Bo'lim funktsiyasi (sonlar nazariyasi) - Partition function (number theory)

Qadriyatlar bo'lim funktsiyasini (1, 2, 3, 5, 7, 11, 15 va 22) hisoblash orqali aniqlash mumkin Yosh diagrammalar 1 dan 8 gacha bo'lgan raqamlarning bo'laklari uchun.

Yilda sonlar nazariyasi, bo'lim funktsiyasi p(n) ifodalaydi raqam mumkin bo'limlar manfiy bo'lmagan tamsayı n. Masalan; misol uchun, p(4) = 5 chunki tamsayı 4 beshta qismga ega 1 + 1 + 1 + 1, 1 + 1 + 2, 1 + 3, 2 + 2va 4.

Yo'q yopiq shakldagi ifoda chunki bo'lim funktsiyasi ma'lum, ammo u ikkalasiga ham ega asimptotik kengayish buni aniq taxmin qiladigan va takrorlanish munosabatlari uni aniq hisoblash mumkin. U o'sadi eksponent funktsiya ning kvadrat ildiz uning argumenti. The multiplikativ teskari uning ishlab chiqarish funktsiyasi bo'ladi Eyler funktsiyasi; Eyler tomonidan beshburchak sonlar teoremasi bu funktsiya o'zgaruvchan yig'indidir beshburchak raqam uning dalil kuchlari.

Srinivasa Ramanujan birinchi bo'lib bo'lim funktsiyasi nodavlat naqshlarga ega ekanligini aniqladi modulli arifmetik, endi sifatida tanilgan Ramanujanning uyg'unliklari. Masalan, har doim n 4 yoki 9 raqamlari bilan tugaydi, bo'limlari soni n 5 ga bo'linadi.

Ta'rif va misollar

Ijobiy tamsayı uchun n, p(n) - aks ettirishning aniq usullarining soni n kabi sum musbat butun sonlar. Ushbu ta'rif uchun yig'indidagi atamalarning tartibi ahamiyatsiz: boshqa tartibda bir xil atamalarga ega bo'lgan ikkita yig'indilar alohida deb hisoblanmaydi.

Konventsiya bo'yicha p(0) = 1, bitta yo'l bo'lgani kabi (the bo'sh sum ) nolni musbat butun sonlar yig'indisi sifatida ifodalash. Xuddi shu sababga ko'ra, ta'rifga ko'ra, p(n) = 0 qachon n salbiy.

Bo'lim funktsiyasining birinchi bir necha qiymati, bilan boshlanadi p(0) = 1, quyidagilar:

1, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42, 56, 77, 101, 135, 176, 231, 297, 385, 490, 627, 792, 1002, 1255, 1575, 1958, 2436, 3010, 3718, 4565, 5604,… (ketma-ketlik) A000041 ichida OEIS ).

Ning aniq qiymati p(n) ning katta qiymatlari uchun n quyidagilarni o'z ichiga oladi:[1]

2017 yil sentyabr oyidan boshlab, ma'lum bo'lgan eng kattasi asosiy raqam ning qadriyatlari orasida p(n) bu p(221444161), 16 569 kasrli raqam bilan.[2]

Yaratuvchi funktsiya

The ishlab chiqarish funktsiyasi uchun p(n) tomonidan berilgan[3]

Ushbu formulaning birinchi va ikkinchi qatorlaridagi mahsulotlar orasidagi tenglik har bir omilni kengaytirish natijasida olinadi ichiga geometrik qatorlar Kengaytirilgan mahsulot birinchi qatorda yig'indiga teng ekanligini ko'rish uchun quyidagini qo'llang tarqatish qonuni mahsulotga. Bu mahsulotni yig'indisiga kengaytiradi monomiallar shaklning ba'zi bir koeffitsientlar ketma-ketligi uchun, faqat ularning ko'plari nolga teng emas, atamaning ko'rsatkichi , va bu yig'indining ifodasi sifatida talqin qilinishi mumkin qism sifatida har bir raqamning nusxalari . Shuning uchun mahsulotning eksponentga ega bo'lgan shartlari soni aniq , ning koeffitsienti bilan bir xil chapdagi yig'indida.Shuning uchun yig'indisi mahsulotga teng.

Formulaning uchinchi va to'rtinchi qatorlaridagi maxrajda paydo bo'ladigan funktsiya Eyler funktsiyasi. Birinchi satrdagi mahsulot bilan uchinchi va to'rtinchi qatorlardagi formulalar orasidagi tenglik Eyler beshburchak sonlar teoremasi.Ning eksponentlari bu satrlarda beshburchak raqamlar uchun (ning ijobiy qiymatlari uchun bir xil formuladan kelib chiqqan odatdagi beshburchak sonlardan biroz umumlashtirildi ). Uchinchi qatorda ijobiy va salbiy belgilar naqshlari atamadan kelib chiqadi to'rtinchi qatorda: hatto tanlovi ijobiy atamalarni va g'alati tanlovlar salbiy atamalarni keltirib chiqaradi.

Umuman olganda, bo'limlari uchun ishlab chiqarish funktsiyasi to'plamdan tanlangan raqamlarga musbat butun sonlarni faqat birinchi mahsulotdagi atamalarni olish orqali topish mumkin . Bu natija tufayli Leonhard Eyler.[4] Eylerning ishlab chiqarish funktsiyasini shakllantirish a ning alohida holatidir -Poxhammer belgisi va ko'pchilik mahsulotni shakllantirishga o'xshash modulli shakllar, va xususan Dedekind eta funktsiyasi.

Takrorlanish munosabatlari

Xuddi shu beshburchak sonlarning ketma-ketligi a da paydo bo'ladi takrorlanish munosabati bo'lim funktsiyasi uchun:[5]

Asosiy holatlar sifatida, tenglashtiriladi va salbiy uchun nolga teng deb qabul qilinadi. Garchi o'ng tomonning yig'indisi cheksiz bo'lib ko'rinsa-da, uning nolga teng bo'lmagan atamalari bor, ularning nolga teng bo'lmagan qiymatlari kelib chiqadi. oralig'ida

.

Uchun yana bir takrorlanish munosabati jihatidan berilishi mumkin bo'linuvchilar funktsiyasi yig'indisi σ:[6]

Agar qismlarining sonini bildiradi takrorlanadigan qismlarsiz, keyin har bir bo'linmani juft va g'alati qismlarga ajratish va juft qismlarni ikkiga bo'lish,[7]

Uchrashuvlar

Srinivasa Ramanujan bo'lim funktsiyasi nodavlat naqshlarga ega ekanligini kashf etganligi uchun ishoniladi modulli arifmetik.Masalan, bo'limlar soni o'nlikning o'nli belgisi bo'lganida, beshga bo'linadi muvofiqlik bilan ifodalangan 4 yoki 9 raqam bilan tugaydi[8]

Masalan, 4-sonli bo'linmalar soni 5 ga teng. 9-sonli bo'linmalar soni 30 ta; 14 uchun 135 ta bo'lim mavjud. Ushbu muvofiqlik ko'proq umumiy o'ziga xoslikdan kelib chiqadi

Ramanujan tomonidan,[9][10] qaerda yozuv bilan belgilangan mahsulotni bildiradi

Ushbu natijaning qisqa isboti bo'lim funktsiyasini ishlab chiqarish funktsiyasidan olish mumkin.

Ramanujan shuningdek 7 va 11 modullari bo'yicha muvofiqliklarni topdi:[8]

Ular Ramanujanning shaxsiyatidan kelib chiqqan[10]

5, 7 va 11 ketma-ket kelganligi sababli asosiy, kelgusi asosiy 13 uchun o'xshashlik bor deb o'ylashi mumkin, kimdir uchun a. Biroq, shaklning muvofiqligi yo'q har qanday eng yaxshi uchun b 5, 7 yoki 11 dan tashqari.[11] Buning o'rniga, mos kelish uchun, ning argumenti shaklni olishi kerak kimdir uchun . 1960-yillarda, A. O. L. Atkin ning Chikagodagi Illinoys universiteti kichik tub modullar uchun ushbu shaklning qo'shimcha mosliklarini topdi. Masalan:

Ken Ono  (2000 ) 3 dan katta har bir asosiy modul uchun bunday muvofiqliklar mavjudligini isbotladi. Keyinchalik, Ahlgren va Ono (2001) har bir tamsayı moduli bilan bo'linadigan muvofiqliklar mavjudligini ko'rsatdi koprime 6 ga.[12][13]

Yaqinlashish formulalari

Yuqorida keltirilgan aniq formuladan ko'ra tezroq hisoblash uchun taxminiy formulalar mavjud.

An asimptotik uchun ifoda p(n) tomonidan berilgan

kabi .

Bu asimptotik formula birinchi tomonidan olingan G. H. Xardi va Ramanujan 1918 yilda va mustaqil ravishda J. V. Uspenskiy 1920 yilda , asimptotik formula taxminan beradi , yuqorida berilgan aniq javobga juda yaqin (haqiqiy qiymatdan 1,415% ko'proq).

Xardi va Ramanujan an asimptotik kengayish birinchi muddat sifatida ushbu taxmin bilan:[14]

qayerda

Mana, yozuv yig'indisi faqat qiymatlari ustida sodir bo'lishi kerakligini anglatadi bu nisbatan asosiy ga . Funktsiya a Olingan sum.

Keyin xato shartlar keyingi davrning tartibida va tartibida bo'lishi mumkin . Misol tariqasida, Xardi va Ramanujan buni ko'rsatdilar birinchisining yig'indisiga eng yaqin butun sondir seriya shartlari.[14]

1937 yilda, Xans Rademaxer bilan ta'minlash orqali Hardy va Ramanujan natijalarini yaxshilashga muvaffaq bo'ldi konvergent qator uchun ifoda . Bu[15][16]

Rademaxer formulasining isboti o'z ichiga oladi Ford doiralari, Farey ketma-ketliklari, modulli simmetriya va Dedekind eta funktsiyasi.

Bu ko'rsatilishi mumkin Rademaxer seriyasining navbatdagi muddati

Shunday qilib, birinchi atama Hardy-Ramanujanga asimptotik yaqinlikni beradi.Pol Erdos  (1942 ) uchun asimptotik formulaning elementar dalilini nashr etdi .[17][18]

Hardy-Ramanujan-Rademacher formulalarini kompyuterda samarali bajarish usullari muhokama qilinadi Yoxansson (2012), buni kim ko'rsatmoqda o'z vaqtida hisoblash mumkin har qanday kishi uchun . Bu natijaning raqamlari soniga mos keladiganligi uchun deyarli maqbul.[19] Bo'lim funktsiyasining aniq hisoblangan eng katta qiymati 11 milliarddan bir oz ko'proq raqamga ega.[20]

Adabiyotlar

  1. ^ Sloan, N. J. A. (tahr.), "A070177 ketma-ketligi", The Butun sonlar ketma-ketligining on-layn ensiklopediyasi, OEIS Foundation
  2. ^ Kolduell, Kris K. (2017), Eng yaxshi yigirmatalik
  3. ^ Abramovits, Milton; Stegun, Irene (1964), Matematik funktsiyalar uchun formulalar, grafikalar va matematik jadvallar bilan qo'llanma, Amerika Qo'shma Shtatlari Savdo vazirligi, Milliy standartlar byurosi, p.825, ISBN  0-486-61272-4
  4. ^ Eyler, Leonxard (1753), "De partitione numerorum", Novi Commentarii academiae Scientificiarum Petropolitanae (lotin tilida), 3: 125–169
  5. ^ Ewell, Jon A. (2004), "Bo'linish funktsiyasi va uning qarindoshlari uchun takrorlanishlar", Rokki-tog 'matematikasi jurnali, 34 (2): 619–627, doi:10.1216 / rmjm / 1181069871, JSTOR  44238988, JANOB  2072798
  6. ^ Uilf, Gerbert S. (1982), "Javob nima?", Amerika matematik oyligi, 89 (5): 289–292, doi:10.2307/2321713, JANOB  0653502
  7. ^ Al, Busra; Alkan, Mustafa (2018), "Bo'limlar o'rtasidagi munosabatlar to'g'risida eslatma", Proc. O'rta er dengizi Int. Konf. Sof va amaliy matematik. va tegishli hududlar (MICOPAM 2018), 35-39 betlar
  8. ^ a b Xardi, G. H.; Rayt, E. M. (2008) [1938], Raqamlar nazariyasiga kirish (6-nashr), Oksford universiteti matbuoti, p. 380, ISBN  978-0-19-921986-5, JANOB  2445243, Zbl  1159.11001
  9. ^ Berndt, Bryus C.; Ono, Ken (1999), "Ramanujanning bo'lim va tau funktsiyalari bo'yicha nashr qilinmagan qo'lyozmasi, dalil va sharhlar bilan" (PDF), Andrews Festschrift (Maratea, 1998), Séminaire Lotaringien de Kombinatuar, 42, Art. B42c, 63, JANOB  1701582
  10. ^ a b Ono, Ken (2004), Modullik tarmog'i: modulli shakllar koeffitsientlarining arifmetikasi va - seriyalar, Matematika bo'yicha CBMS mintaqaviy konferentsiya seriyasi, 102, Providens, Rod-Aylend: Amerika matematik jamiyati, p. 87, ISBN  0-8218-3368-5, Zbl  1119.11026
  11. ^ Ahlgren, Skott; Boylan, Metyu (2003), "Bo'lim funktsiyasining arifmetik xususiyatlari" (PDF), Mathematicae ixtirolari, 153 (3): 487–502, doi:10.1007 / s00222-003-0295-6, JANOB  2000466
  12. ^ Ono, Ken (2000), "Bo'lim funktsiyasi modulining taqsimlanishi ", Matematika yilnomalari, 151 (1): 293–307, arXiv:matematik / 0008140, doi:10.2307/121118, JANOB  1745012, Zbl  0984.11050
  13. ^ Ahlgren, Skott; Ono, Ken (2001), "Bo'lim funktsiyasi uchun kelishuv xususiyatlari" (PDF), Milliy fanlar akademiyasi materiallari, 98 (23): 12882–12884, Bibcode:2001 yil PNAS ... 9812882A, doi:10.1073 / pnas.191488598, JANOB  1862931
  14. ^ a b Xardi, G. H.; Ramanujan, S. (1918), "Kombinatsion tahlildagi asimptotik formulalar", London Matematik Jamiyati materiallari, Ikkinchi seriya, 17 (75–115). Qayta nashr etilgan Srinivasa Ramanujanning yig'ilgan hujjatlari, Amer. Matematika. Soc. (2000), 276-309 betlar.
  15. ^ Endryus, Jorj E. (1976), Bo'limlar nazariyasi, Kembrij universiteti matbuoti, p. 69, ISBN  0-521-63766-X, JANOB  0557013
  16. ^ O'qituvchi, Xans (1937), "Bo'lim funktsiyasi to'g'risida ", London Matematik Jamiyati materiallari, Ikkinchi seriya, 43 (4): 241–254, doi:10.1112 / plms / s2-43.4.241, JANOB  1575213
  17. ^ Erdos, P. (1942), "Bo'limlar nazariyasidagi ba'zi asimptotik formulalarning elementar isboti to'g'risida" (PDF), Matematika yilnomalari, Ikkinchi seriya, 43: 437–450, doi:10.2307/1968802, JANOB  0006749, Zbl  0061.07905
  18. ^ Natanson, M. B. (2000), Sonlar nazariyasidagi elementar usullar, Matematikadan aspirantura matnlari, 195, Springer-Verlag, p. 456, ISBN  0-387-98912-9, Zbl  0953.11002
  19. ^ Johansson, Fredrik (2012), "Hardy-Ramanujan-Rademacher formulasini samarali amalga oshirish", LMS hisoblash va matematika jurnali, 15: 341–59, arXiv:1205.5991, doi:10.1112 / S1461157012001088, JANOB  2988821
  20. ^ Yoxansson, Fredrik (2014 yil 2 mart), Bo'lim funktsiyasining yangi yozuvi: p (10)20) hisoblangan

Tashqi havolalar