Parabolik silindrsimon koordinatalar - Parabolic cylindrical coordinates - Wikipedia

Koordinatali yuzalar parabolik silindr koordinatalari. Qizil parabolik silindr ph = 2 ga, sariq parabolik silindr ph = 1 ga to'g'ri keladi. Moviy tekislik mos keladi z= 2. Ushbu sirtlar nuqtada kesishadi P ega bo'lgan (qora shar shaklida ko'rsatilgan) Dekart koordinatalari taxminan (2, -1.5, 2).

Yilda matematika, parabolik silindrsimon koordinatalar uch o'lchovli ortogonal koordinatalar tizimi bu ikki o'lchovli proektsiyadan kelib chiqadi parabolik koordinatalar tizimi perpendikulyar ravishda ${ displaystyle z}$- yo'nalish. Shuning uchun koordinatali yuzalar bor konfokal parabolik tsilindrlar. Parabolik silindrsimon koordinatalar ko'plab dasturlarni topdi, masalan potentsial nazariyasi qirralarning.

Asosiy ta'rif

Doimiy va τ gorizontal va vertikal o'qlarning egri chiziqlarini ko'rsatadigan parabolik koordinatalar tizimi mos ravishda x va y koordinatalaridir. Ushbu koordinatalar z o'qi bo'ylab proektsiyalangan va shuning uchun ushbu diagramma z koordinatasining istalgan qiymati uchun amal qiladi.

Parabolik silindrsimon koordinatalar (σ, τ, z) jihatidan belgilanadi Dekart koordinatalari (x, y, z) tomonidan:

${ displaystyle { begin {aligned} x & = sigma tau y & = { frac {1} {2}} left ( tau ^ {2} - sigma ^ {2} right) z & = z end {hizalangan}}}$

Doimiy yuzalar σ konfokal parabolik tsilindrlarni hosil qiladi

${ displaystyle 2y = { frac {x ^ {2}} { sigma ^ {2}}} - sigma ^ {2}}$

tomon ochiladi +ydoimiy sirtlari esa τ konfokal parabolik tsilindrlarni hosil qiladi

${ displaystyle 2y = - { frac {x ^ {2}} { tau ^ {2}}} + tau ^ {2}}$

qarama-qarshi yo'nalishda, ya'ni tomonga ochiladigan −y. Ushbu barcha parabolik tsilindrlarning fokuslari belgilangan chiziq bo'ylab joylashgan x = y = 0. Radius r ham oddiy formulaga ega

${ displaystyle r = { sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} = { frac {1} {2}} left ( sigma ^ {2} + tau ^ {2} o'ngda)}$

echimini topishda foydalidir Gemilton-Jakobi tenglamasi uchun parabolik koordinatalarda teskari kvadrat markaziy kuch muammosi mexanika; batafsil ma'lumot uchun qarang Laplas - Runge - Lenz vektori maqola.

O'lchov omillari

Parabolik silindr koordinatalari uchun masshtab omillari σ va τ ular:

${ displaystyle { begin {aligned} h _ { sigma} & = h _ { tau} = { sqrt { sigma ^ {2} + tau ^ {2}}} h_ {z} & = 1 end {hizalangan}}}$

Differentsial elementlar

Hajmning cheksiz elementi

${ displaystyle dV = h _ { sigma} h _ { tau} h_ {z} d sigma d tau dz = ( sigma ^ {2} + tau ^ {2}) d sigma , d tau , dz}$

Differentsial siljish quyidagicha:

${ displaystyle d mathbf {l} = { sqrt { sigma ^ {2} + tau ^ {2}}} , d sigma , { boldsymbol { hat { sigma}}} + { sqrt { sigma ^ {2} + tau ^ {2}}} , d tau , { boldsymbol { hat { tau}}} + dz , mathbf { hat {z}} }$

Differentsial normal maydon quyidagicha:

${ displaystyle d mathbf {S} = { sqrt { sigma ^ {2} + tau ^ {2}}} , d tau , dz { boldsymbol { hat { sigma}}}} + { sqrt { sigma ^ {2} + tau ^ {2}}} , d sigma , dz { boldsymbol { hat { tau}}} + + left ( sigma ^ {2} + tau ^ {2} right) , d sigma , d tau mathbf { hat {z}}}$

Del

Ruxsat bering f skalar maydoni bo'ling. The gradient tomonidan berilgan

${ displaystyle nabla f = { frac {1} { sqrt { sigma ^ {2} + tau ^ {2}}}} { ismi f over part sigma} { boldsymbol { hat { sigma}}} + { frac {1} { sqrt { sigma ^ {2} + tau ^ {2}}}} { qismli f over kısalt tau} { boldsymbol { hat { tau}}} + { qismli f over qisman z} mathbf { hat {z}}}$

The Laplasiya tomonidan berilgan

${ displaystyle nabla ^ {2} f = { frac {1} { sigma ^ {2} + tau ^ {2}}} chap ({ frac { qismli ^ {2} f} { qisman sigma ^ {2}}} + { frac { qismli ^ {2} f} { qismli tau ^ {2}}} o'ng) + { frac { qismli ^ {2} f} { qisman z ^ {2}}}}$

Ruxsat bering A shaklning vektor maydoni bo'lishi:

${ displaystyle mathbf {A} = A _ { sigma} { boldsymbol { hat { sigma}}} + A _ { tau} { boldsymbol { hat { tau}}} + A_ {z} mathbf { hat {z}}}$

The kelishmovchilik tomonidan berilgan

${ displaystyle nabla cdot mathbf {A} = { frac {1} { sigma ^ {2} + tau ^ {2}}} chap ({ qismli ({ sqrt { sigma ^ {) 2} + tau ^ {2}}} A _ { sigma}) over qism sigma} + { qism ({ sqrt { sigma ^ {2} + tau ^ {2}}} A_ { tau}) over qism tau} o'ng) + { qisman A_ {z} over qisman z}}$

The burish tomonidan berilgan

${ displaystyle nabla times mathbf {A} = chap ({ frac {1} { sqrt { sigma ^ {2} + tau ^ {2}}}} { frac { qisman A_ { z}} { kısmi tau}} - { frac { qismli A _ { tau}} { qismli z}} o'ng) { boldsymbol { hat { sigma}}} - chap ({ frac {1} { sqrt { sigma ^ {2} + tau ^ {2}}}} { frac { qisman A_ {z}} { qismli sigma}} - { frac { qisman A_ { sigma}} { qismli z}} o'ng) { boldsymbol { hat { tau}}} + { frac {1} { sigma ^ {2} + tau ^ {2}}} chap ({ frac { qisman chap ({ sqrt { sigma ^ {2} + tau ^ {2}}} A _ { sigma} o'ng)} {{qisman tau}} - { frac { qismli chap ({ sqrt { sigma ^ {2} + tau ^ {2}}} A _ { tau} o'ng)} { qismli sigma}} o'ng) mathbf { hat { z}}}$

Boshqa differentsial operatorlarni koordinatalarda ifodalash mumkin (σ, τ) shkala omillarini umumiy formulalarga almashtirish orqali ortogonal koordinatalar.

Boshqa koordinatali tizimlar bilan aloqasi

Bilan munosabatlar silindrsimon koordinatalar (r, φ, z):

${ displaystyle { begin {aligned} rho cos varphi & = sigma tau rho sin varphi & = { frac {1} {2}} left ( tau ^ {2} - sigma ^ {2} right) z & = z end {hizalanmış}}}$

Dekart birlik vektorlari bilan ifodalangan parabolik birlik vektorlari:

${ displaystyle { begin {aligned} { boldsymbol { hat { sigma}}} & = { frac { tau { hat { mathbf {x}}} - sigma { hat { mathbf { y}}}} { sqrt { tau ^ {2} + sigma ^ {2}}}} { boldsymbol { hat { tau}}} & = { frac { sigma { hat { mathbf {x}}} + tau { hat { mathbf {y}}}} { sqrt { tau ^ {2} + sigma ^ {2}}}} mathbf { hat {z}} & = mathbf { hat {z}} end {aligned}}}$

Parabolik silindrli harmonikalar

Doimiy sirtlarning barchasi beri σ, τ va z bor konikoidlar, Laplas tenglamasi parabolik silindr koordinatalarida ajralib turadi. Ning texnikasidan foydalangan holda o'zgaruvchilarni ajratish, Laplas tenglamasining ajratilgan echimi yozilishi mumkin:

${ displaystyle V = S ( sigma) T ( tau) Z (z)}$

va Laplas tenglamasi, ga bo'lingan V, yoziladi:

${ displaystyle { frac {1} { sigma ^ {2} + tau ^ {2}}} left [{ frac { ddot {S}} {S}} + { frac { ddot { T}} {T}} o'ng] + { frac { ddot {Z}} {Z}} = 0}$

Beri Z tenglama boshqalardan ajralib turadi, biz yozishimiz mumkin

${ displaystyle { frac { ddot {Z}} {Z}} = - m ^ {2}}$

qayerda m doimiy. Z(z) echim bor:

${ displaystyle Z_ {m} (z) = A_ {1} , e ^ {imz} + A_ {2} , e ^ {- imz}}$

O'zgartirish −m² uchun ${ displaystyle { ddot {Z}} / Z}$, Laplas tenglamasi endi yozilishi mumkin:

${ displaystyle left [{ frac { ddot {S}} {S}} + { frac { ddot {T}} {T}} right] = m ^ {2} ( sigma ^ {2 } + tau ^ {2})}$

Endi biz ajratishimiz mumkin S va T funktsiyalarini bajaradi va yana bir doimiyni kiritadi n² olish uchun:

${ displaystyle { ddot {S}} - (m ^ {2} sigma ^ {2} + n ^ {2}) S = 0}$

${ displaystyle { ddot {T}} - (m ^ {2} tau ^ {2} -n ^ {2}) T = 0}$

Ushbu tenglamalarning echimlari quyidagilar parabolik silindrning funktsiyalari

${ displaystyle S_ {mn} ( sigma) = A_ {3} y_ {1} (n ^ {2} / 2m, sigma { sqrt {2m}}) + A_ {4} y_ {2} (n ^ {2} / 2m, sigma { sqrt {2m}})}$

${ displaystyle T_ {mn} ( tau) = A_ {5} y_ {1} (n ^ {2} / 2m, i tau { sqrt {2m}}) + A_ {6} y_ {2} ( n ^ {2} / 2m, i tau { sqrt {2m}})}$

Parabolik silindr harmonikalari (m, n) endi echimlar mahsulidir. Kombinatsiya doimiylar sonini kamaytiradi va Laplas tenglamasining umumiy echimi yozilishi mumkin:

${ displaystyle V ( sigma, tau, z) = sum _ {m, n} A_ {mn} S_ {mn} T_ {mn} Z_ {m}}$

Ilovalar

Parabolik silindrsimon koordinatalarning klassik qo'llanilishi hal qilinmoqda qisman differentsial tenglamalar masalan, Laplas tenglamasi yoki Gelmgolts tenglamasi, buning uchun bunday koordinatalar a ga imkon beradi o'zgaruvchilarni ajratish. Odatda, misol bo'lishi mumkin elektr maydoni yassi yarim cheksiz o'tkazgich plitasini o'rab turgan.

Shuningdek qarang

• Parabolik koordinatalar
• Ortogonal koordinatalar tizimi
• Egri chiziqli koordinatalar

Bibliografiya

• Morz bosh vazir, Feshbax H (1953). Nazariy fizika metodikasi, I qism. Nyu-York: McGraw-Hill. p. 658. ISBN  0-07-043316-X. LCCN  52011515.
• Margenau H, Merfi GM (1956). Fizika va kimyo matematikasi. Nyu-York: D. van Nostran. pp.186 –187. LCCN  55010911.
• Korn GA, Korn TM (1961). Olimlar va muhandislar uchun matematik qo'llanma. Nyu-York: McGraw-Hill. p. 181. LCCN  59014456. ASIN B0000CKZX7.
• Sauer R, Sabo I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. Nyu-York: Springer Verlag. p. 96. LCCN  67025285.
• Zwillinger D (1992). Integratsiya bo'yicha qo'llanma. Boston, MA: Jons va Bartlett. p. 114. ISBN  0-86720-293-9. Morse & Feshbach (1953) bilan bir xil, almashtirish siz_k ξ uchun_k.
• Oy P, Spenser DE (1988). "Parabolik-silindr koordinatalari (m, ν, z)". Koordinata tizimlari, differentsial tenglamalar va ularning echimlarini o'z ichiga olgan dala nazariyasi qo'llanmasi (tuzatilgan 2-nashr, 3-nashr.). Nyu-York: Springer-Verlag. 21-24 bet (1.04-jadval). ISBN  978-0-387-18430-2.

Tashqi havolalar

• Parabolik silindrsimon koordinatalarning MathWorld tavsifi