Pifagor maydoni - Pythagorean field - Wikipedia

Algebrada, a Pifagor maydoni a maydon unda har ikki kvadratning har bir yig'indisi kvadrat bo'ladi: unga teng ravishda Pifagora raqami teng 1. A Pifagor kengayishi maydon elementga qo'shilish natijasida olingan kengaytma kimdir uchun yilda . Shunday qilib, Pifagoriya maydoni bitta ostida yopilgan Pifagoriya kengaytmalarini olish. Har qanday maydon uchun minimal Pifagor maydoni mavjud uni o'z ichiga olgan, noyob izomorfizmgacha, uni chaqirdi Pifagoraning yopilishi.[1] The Hilbert maydoni minimal buyurtma qilingan Pifagor maydonidir.[2]

Xususiyatlari

Har bir Evklid maydoni (an buyurtma qilingan maydon unda barcha ijobiy elementlar to'rtburchaklar) tartiblangan Pifagoriya maydonidir, ammo teskari holat mavjud emas.[3] A kvadrat yopiq maydon bu Pifagor maydoni, ammo aksincha emas ( Pifagor); ammo, yo'q rasmiy ravishda haqiqiy Pifagor maydoni to'rtburchak yopiq.[4]

The Witt jiringladi Pifagor maydonining tartibi 2-tartibda, agar maydon bo'lmasa rasmiy ravishda haqiqiy, aks holda torsiyasiz.[1] Maydon uchun bor aniq ketma-ketlik bilan bog'liq Witt jiringlaydi

qayerda Witt halqasining asosiy idealidir [5] va uni anglatadi torsion kichik guruh (bu shunchaki nilradikal ning ).[6]

Ekvivalent shartlar

Maydonda quyidagi shartlar F ga teng F Pifagor bo'lish:

Geometriya modellari

Pifagor maydonlaridan ba'zilari uchun modellarni qurish uchun foydalanish mumkin Hilbert aksiomalari geometriya uchun (Iyanaga va Kavada 1980 yil, 163 C). Tomonidan berilgan koordinatali geometriya uchun Pifagor maydoni Xilbert aksiomalarini, masalan, tushish aksiomalarini, muvofiqlik aksiomalarini va parallel aksiomalarini qondiradi. Ammo, umuman olganda, bu geometriya, agar maydon bo'lmasa, Xilbertning barcha aksiomalarini qondirishi shart emas F qo'shimcha xususiyatlarga ega: masalan, agar maydon ham tartiblangan bo'lsa, u holda geometriya Xilbertning buyurtma aksiomalarini qondiradi va agar maydon ham to'liq bo'lsa geometriya Xilbertning to'liqligi aksiyomini qondiradi.

Pifagoraning yopilishi a arximediyasiz buyurtma qilingan maydon, masalan, Pifagoriya maydonining yopilishi ratsional funktsiyalar ratsional sonlar ustida bitta o'zgaruvchida arxitetsiz geometriyalarni qurish uchun Hilbert aksiomalarining ko'pini qondiradigan, ammo uning to'liqligi aksiyomasini yaratmaydigan bo'lishi mumkin.[10] Dehn bunday maydonni ikkitasini qurish uchun ishlatgan Dehn samolyotlari, misollar afsonaviy bo'lmagan geometriya va yarim evklid geometriyasi tegishlicha, ularda berilgan chiziq bilan kesishmaydigan nuqta bo'lsa-da, lekin uchburchak burchaklari yig'indisi kamida is bo'lgan nuqta bo'lsa ham.[11]

Diller - Liboslar teoremasi

Ushbu teorema, agar shunday bo'lsa, deb ta'kidlaydi E/F cheklangan maydonni kengaytirish va E Pifagoriya, demak shunday F.[12] Natijada, yo'q algebraik sonlar maydoni Pifagoriya, chunki bu kabi maydonlarning barchasi tugagan Q, bu Pifagoriya emas.[13]

Superpythagorean dalalari

A superpythagorean maydoni F - bu xususiyatga ega bo'lgan rasmiy ravishda haqiqiy maydon S indeks 2 ning kichik guruhidir F va −1 ni o'z ichiga olmaydi, keyin S buyurtmani belgilaydi F. Ekvivalent ta'rif bu F kvadratlarning to'plami shakllanadigan rasmiy ravishda haqiqiy maydon muxlis. Superfifagoriya maydoni Pifagoriya bo'lishi shart.[12]

Diller-Dress teoremasining analogi quyidagicha: agar E/F cheklangan kengaytma va E superpythagorean bo'lsa, shunday bo'ladi F.[14] Qarama-qarshi yo'nalishda, agar F superpythagorean va E o'z ichiga olgan rasmiy ravishda haqiqiy maydon F va ning kvadratik yopilishida mavjud F keyin E superpythagorean.[15]

Izohlar

  1. ^ a b Milnor va Husemoller (1973) p. 71
  2. ^ Grinberg (2010)
  3. ^ Martin (1998) p. 89
  4. ^ Rajvad (1993) s.230
  5. ^ Milnor va Husemoller (1973) p. 66
  6. ^ Milnor va Husemoller (1973) p. 72
  7. ^ Lam (2005) s.410
  8. ^ Lam (2005) p.293
  9. ^ Efrat (2005) p.178
  10. ^ (Iyanaga va Kavada 1980 yil, 163 D)
  11. ^ Dehn (1900)
  12. ^ a b Lam (1983) p.45
  13. ^ Lam (2005) s.269
  14. ^ Lam (1983) s.47
  15. ^ Lam (1983) s.48

Adabiyotlar