K, L, M, N, R, S, T va U kontsiklik; The ikkinchi sakkizta nuqta doirasi. Tegishli xarakteristikada, konveks to'rtburchagi ortodiogonal bo'lsa, agar shunday bo'lsa RSTU tomonlari joylashgan to'rtburchakdir parallel ning diagonallariga A B C D.^[5]

To'rtlikka oid bir nechta metrik tavsiflar mavjud uchburchaklar diagonal kesishish natijasida hosil bo'lgan P va qavariq to'rtburchakning uchlari A B C D. Belgilash m₁, m₂, m₃, m₄ The medianlar uchburchaklar shaklida ABP, BCP, CDP, DAP dan P tomonlarga AB, Miloddan avvalgi, CD, DA navbati bilan. Agar R₁, R₂, R₃, R₄ va h₁, h₂, h₃, h₄ ni belgilang radiusi ning aylana va balandliklar navbati bilan ushbu uchburchaklar, keyin to'rtburchak A B C D agar quyidagi tengliklardan biri bajarilsa, ortodiogonal bo'ladi:^[5]

${ displaystyle m_ {1} ^ {2} + m_ {3} ^ {2} = m_ {2} ^ {2} + m_ {4} ^ {2}}$
${ displaystyle R_ {1} ^ {2} + R_ {3} ^ {2} = R_ {2} ^ {2} + R_ {4} ^ {2}}$
${ displaystyle { frac {1} {h_ {1} ^ {2}}} + { frac {1} {h_ {3} ^ {2}}} = { frac {1} {h_ {2} ^ {2}}} + { frac {1} {h_ {4} ^ {2}}}}$

Bundan tashqari, to'rtburchak A B C D kesishish bilan P diagonallarning ortodiagonali, agar uchburchaklar aylanasi bo'lsa ABP, BCP, CDP va DAP to'rtburchak tomonlarining o'rta nuqtalari.^[5]

Tangensial to'rtburchak bilan taqqoslash

Ning bir nechta metrik tavsiflari tangensial to'rtburchaklar va ortdiagonal to'rtburchaklar tashqi ko'rinishiga juda o'xshashdir, buni ushbu jadvalda ko'rish mumkin.^[5] Yon tomonidagi yozuvlar a, b, v, d, circradii R₁, R₂, R₃, R₄va balandliklar h₁, h₂, h₃, h₄ to'rtburchaklarning ikkala turida ham yuqoridagi kabi.

Tangensial to'rtburchak	Orthodiagonal to'rtburchak
${ displaystyle a + c = b + d}$	${ displaystyle a ^ {2} + c ^ {2} = b ^ {2} + d ^ {2}}$
${ displaystyle R_ {1} + R_ {3} = R_ {2} + R_ {4}}$	${ displaystyle R_ {1} ^ {2} + R_ {3} ^ {2} = R_ {2} ^ {2} + R_ {4} ^ {2}}$
${ displaystyle { frac {1} {h_ {1}}} + { frac {1} {h_ {3}}} = { frac {1} {h_ {2}}} + { frac {1 } {h_ {4}}}}$	${ displaystyle { frac {1} {h_ {1} ^ {2}}} + { frac {1} {h_ {3} ^ {2}}} = { frac {1} {h_ {2} ^ {2}}} + { frac {1} {h_ {4} ^ {2}}}}$

Maydon

Hudud K ortodiagonal to'rtburchakning diagonallari uzunligining ko'paytmasining yarmiga teng p va q:^[7]

{ displaystyle K = { frac {p cdot q} {2}}.}

Aksincha, ushbu formulada maydonni hisoblash mumkin bo'lgan har qanday konveks to'rtburchak ortodagonali bo'lishi kerak.^[5] Ortdiagonal to'rtburchak berilgan diagonalli barcha qavariq to'rtburchaklarning eng katta maydoniga ega.

Boshqa xususiyatlar

Ortodiyagonal to'rtburchaklar - bu to'rtburchaklar, ular uchun diagonallar tomonidan hosil qilingan burchak va burchak maydonni aniq belgilamaydi.^[3] Masalan, ikkala rombning ikkalasi ham umumiy tomonga ega a (va barcha rombiylarga kelsak, ikkalasi ham diagonallar o'rtasida to'g'ri burchakka ega), lekin bittasi kichikroq o'tkir burchak boshqasidan farqli o'laroq, turli xil maydonlarga ega (o'tkir burchak nolga yaqinlashganda avvalgi nolga yaqinlashadigan maydon).
Agar kvadratchalar har qanday tomonning tashqi tomoniga o'rnatiladi to'rtburchak (konveks, konkav yoki kesib o'tgan), keyin ularning markazlar (santroidlar ) ortdiagonal to'rtburchakning tepaliklari hamdir teng burchakli (ya'ni teng uzunlikdagi diagonallarga ega). Bu deyiladi Van Aubel teoremasi.
Ortodiagonal to'rtburchakning har bir tomoni Paskal nuqtalari doirasi bilan kamida bitta umumiy nuqtaga ega. ^[8]

Ortodiyagonal to'rtburchaklarning xususiyatlari ham tsiklikdir

Circumradius va maydon

Uchun tsiklik ortdiagonal to'rtburchak (bo'lishi mumkin bo'lgan biri) yozilgan a doira ), diagonallarning kesishishi bitta diagonalni uzunlik segmentlariga ajratgan deb taxmin qiling p₁ va p₂ va boshqa diagonalni uzunlik segmentlariga ajratadi q₁ va q₂. Keyin^[9] (birinchi tenglik - bu 11-taklif Arximed Lemmalar kitobi )

{ displaystyle D ^ {2} = p_ {1} ^ {2} + p_ {2} ^ {2} + q_ {1} ^ {2} + q_ {2} ^ {2} = a ^ {2} + c ^ {2} = b ^ {2} + d ^ {2}}

qayerda D. bo'ladi diametri ning aylana. Bu diagonallar perpendikulyar bo'lganligi sababli amalga oshiriladi doira akkordlari. Ushbu tenglamalar natijasida hosil bo'ladi sirkradius ifoda

{ displaystyle R = { tfrac {1} {2}} { sqrt {p_ {1} ^ {2} + p_ {2} ^ {2} + q_ {1} ^ {2} + q_ {2} ^ {2}}}}

yoki to'rtburchak tomonlari bo'yicha, kabi^[2]

{ displaystyle R = { tfrac {1} {2}} { sqrt {a ^ {2} + c ^ {2}}} = { tfrac {1} {2}} { sqrt {b ^ { 2} + d ^ {2}}}.}

Bundan tashqari, bundan kelib chiqadi^[2]

{ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} + d ^ {2} = 8R ^ {2}.}

Shunday qilib, ko'ra Eylerning to'rtburchak teoremasi, sirkradiusni diagonallar bilan ifodalash mumkin p va qva masofa x kabi diagonallarning o'rta nuqtalari orasida

{ displaystyle R = { sqrt { frac {p ^ {2} + q ^ {2} + 4x ^ {2}} {8}}}.}

Uchun formula maydon K to'rt tomoni nuqtai nazaridan tsiklik ortodiagonal to'rtburchak to'g'ridan-to'g'ri birlashganda olinadi Ptolomey teoremasi va uchun formula ortdiagonal to'rtburchakning maydoni. Natija^[10]^:222-bet

{ displaystyle K = { tfrac {1} {2}} (ac + bd).}

Boshqa xususiyatlar

Tsiklik ortodiagonal to'rtburchakda markaz diagonallar kesishgan nuqtaga to'g'ri keladi.^[2]
Braxmagupta teoremasi tsiklik ortodiagonali to'rtburchak uchun har qanday tomondan perpendikulyar diagonallarning kesishish nuqtasi bilan qarama-qarshi tomonni ikkiga bo'linishini ta'kidlaydi.^[2]
Agar ortdiagonal to'rtburchak ham tsiklik bo'lsa, dan masofa aylana (sunnat qilingan doiraning markazi) istalgan tomonga qarama-qarshi tomonning uzunligining yarmiga teng.^[2]
Siklik ortodiyagonal to'rtburchakda diagonallarning o'rta nuqtalari orasidagi masofa aylana aylanasi va diagonallar kesishgan nuqta orasidagi masofaga teng.^[2]

Yozilgan to'rtburchaklar cheksiz to'plamlari

{ displaystyle ABCD}

ortodiagonal to'rtburchak,

{ displaystyle P_ {1} X_ {1} Z_ {1} Y_ {1}}

va

{ displaystyle P_ {2} X_ {2} Z_ {2} Y_ {2}}

tomonlari to'rtburchakning diagonallariga parallel bo'lgan to'rtburchaklardir.

{ displaystyle ABCD}

ortodiagonal to'rtburchak.

{ displaystyle P_ {1}}

va

{ displaystyle Q_ {1}}

aylana tomonidan hosil qilingan Paskal nuqtalari

{ displaystyle omega _ {1}}

,

{ displaystyle sigma _ {P_ {1} Q_ {1}}}

bu to'rtburchakni belgilaydigan Paskal-nuqta doirasi

{ displaystyle P_ {1} V_ {1} Q_ {1} W_ {1}}

.

{ displaystyle P_ {2}}

va

{ displaystyle Q_ {2}}

aylana tomonidan hosil qilingan Paskal nuqtalari

{ displaystyle omega _ {2}}

,

{ displaystyle sigma _ {P_ {2} Q_ {2}}}

bu to'rtburchakni belgilaydigan Paskal-nuqta doirasi

{ displaystyle P_ {2} V_ {2} Q_ {2} W_ {2}}

.

Har bir ortdiagonal to'rtburchak uchun biz ikkita cheksiz to'rtburchaklar to'plamini yozishimiz mumkin:

(i) tomonlari to'rtburchakning diagonallariga parallel bo'lgan to'rtburchaklar to'plami

(ii) Paskal nuqtalari doiralari bilan aniqlangan to'rtburchaklar to'plami.^[11]

Adabiyotlar

^ Jozefsson, Martin (2010), "Tangensial to'rtburchakning tangens uzunliklari va tangens akkordlari bo'yicha hisob-kitoblar" (PDF), Forum Geometricorum, 10: 119–130.
^ ^a ^b ^v ^d ^e ^f ^g Altshiller-sud, N. (2007), Kollej geometriyasi, Dover nashrlari. Ikkinchi nashrning respublikasi, 1952, Barnes & Noble, 136-138-betlar.
^ ^a ^b Mitchell, Duglas, V. (2009), "To'rtburchakning maydoni", Matematik gazeta, 93 (Iyul): 306-309.
^ Ismailesku, Dan; Vojdany, Adam (2009), "Qavariq to'rtburchaklar parchalanishining sinfi saqlanishi" (PDF), Forum Geometricorum, 9: 195–211.
^ ^a ^b ^v ^d ^e ^f ^g ^h ^men Jozefsson, Martin (2012), "Orthodiagonal to'rtburchaklar xarakteristikalari" (PDF), Forum Geometricorum, 12: 13–25.
^ Mammana, Mariya Flaviya; Mikale, Byajio; Pennisi, Mario (2011), "Qavariq to'rtburchakning Droz-Farny doiralari" (PDF), Forum Geometricorum, 11: 109–119.
^ Harris, J. (2002), "To'rtburchak maydoni", Matematik gazeta, 86 (Iyul): 310-311
^ Devid, Fraivert (2017), "Paskalning perpendikulyar diagonallari bo'lgan to'rtburchak doiradagi aylananing xususiyatlari" (PDF), Forum Geometricorum, 17: 509–526.
^ Posamentier, Alfred S.; Salkind, Charlz T. (1996), Geometriyadagi qiyin muammolar (ikkinchi tahr.), Dover nashrlari, 104-105 betlar, # 4-23.
^ Josefsson, Martin (2016), "Pifagoriya to'rtburchaklar xususiyatlari", Matematik gazeta, 100 (Iyul): 213-224.
^ Devid, Fraivert (2019), "Orthodiagonali to'rtburchakka yozilgan va Paskal-punkt doiralari bilan belgilangan to'rtburchaklar to'plami", Geometriya va grafikalar uchun jurnal, 23: 5–27.

[1] Jozefsson, Martin (2010), "Tangensial to'rtburchakning tangens uzunliklari va tangens akkordlari bo'yicha hisob-kitoblar" (PDF), Forum Geometricorum, 10: 119–130.

[Altshiller-Court-2] v ^d ^e ^f ^g Altshiller-sud, N. (2007), Kollej geometriyasi, Dover nashrlari. Ikkinchi nashrning respublikasi, 1952, Barnes & Noble, 136-138-betlar.

[Mitchell-3] Mitchell, Duglas, V. (2009), "To'rtburchakning maydoni", Matematik gazeta, 93 (Iyul): 306-309.

[4] Ismailesku, Dan; Vojdany, Adam (2009), "Qavariq to'rtburchaklar parchalanishining sinfi saqlanishi" (PDF), Forum Geometricorum, 9: 195–211.

[Josefsson2-5] v ^d ^e ^f ^g ^h ^men Jozefsson, Martin (2012), "Orthodiagonal to'rtburchaklar xarakteristikalari" (PDF), Forum Geometricorum, 12: 13–25.

[6] Mammana, Mariya Flaviya; Mikale, Byajio; Pennisi, Mario (2011), "Qavariq to'rtburchakning Droz-Farny doiralari" (PDF), Forum Geometricorum, 11: 109–119.

[7] Harris, J. (2002), "To'rtburchak maydoni", Matematik gazeta, 86 (Iyul): 310-311

[Fraivert-8] Devid, Fraivert (2017), "Paskalning perpendikulyar diagonallari bo'lgan to'rtburchak doiradagi aylananing xususiyatlari" (PDF), Forum Geometricorum, 17: 509–526.

[9] Posamentier, Alfred S.; Salkind, Charlz T. (1996), Geometriyadagi qiyin muammolar (ikkinchi tahr.), Dover nashrlari, 104-105 betlar, # 4-23.

[Josefsson3-10] Josefsson, Martin (2016), "Pifagoriya to'rtburchaklar xususiyatlari", Matematik gazeta, 100 (Iyul): 213-224.

[Fraivert2-11] Devid, Fraivert (2019), "Orthodiagonali to'rtburchakka yozilgan va Paskal-punkt doiralari bilan belgilangan to'rtburchaklar to'plami", Geometriya va grafikalar uchun jurnal, 23: 5–27.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]