Proportional mulohaza - Proportional reasoning

Fikrlash munosabatlariga asoslangan mutanosiblik bu nimaning bir shakli Piagetning kognitiv rivojlanish nazariyasi intellektual rivojlanishning keyingi bosqichlarida qo'lga kiritilgan "rasmiy operatsion fikrlash" deb nomlanadi. O'qituvchilar mutanosib fikr yuritishni to'g'ri qo'llashda o'quvchilarga ko'rsatma beradigan usullar mavjud.

Matematika va fizikada

Matematikada va fizikada mutanosiblik - bu ikki kattalik orasidagi matematik munosabat; uni ikki nisbatning tengligi sifatida ifodalash mumkin:

{displaystyle {frac {a} {b}} = {frac {c} {d}}}

Funktsional jihatdan mutanosiblik matematik tenglamadagi o'zgaruvchilar o'rtasidagi bog'liqlik bo'lishi mumkin. Masalan, ning kuchi uchun quyidagi tenglama berilgan tortishish kuchi (ga binoan Nyuton ):

{displaystyle F = G {frac {m_ {1} m_ {2}} {r ^ {2}}}}

ning kuchi tortishish kuchi ikki massa orasidagi ikki massa ko'paytmasiga to'g'ri proportsional va ikki massa orasidagi masofa kvadratiga teskari proportsionaldir.

Intellektual rivojlanish

Piagetning intellektual rivojlanish modelida to'rtinchi va yakuniy bosqich rasmiy operatsion bosqich. Klassik kitobda "Bolalikdan o'spirinlikgacha mantiqiy fikrlashning o'sishi" Jan Piaget va Barbel Inhelder rasmiy operatsion fikrlash turli shakllarda, jumladan, propozitsion fikrlash, deduktiv mantiq, o'zgaruvchilarni ajratish va boshqarish, kombinatorial fikrlash va mutanosib fikrlash. Robert Karplus 1960 va 70-yillarda ilmiy o'qituvchi, o'spirin va kattalardagi fikrlashning ushbu shakllarini o'rganib chiqdi. Janob Tall-Mr.Short uning o'qishlaridan biri edi.

Misollar

Teskari nisbat

Taqqoslash mumkin bo'lgan mulohazalar naqshlari teskari nisbatda mavjud.

Suv uchburchagi

Uchburchakni burish mumkin bo'lgan va chap va o'ng tomondagi suv sathlarini ichki miqyosda o'lchash mumkin bo'lgan to'rtburchak uchburchak ichidagi rangli suyuqlik idishini ko'rib chiqing. Bunga "suv uchburchagi" deyiladi:Suv uchburchagi chap tomonda 4 birlik va o'ng tomonda 6 birlik o'lchovini ko'rsatguncha aylantiriladi, masalan, o'ng burchakdagi suv sathi 8 birlik bo'lguncha uchburchak yanada ko'proq qiyshaygan. Chap tomonda birliklarning suv sathi qanday bo'lishini taxmin qiling.

Odatda echimlar

Uchburchaklar maydoni haqida bilimga ega bo'lgan kishi shunday fikr yuritishi mumkin: "Dastlab uchburchakni tashkil etadigan suvning maydoni 12 ga teng, chunki 6 * 4 * 6 = 12. Suv miqdori o'zgarmaydi, shuning uchun maydon o'zgarmaydi. Demak, javob 3 ga teng, chunki ½ * 3 * 8 = 12. "

To'g'ri multiplikativ javob nisbatan kam uchraydi. Hozirgacha eng keng tarqalgan javob quyidagicha: "2 birlik, chunki o'ngdagi suv sathi ikki birlikka ko'paygan, shuning uchun chap tomondagi suv ikki birlikka kamayishi va 4 - 2 = 2 bo'lishi kerak." Ikkala birlikning sababi kamroq: "Oldin jami 10 birlik mavjud edi, chunki 4 + 6 = 10. Birliklarning umumiy soni bir xil bo'lishi kerak, shuning uchun javob 2 ga teng, chunki 2 + 8 = 10."

Shunday qilib, yana rasmiy operatsion darajasida bo'lmagan shaxslar bor, ular teskari mutanosiblikni hal qilish uchun multiplikativ strategiyadan ko'ra qo'shimcha strategiyani qo'llaydilar. Va to'g'ridan-to'g'ri mutanosiblik singari, ushbu noto'g'ri strategiya ham shaxs uchun mantiqiy bo'lib ko'rinadi va oqilona javob beradi. Tajribani amalga oshirganlarida va uchburchakni egib, javobni topish uchun talabalar juda hayron bo'lishadi va ular ishonchli tarzda bashorat qilganidek 2 emas, balki 3 ga teng.

Ushbu strategiyalarni funktsional munosabatlar sifatida ko'rib chiqish

T janob Tallning balandligi va S janobning balandligi bo'lsin, keyin to'g'ri multiplikatsion strategiyani T / S = 3/2 shaklida ifodalash mumkin; bu doimiy nisbat munosabati. Noto'g'ri qo'shimchalar strategiyasini T - S = 2 shaklida ifodalash mumkin; bu doimiy farq munosabati. Mana bu ikkita tenglama uchun grafik. Muammoni hal qilishda ishtirok etadigan raqamli qiymatlar uchun ushbu grafikalar "o'xshash" va nima uchun shaxslar o'zlarining noto'g'ri javoblarini mukammal darajada oqilona deb hisoblashlarini tushunish oson.

Endi "suv uchburchagi" yordamida bizning teskari nisbatimizni ko'rib chiqing. L suvning chap tomonidagi balandligi, o'ng tomonidagi suvning balandligi R bo'lsin, u holda to'g'ri multiplikatsion strategiyani L * R = 24 shaklida ifodalash mumkin; bu doimiy mahsulot aloqasi. Noto'g'ri qo'shimchalar strategiyasini L + R = 10 sifatida ifodalash mumkin; bu doimiy yig'indilik munosabati. Mana bu ikkita tenglama uchun grafik. Muammoni hal qilishda ishtirok etadigan raqamli qiymatlar uchun ushbu grafikalar "o'xshash" va nima uchun shaxslar o'zlarining noto'g'ri javoblarini mukammal darajada oqilona deb hisoblashlarini tushunish oson.

Proportional mulohaza yuritish uchun o'qitish

Har qanday tajribali o'qituvchi buni tasdiqlaydi^{[iqtibos kerak ]}, shunchaki talabaga uning javobi noto'g'riligini aytib berish, so'ngra talabaga to'g'ri echimdan foydalanishni buyurish etarli emas. Noto'g'ri strategiya "miyada istalmagan" va joriy dars tugagandan so'ng yana paydo bo'ladi.

Yuqorida qayd etilgan qo'shimchalar strategiyasini oddiygina "noto'g'ri" deb belgilash mumkin emas, chunki ular boshqa real vaziyatlarga to'g'ri keladi. Masalan, quyidagi muammoni ko'rib chiqing:

Bu yil Mustaqillik kunida janob Tall 6 yoshda va janob Short 4 yoshda edi. Kelajakda Mustaqillik kuni janob Short 6 yoshda. Janob Tall o'sha Mustaqillik kunida necha yoshda bo'ladi?

Xuddi shunday, doimiy yig'indilar munosabati ba'zi holatlar uchun to'g'ri bo'lishi mumkin. Quyidagi muammoni ko'rib chiqing.

Daryoning chap tomonida to'rtta, daryoning o'ng tomonida oltita beaver bor. Keyinchalik, xuddi shu qunduz guruhi bilan daryoning o'ng tomonida sakkizta qunduz bor. Chap tomonda qancha qunduzlar bo'ladi?

Shunday qilib, qo'shimchalar munosabatlari (doimiy farq va doimiy yig'indilar) to'g'ri bo'lgan va multiplikativ munosabatlar (doimiy nisbat va doimiy mahsulot) to'g'ri bo'lgan boshqa holatlar mavjud.

Amaliy mashg'ulotlardan foydalanish va Karplusning o'quv tsikli

Talabalarning o'zlari hozirgi mulohaza yuritish uslubi, bu qo'shimchalar deyishadi, ular hal qilmoqchi bo'lgan multiplikativ muammo uchun mos emasligini tan olishlari juda muhimdir. Robert Karplus yangi mulohaza yuritish ko'nikmalarini egallashni osonlashtiradigan o'quv sikli deb nom olgan ta'lim modelini ishlab chiqdi.

Birinchi bosqich kashfiyotlardan biri bo'lib, unda talabalar o'zlarining harakatlari va reaktsiyalari orqali minimal rahbarlik bilan o'rganadilar. O'quv muhiti talabalarning e'tiborini tegishli masalalarga yo'naltirish uchun puxta ishlab chiqilishi kerak. O'quvchilar ba'zi narsalarni boshdan kechirishlari mumkin kognitiv kelishmovchilik agar ular ilgari mavjud bo'lgan strategiyasini aniqlasalar, kuzatilgan natijalarga mos kelmaydi. Bu ularning hozirgi g'oyalari yoki mulohazalari bilan javob bera olmaydigan savollarga olib kelishi mumkin.
Ikkinchi bosqichda kontseptsiya kiritiladi va tushuntiriladi. Bu erda o'qituvchi ancha faol bo'lib, o'rganishga tushuntirish orqali erishiladi.
Nihoyat, uchinchi bosqichda kontseptsiya yangi vaziyatlarda qo'llaniladi va uning amal qilish doirasi kengaytiriladi. O'rganishga takrorlash va mashq qilish orqali erishiladi, shunda yangi g'oyalar va fikrlash uslublari barqarorlashishga vaqt topadi.

Amaliy mashg'ulotlar o'quv siklida juda foydali. Janob Tallning balandligi to'g'risida qog'ozli kliplarda bashorat qilgandan so'ng, o'lchash vositalari bilan tanishish mumkin va talabalar o'zlarining strategiyalarini sinab ko'rishlari mumkin. Doimiy farq munosabatlaridan foydalangan talaba uchun haqiqiy o'lchov shuni ko'rsatadiki, janob Tall aslida to'qqizta qog'oz klipning balandligi va bu ma'lum bir kelishmovchilikni keltirib chiqaradi.

Xuddi shu narsa teskari munosabatlar uchun ham amal qiladi. Bu erda "suv uchburchagi" bilan ishlaydigan ikkita o'quvchining surati. Yuqorida qayd etilgan muammoni hisobga olgan holda, o'quvchilarning aksariyati suv uchburchagi qiyshayganda chap tomondagi suv sathi ikki birlikka tushishini taxmin qilishmoqda. Ular tajriba o'tkazib, javobning 3 birlik ekanligini ko'rsalar, bu ba'zi bir bilim kelishmovchiligini o'rnatadi. Bu o'qituvchi uchun darsni o'quv tsiklining ikkinchi bosqichiga o'tkazish uchun eng yaxshi vaqt.

Talabalar o'rgangan multiplikativ strategiyalarini ortiqcha qo'llamasliklari muhimdir. Shuning uchun ba'zi amaliy mashg'ulotlar multiplikativ munosabatlarga asoslanmasligi mumkin. Bu erda doimiy yig'indisi munosabati to'g'ri bo'lgan ikkita talabaning apparati bilan ishlayotgan rasmidir.

Ehtiyotkorlik bilan ishlab chiqilgan amaliy mashg'ulotlarni talabalar qo'liga berish har doim ham mumkin emas yoki mumkin emas. Bundan tashqari, katta yoshli tomoshabinlar har doim ham amaliy tajribani qo'llashga yaxshi munosabatda bo'lishmaydi. Biroq, ko'pincha kognitiv dissonansni joriy etish mumkin fikr tajribalari.

Fikrlash tajribalari asosida to'g'ri munosabatlarni aniqlash

Yuqorida qayd etilgan barcha tajribalarda qiymatlari o'zgarmas munosabat asosida o'zgarib turadigan ikkita o'zgaruvchi mavjud. Janob Tall va janob Qisqa muammolariga o'xshash quyidagi muammoni ko'rib chiqing.

Mana, ota va qizning fotosurati. Ushbu rasmda qizining balandligi 4 sm, otasining balandligi 6 sm. Ular rasmni kattalashtirishga qaror qilishdi va kattaroq rasmda qizi 6 sm balandlikda. Katta rasmda ota qanchalik baland?

Qo'shimcha munosabatlardan foydalangan holda, shaxs uchun juda keng tarqalgan javob - 8 sm, chunki otasi har doim qizidan 2 sm balandroq. Endi ushbu talabaga quyidagi savolni bering:Faraz qilaylik, ular asl rasmning juda kichik versiyasini tayyorladilar va bu kichkina rasmda otaning balandligi 2 sm. Ushbu kichik rasmda qizi qanchalik baland bo'ladi?

Talaba "ota har doim qizidan 2 sm balandroq" strategiyasining to'g'ri emasligini tezda anglaydi. Bunga asl rasm afishaning kattaligiga qadar ko'tarilgan va qizi 100 sm balandlikdagi boshqa ekstremal joylarni o'rganish orqali erishish mumkin. Ushbu plakatda ota qanchalik baland bo'ladi? 102 sm javob bergan talaba, ota va qizning balandligi deyarli teng emasligini tushunadi, bu to'g'ri bo'lolmaydi. Kognitiv dissonans mavjud bo'lganda, o'qituvchi to'g'ri munosabatni, doimiy nisbatni kiritishi mumkin.

O'quvchini, shuningdek, "qizining bo'yi kattalashganda ikki baravar ko'paysa, otaning bo'yi nima bo'ladi?" Kabi o'zlarining fikr tajribalarini o'tkazishga undash mumkin. Ko'pgina talabalar, shu jumladan hali aniq operatsiya bosqichida bo'lganlar, tezda otaning bo'yi ham ikki baravar ko'payishi kerak deb javob berishadi. Abstrakt fikrlash tajribasi: "Faraz qilaylik, o'zgaruvchilardan biri qiymati ikki baravarga ko'paygan bo'lsa, boshqasi qanday o'zgaradi?" Agar javob "ikki baravar" bo'lsa, unda bu doimiy nisbatlar muammosi bo'lishi mumkin. Ammo agar javob ikki barobar ko'p bo'lmasa, masalan, janob Tall va janob Qort bilan yuqorida keltirilgan yosh muammosi kabi, bu doimiy nisbatlar muammosi emas.

"Suv uchburchagi" kabi teskari munosabatlar uchun cheklash holatlari kognitiv kelishmovchilikni keltirib chiqarishi mumkin. Masalan:

Chapdagi suv sathi 4 birlikda, o'ng tomonidagi suv sathi 6 birlik bo'lgan dastlabki shartlarni hisobga olgan holda, o'ngdagi suv sathi 10 birlik bo'lguncha uchburchak qiyshaygan bo'lsa, chapdagi suv sathi qancha ekanligini taxmin qiling.

Talabalar 0 to'g'ri javob bo'la olmasligini tushunib, qo'shimcha strategiyadan voz kechishadi. Teskari munosabatlar uchun fikr tajribasi o'tkazilishi mumkin. Agar bitta o'zgaruvchi qiymatini ikki baravar oshirsa, boshqa o'zgaruvchiga nima bo'ladi? Agar javob ½ bo'lsa, unda bu doimiy mahsulot munosabati bo'lishi mumkin (ya'ni teskari nisbat).

O'zgaruvchilarning qiymatlarini chizish, shuningdek, ikkita o'zgaruvchining to'g'ridan-to'g'ri mutanosibligini yoki yo'qligini aniqlash uchun qimmatli vosita bo'lishi mumkin. Agar ular to'g'ridan-to'g'ri mutanosib bo'lsa, unda qiymatlar to'g'ri chiziqda bo'lishi kerak va bu chiziq kelib chiqishni kesib o'tishi kerak.

Funktsional mulohazalarni kengaytirish

Yuqorida qayd etilgan to'rtta funktsional munosabatlar, doimiy yig'indisi, doimiy farqi, doimiy hosilasi va doimiy nisbati, talabalar eng yaxshi biladigan to'rtta arifmetik amallar, ya'ni qo'shish, ayirish, ko'paytirish va bo'lishga asoslangan. Haqiqiy dunyodagi ko'pgina munosabatlar ushbu toifalarning biriga kirmaydi. Ammo, agar talabalar fikrlash tajribalari va grafiklarni chizish kabi oddiy usullarni o'rgansalar, bu usullarni yanada murakkab vaziyatlarda qo'llashlari mumkin.

Shunga qaramay, tortish kuchi uchun Nyutonning tenglamasini ko'rib chiqing:

{displaystyle F = G {frac {m_ {1} m_ {2}} {r ^ {2}}}}

Agar talaba o'zgaruvchilar o'rtasidagi funktsional munosabatni tushunsa, u holda u quyidagi fikr tajribalariga javob bera olishi kerak.

Agar tortishish kuchi kuchiga nima bo'ladi, agar:

massalardan biri ikki baravar ko'payganmi?
bir massa ikki baravar, ikkinchisi esa yarimga kamayganmi?
ikkala massa ham ikki baravar ko'paydi?
ikkala massa ikkiga bo'ldimi?
massalar orasidagi masofa ikki baravarga oshdi?
massalar orasidagi masofa ikki baravarga qisqardi?

Odatda fikr tajribalari tajriba natijalari bilan tasdiqlanishi kerak. Ko'plab bolalar va kattalar narsaning massasi va erga tushish tezligi to'g'risida fikr tajribasini o'tkazishni so'rashganda, massa ikki baravar ko'payganda, ob'ekt ikki baravar tez tushadi, deyishi mumkin. Biroq, eksperimental natijalar ushbu "mantiqiy" fikr tajribasining zaxira nusxasini yaratmaydi, shuning uchun nazariy natijalarning eksperimental ma'lumotlarga mos kelishi har doim muhimdir.