Pseudorandom generator - Pseudorandom generator

Yilda nazariy informatika va kriptografiya, a pseudorandom generator (PRG) sinf uchun statistik testlar a deterministik protsedura bu xaritalar a tasodifiy urug ' uzoqroq soxta tasodifiy mag'lubiyat shundayki, sinfdagi biron bir statistik test generatorning chiqishi va bir tekis taqsimlanishini ajrata olmaydi. Tasodifiy urug 'odatda bir xil taqsimlash.

Adabiyotda ko'plab turli xil statistik testlar sinflari ko'rib chiqilgan, ular orasida ma'lum hajmdagi barcha mantiqiy zanjirlarning klassi mavjud, bu sinf uchun yaxshi psevdandom tasodifiy generatorlar mavjudmi yoki yo'qmi, ammo ularning mavjudligi ma'lum darajada bo'lganligi ma'lum. pastki chegaralarga (tasdiqlanmagan) elektronga teng ma'no hisoblash murakkabligi nazariyasi.Shunday qilib, berilgan o'lchovli mantiqiy zanjirlar klassi uchun psevdandomli generatorlarning konstruktsiyasi hozirda isbotlanmagan qattiqlik taxminlariga asoslanadi.

Ta'rif

Ruxsat bering ${ displaystyle { mathcal {A}} = {A: {0,1 } ^ {n} to {0,1 } ^ {*} }}$ funktsiyalar sinfi bo'ling.Bu funktsiyalar quyidagilardir statistik testlar yolg'on tasodifiy generatorni aldashga urinishi va ular odatda algoritmlar Ba'zida statistik testlar ham chaqiriladi dushmanlar yoki farqlovchi vositalar.^[1]

Funktsiya ${ displaystyle G: {0,1 } ^ { ell} to {0,1 } ^ {n}}$ bilan ${ displaystyle ell leq n}$ a pseudorandom generator qarshi ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ bilan tarafkashlik ${ displaystyle epsilon}$ agar, har bir kishi uchun ${ displaystyle A}$ yilda ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ , statistik masofa tarqatish o'rtasida ${ displaystyle A (G (U _ { ell}))}$ va ${ displaystyle A (U_ {n})}$ ko'pi bilan ${ displaystyle epsilon}$ , qayerda ${ displaystyle U_ {k}}$ bo'ladi bir xil taqsimlash kuni ${ displaystyle {0,1 } ^ {k}}$ .

Miqdor ${ displaystyle ell}$ deyiladi urug 'uzunligi va miqdori ${ displaystyle n- ell}$ deyiladi cho'zish pseudorandom generatorining.

Dushmanlar oilasiga qarshi yolg'on tasodifiy generator ${ displaystyle ({ mathcal {A}} _ {n}) _ {n in mathbb {N}}}$ tarafkashlik bilan ${ displaystyle epsilon (n)}$ - soxta tasodifiy generatorlar oilasi ${ displaystyle (G_ {n}) _ {n in mathbb {N}}}$ , qayerda ${ displaystyle G_ {n}: {0,1 } ^ { ell (n)} to {0,1 } ^ {n}}$ qarshi pseudorandom generatoridir ${ displaystyle { mathcal {A}} _ {n}}$ tarafkashlik bilan ${ displaystyle epsilon (n)}$ va urug 'uzunligi ${ displaystyle ell (n)}$ .

Ko'pgina dasturlarda oila ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ ba'zi birlarini anglatadi hisoblash modeli yoki ba'zi bir to'plam algoritmlar, va biri kichik urug'lik uzunligi va yonboshligi bilan yolg'on tasodifiy generatorni loyihalashdan manfaatdor va generatorning chiqishi bir xil algoritm bilan hisoblanishi mumkin.

Kriptografiyada pseudorandom generatorlari

Yilda kriptografiya, sinf ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ odatda barchadan iborat davrlar kirishda va bitta bitli chiqishda polinom kattaligi va biri tomonidan hisoblanadigan pseudorandom generatorlarini loyihalashdan manfaatdor polinom-vaqt algoritmi va kontaktlarning zanglashiga olib keladigan o'lchamlari ahamiyatsiz.Bu yolg'on tasodifiy generatorlar ba'zan chaqiriladi kriptografik xavfsiz pseudorandom generatorlari (CSPRG).

Kriptografik xavfsiz soxta tasodifiy generatorlar mavjudmi yoki yo'qligi noma'lum. Ularning mavjudligini isbotlash qiyin, chunki ularning mavjudligi P ≠ NP Kriptografik xavfsiz pseudorandom generatorlari mavjudligiga keng ishoniladi, ammo mashhur bo'lgan ochiq muammo.^{[iqtibos kerak ]} va ular ko'plab dasturlar uchun zarurdir kriptografiya.

The pseudorandom generator teoremasi kriptografik jihatdan xavfsiz psevdandom tasodifiy generatorlar mavjud bo'lsa, shuni ko'rsatadiki bir tomonlama funktsiyalar mavjud.

Foydalanadi

Pseudorandom generatorlari kriptografiyada ko'plab dasturlarga ega. Masalan, pseudorandom generatorlari samarali analogni taqdim etadi bir martalik tagliklar. Ma'lumki, xabarni shifrlash uchun m shifr matni oddiy matnda, kalitda ma'lumot bermasligi uchun k uzunligi | m | satrlari ustidan tasodifiy bo'lishi kerak. Zo'r xavfsiz shifrlash kalit uzunligi bo'yicha juda qimmatga tushadi. Agar mukammal xavfsizlik o'rnini bosadigan bo'lsa, pseudorandom generator yordamida kalit uzunligini sezilarli darajada kamaytirish mumkin semantik xavfsizlik. Ning umumiy konstruktsiyalari oqim shifrlari pseudorandom generatorlariga asoslangan.

Qurilish uchun psevdandom tasodifiy generatorlardan ham foydalanish mumkin nosimmetrik kalit kriptotizimlar, xuddi shu kalit ostida juda ko'p sonli xabarlarni xavfsiz shifrlash mumkin. Bunday qurilish a ga asoslangan bo'lishi mumkin soxta tasodifiy funktsiya oilasi, bu soxta tasodifiy generator tushunchasini umumlashtiradi.

1980-yillarda fizikadagi simulyatsiyalar psevdandom tasodifiy generatorlardan milliardlab elementlar ketma-ketligini ishlab chiqarishda foydalanishni boshladi va 1980-yillarning oxiriga kelib, bir nechta oddiy generatorlar 3D ning fazali o'tish xususiyatlari kabi holatlarda noto'g'ri natijalar berganligini isbotladi. Ising modeli va diffuziya bilan cheklangan agregatlar shakllari. Keyinchalik 1990-yillarda fizika simulyatsiyalarining turli xil idealizatsiyalari asosida tasodifiy yurish, korrelyatsion funktsiyalar, o'z davlatlarini lokalizatsiya qilish va hk., psevdordaniy generatorlar sinovlari sifatida ishlatilgan.^[2]

Pseudorandom generatorlarini sinovdan o'tkazish

NIST SP800-22 ni e'lon qildi Tasodifiy testlar yolg'on tasodifiy generator yuqori sifatli tasodifiy bitlarni ishlab chiqaradimi yoki yo'qligini tekshirish uchun. Yongge Vang zaif pseudorandom generatorlarini aniqlash uchun NIST sinovlari etarli emasligini va LILtest statistik masofalarga asoslangan sinov texnikasini ishlab chiqqanligini ko'rsatdi.^[3]

Derandomizatsiya uchun pseudorandom generatorlari

Pseudorandom generatorlarining asosiy qo'llanilishi hisoblash natijalarini buzmasdan, tasodifiylikka asoslangan hisoblashning derandomizatsiyasida yotadi, fizik kompyuterlar deterministik mashinalar va haqiqiy tasodifiylikni olish qiyin bo'lishi mumkin. Tasodifiy algoritmlarni samarali simulyatsiya qilishda foydalanish mumkin. ozgina yoki umuman tasodifiy foydalanish bilan.Bunday dasturlarda sinf ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ taqlid qilingan algoritm yoki tasodifiy algoritmlar sinfini tasvirlab berishni xohlaydi va maqsadi "samarali hisoblanadigan" yolg'on tasodifiy generatorni ishlab chiqishdir ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ Agar urug 'uzunligi iloji boricha qisqa bo'lsa. Agar to'liq derandomizatsiya zarur bo'lsa, tasodifiy algoritmga tasodifiy kirishni psevdandom tasodifiy generator tomonidan ishlab chiqarilgan pseudorandom string bilan almashtirish orqali to'liq deterministik simulyatsiya davom etadi. Simulyatsiya buni barcha mumkin bo'lgan urug'lar va o'rtacha ko'rsatkichlar uchun qiladi. tasodifiy algoritmning turli xil natijalarini mos keladigan tarzda chiqarish.

Qurilishlar

Polinom vaqti uchun psevdandom tasodifiy generatorlar

Hisoblash murakkabligi nazariyasidagi asosiy savol bu hammasi polinom vaqti tasodifiy algoritmlar uchun qaror bilan bog'liq muammolar polinom vaqtida deterministik tarzda simulyatsiya qilinishi mumkin. Bunday simulyatsiya mavjudligi shuni anglatadiki BPP = P. Bunday simulyatsiyani amalga oshirish uchun oilaga qarshi yolg'on tasodifiy generatorlarni qurish kifoya F o'lchamdagi barcha davrlarning s(n) kirishlari uzunlikka ega n va bitta bitni chiqaring, qaerda s(n) - bu o'zboshimchalik bilan polinom, yolg'on tasodifiy generatorning urug 'uzunligi O (log n) va uning yon tomoni ⅓ ga teng.

1991 yilda, Noam Nisan va Avi Uigderson nomzodga pseudorandom generatorini ushbu xususiyatlar bilan ta'minladi. 1997 yilda Rassel Impagliazzo va Avi Uigderson Nisan va Wigderson qurilishi soxta tasodifiy generator ekanligini tasdiqladi qaror muammosi buni 2-vaqt ichida hisoblash mumkin^{O (n)} uzunlikdagi yozuvlarda n lekin talab qiladi davrlar hajmi 2^{Ω (n)}.

Logaritmik bo'shliq uchun psevdandom tasodifiy generatorlar

Nisan-Wigderson generatorining vaqt chegaralangan mashinalarda ishlashini isbotlash uchun elektronlarning murakkabligi to'g'risida tasdiqlanmagan taxminlar zarur bo'lsa-da, statistik testlar sinfini yanada cheklashimiz tabiiy, chunki biz bunday tasdiqlanmagan taxminlarga ishonmasligimiz kerak. bajarilgan - bu ish maydoni chegaralangan mashinalar sinfi ${ displaystyle O ( log n)}$ .Ma'lum bo'lgan takrorlangan kvadratik hiyla ishlatib Savitch teoremasi, har qanday ehtimoliy log-kosmik hisoblash fazoda simulyatsiya qilinishi mumkinligini ko'rsatish oson ${ displaystyle O ( log ^ {2} n)}$ .Noam Nisan (1992) shuni ko'rsatdiki, bu derandomizatsiya aslida urug 'uzunligining pseudorandom generatori yordamida amalga oshiriladi ${ displaystyle O ( log ^ {2} n)}$ bu hammani ahmoq qiladi ${ displaystyle O ( log n)}$ kosmik mashinalar. Nisan generatori Saks va Chjou tomonidan ishlatilgan (1999), ehtimollik log-kosmik hisobini kosmosda deterministik tarzda simulyatsiya qilish mumkinligini ko'rsatish uchun. ${ displaystyle O ( log ^ {1.5} n)}$ .Bu natija 2012 yildagi umumiy log-kosmik mashinalar uchun eng yaxshi ma'lum bo'lgan derandomizatsiya natijasidir.

Lineer funktsiyalar uchun pseudorandom generatorlari

Statistik testlar ko'p o'zgaruvchilardan iborat bo'lganda chiziqli funktsiyalar ba'zilari ustidan cheklangan maydon ${ displaystyle mathbb {F}}$ , biri gapiradi epsilonli generatorlar.Ning qurilishi Naor va Naor (1990) ning urug 'uzunligiga erishadi ${ displaystyle ell = log n + O ( log ( epsilon ^ {- 1}))}$ Chiziqli funktsiyalar uchun yolg'on tasodifiy generatorlar ko'pincha murakkab psevdandom tasodifiy generatorlar uchun qurilish elementi bo'lib xizmat qiladi.

Polinomlar uchun psevdandom tasodifiy generatorlar

Viola (2008) ning yig‘indisini olishini isbotlaydi ${ displaystyle d}$ kichik tarafkashlik generatorlari darajadagi polinomlarni aldaydi ${ displaystyle d}$ .Urugning uzunligi ${ displaystyle ell = d cdot log n + O (2 ^ {d} cdot log ( epsilon ^ {- 1}))}$ .

Doimiy chuqurlikdagi sxemalar uchun psevdandom tasodifiy generatorlar

Doimiy chuqurlik davrlari bitta chiqish bitini ishlab chiqaradigan.^{[iqtibos kerak ]}

Soxta tasodifiy generatorlar ehtimoli cheklovlari

Kriptografiya va universal algoritmik derandomizatsiya jarayonida ishlatiladigan psevdandom tasodifiy generatorlar mavjud ekanligi isbotlanmagan, garchi ularning mavjudligi keng tarqalgan. Ularning mavjudligini tasdiqlovchi dalillar pastki chegaralarning isbotlarini bildiradi elektronning murakkabligi aniq funktsiyalar. Bunday sxemaning pastki chegaralarini doirasida isbotlab bo'lmaydi tabiiy dalillar kriptografik pseudorandom generatorlarining kuchliroq variantlari mavjudligini taxmin qilish.

Adabiyotlar

^ Kats, Jonatan (2014-11-06). Zamonaviy kriptografiyaga kirish. Lindell, Yuda (Ikkinchi nashr). Boka Raton. ISBN 9781466570269. OCLC 893721520.
^ Volfram, Stiven (2002). Ilmning yangi turi. Wolfram Media, Inc. p.1085. ISBN 978-1-57955-008-0.
^ "Psevdordan tasodifiy avlodni statistik tekshirish usullari".

Sanjeev Arora va Boaz Barak, Hisoblash murakkabligi: zamonaviy yondashuv, Kembrij universiteti matbuoti (2009), ISBN 9780521424264.
Oded Goldreich, Hisoblash murakkabligi: kontseptual istiqbol, Kembrij universiteti matbuoti (2008), ISBN 978-0-521-88473-0.
Oded Goldreich, Kriptografiya asoslari: asosiy vositalar, Kembrij universiteti matbuoti (2001), ISBN 9780521791724.
Naor, Jozef; Naor, Moni (1990), "Kichik tarafkashlik ehtimoli bo'shliqlari: samarali qurilishlar va qo'llanmalar", Hisoblash nazariyasi bo'yicha 22-yillik ACM simpoziumi materiallari, STOC 1990 yil: 213–223, CiteSeerX 10.1.1.421.2784, doi:10.1145/100216.100244, ISBN 978-0897913614CS1 maint: ref = harv (havola)
Viola, Emanuele (2008), "D kichik tomonli generatorlar yig'indisi d darajadagi polinomlarni aldaydi" (PDF), Hisoblash murakkabligi bo'yicha 23-yillik konferentsiya materiallari (CCC 2008): 124–127, CiteSeerX 10.1.1.220.1554, doi:10.1109 / CCC.2008.16, ISBN 978-0-7695-3169-4CS1 maint: ref = harv (havola)
Ushbu maqola Pseudorandom generator-ning materiallarini o'z ichiga oladi PlanetMath, ostida litsenziyalangan Creative Commons Attribution / Share-Alike litsenziyasi.

[1] Kats, Jonatan (2014-11-06). Zamonaviy kriptografiyaga kirish. Lindell, Yuda (Ikkinchi nashr). Boka Raton. ISBN 9781466570269. OCLC 893721520.

[2] Volfram, Stiven (2002). Ilmning yangi turi. Wolfram Media, Inc. p.1085. ISBN 978-1-57955-008-0.

[3] "Psevdordan tasodifiy avlodni statistik tekshirish usullari".

[1]

[2]

[3]