Q-Gauss jarayoni - Q-Gaussian process

q-Gauss jarayonlari odatdagi deformatsiyalar Gauss taqsimoti. Buning bir nechta turli xil versiyalari mavjud; bu erda biz ko'p o'zgaruvchan deformatsiyani ko'rib chiqamiz, shuningdek, q-Gauss jarayoni deb ataladi va kelib chiqadi erkin ehtimollar nazariyasi va ning deformatsiyalariga mos keladi kanonik kommutatsiya munosabatlari. Gauss taqsimotining boshqa deformatsiyalari uchun qarang q-Gauss taqsimoti va Gauss q-taqsimoti.

Tarix

Q-Gauss jarayoni Frisch va Burret tomonidan rasmiy ravishda qog'ozga kiritilgan^[1] nomi bilan parastoxastika, shuningdek keyinchalik Greenberg tomonidan^[2] misol sifatida cheksiz statistika. Bozejko va Speicher tomonidan matematik tarzda yaratilgan va fon rasmlarini o'rgangan^[3] Bozejko, Kümmerer va Speicher tomonidan^[4] komutativ bo'lmagan ehtimollik sharoitida.

U q-deformatsiyalangan holda hosil bo'lish va yo'q qilish operatorlari yig'indilarining taqsimoti sifatida berilgan Bo'sh joy. Ushbu operatorlarning momentlarini hisoblash a-ning q-deformatsiyalangan versiyasi bilan berilgan Fitil formulasi yoki Isserlis formulasi. Asosiy Hilbert makonidagi maxsus kovaryansning spetsifikatsiyasi q-broun harakati ^[4], klassikning komutativ bo'lmagan maxsus versiyasi Braun harakati.

q-Fok maydoni

Quyida ${ displaystyle q in [-1,1]}$ Hilbert makonini ko'rib chiqing ${ displaystyle { mathcal {H}}}$. Algebraik to'liq Fok maydonida

${ displaystyle { mathcal {F}} _ { text {alg}} ({ mathcal {H}}) = bigoplus _ {n geq 0} { mathcal {H}} ^ { otimes n} ,}$

qayerda ${ displaystyle { mathcal {H}} ^ {0} = mathbb {C} Omega}$ norma bitta vektor bilan ${ displaystyle Omega}$, deb nomlangan vakuum, q-deformatsiyalangan ichki mahsulotni quyidagicha aniqlaymiz:

${ displaystyle langle h_ {1} otimes cdots otimes h_ {n}, g_ {1} otimes cdots otimes g_ {m} rangle _ {q} = delta _ {nm} sum _ { sigma in S_ {n}} prod _ {r = 1} ^ {n} langle h_ {r}, g _ { sigma (r)} rangle q ^ {i ( sigma)},}$

qayerda ${ displaystyle i ( sigma) = # {(k, ell) mid 1 leq k < ell leq n; sigma (k)> sigma ( ell) }}$ ning teskari tomonlari soni $S_ {n}} da { displaystyle sigma$.

The q-Fok maydoni^[5] keyinchalik ushbu ichki mahsulotga nisbatan algebraik to'liq Fok maydonini to'ldirish sifatida aniqlanadi

${ displaystyle { mathcal {F}} _ {q} ({ mathcal {H}}) = { overline { bigoplus _ {n geq 0} { mathcal {H}} ^ { otimes n} }} ^ { langle cdot, cdot rangle _ {q}}.}$

Uchun ${ displaystyle -1$ q-ichki mahsulot qat'iyan ijobiydir.^{[3] [6]} Uchun ${ displaystyle q = 1}$ va ${ displaystyle q = -1}$ u ijobiy, ammo yadroga ega, bu esa mos ravishda nosimmetrik va anti-nosimmetrik Fok bo'shliqlariga olib keladi.

Uchun ${ displaystyle h in { mathcal {H}}}$ biz belgilaymiz q-yaratish operatori ${ displaystyle a ^ {*} (h)}$, tomonidan berilgan

${ displaystyle a ^ {*} (h) Omega = h, qquad a ^ {*} (h) h_ {1} otimes cdots otimes h_ {n} = h otimes h_ {1} otimes cdots otimes h_ {n}.}$

Uning biriktiruvchisi (q-ichki hosilaga nisbatan), q-yo'q qilish operatori ${ displaystyle a (h)}$, tomonidan berilgan

${ displaystyle a (h) Omega = 0, qquad a (h) h_ {1} otimes cdots otimes h_ {n} = sum _ {r = 1} ^ {n} q ^ {r- 1} langle h, h_ {r} rangle h_ {1} otimes cdots otimes h_ {r-1} otimes h_ {r + 1} otimes cdots otimes h_ {n}.}$

k-kommutatsiya munosabatlari

Ushbu operatorlar q-kommutatsiya munosabatlarini qondiradilar^[7]

${ displaystyle a (f) a ^ {*} (g) -qa ^ {*} (g) a (f) = langle f, g rangle cdot 1 qquad (f, g in { mathcal) {H}}).}$

Uchun ${ displaystyle q = 1}$, ${ displaystyle q = 0}$va ${ displaystyle q = -1}$ bu CCR munosabatlariga, Kants munosabatlariga va CAR munosabatlariga mos ravishda tushadi. Ish bundan mustasno ${ displaystyle q = 1,}$ operatorlar ${ displaystyle a ^ {*} (f)}$ chegaralangan.

q-Gauss elementlari va ko'p o'zgaruvchan q-Gauss taqsimotining ta'rifi (q-Gauss jarayoni)

Shakl operatorlari ${ displaystyle s_ {q} (h) = {a (h) + a ^ {*} (h)}}$uchun ${ displaystyle h in { mathcal {H}}}$ deyiladi q-gauss^[5] (yoki q-yarim doira^[8]) elementlar.

Yoqilgan ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {q} ({ mathcal {H}})}$ biz ko'rib chiqamiz vakuum kutish holati${ displaystyle tau (T) = langle Omega, T Omega rangle}$, uchun ${ displaystyle T in { mathcal {B}} ({ mathcal {F}} ({ mathcal {H}}))}$.

The (ko'p o'zgaruvchan) q-Gauss taqsimoti yoki q-Gauss jarayoni^[4][9] vakuum kutish holatiga nisbatan q-Gausslar to'plamining komutativ bo'lmagan taqsimoti sifatida aniqlanadi. Uchun ${ displaystyle h_ {1}, dots, h_ {p} in { mathcal {H}}}$ ning birgalikda taqsimlanishi ${ displaystyle s_ {q} (h_ {1}), nuqta, s_ {q} (h_ {p})}$ munosabat bilan ${ displaystyle tau}$ quyidagi tarzda tavsiflanishi mumkin^{[1] [3]},: har qanday kishi uchun ${ displaystyle i {1, dots, k } rightarrow {1, dots, p }}$ bizda ... bor

${ displaystyle tau chap (s_ {q} (h_ {i (1)}) cdots s_ {q} (h_ {i (k)}) right) = sum _ { pi in { matematik {P}} _ {2} (k)} q ^ {cr ( pi)} prod _ {(r, s) in pi} langle h_ {i (r)}, h_ {i ( s)} rangle,}$

qayerda ${ displaystyle cr ( pi)}$ juftlik-bo'linmaning o'tish sonini bildiradi ${ displaystyle pi}$. Bu Vik / Isserlis formulasining q-deformatsiyalangan versiyasidir.

q-Gauss taqsimoti bir o'lchovli holatda

Uchun p = 1, q-Gauss taqsimoti bu oraliqdagi ehtimollik o'lchovidir ${ displaystyle [-2 / { sqrt {1-q}}, 2 / { sqrt {1-q}}]}$, uning zichligi uchun analitik formulalar bilan.^[10] Maxsus holatlar uchun ${ displaystyle q = 1}$, ${ displaystyle q = 0}$va ${ displaystyle q = -1}$, bu klassik Gauss taqsimotiga qadar kamayadi Wigner yarim doira taqsimoti va Bernulli nosimmetrik taqsimoti ${ displaystyle pm 1}$. Zichlikni aniqlash eski natijalardan kelib chiqadi^[11] tegishli ortogonal polinomlarda.

Operator algebraik savollari

The fon Neyman algebra tomonidan yaratilgan ${ displaystyle s_ {q} (h_ {i})}$, uchun ${ displaystyle h_ {i}}$ ortonormal tizim orqali ishlash ${ displaystyle (h_ {i}) _ {i in I}}$ ning vektorlari ${ displaystyle { mathcal {H}}}$, uchun kamaytiradi ${ displaystyle q = 0}$ mashhur bepul guruh omillariga ${ displaystyle L (F _ { vert I vert})}$. Ushbu fon Neumann algebralarining umumiy q uchun tuzilishini tushunish ko'plab tekshiruvlarning manbai bo'lgan.^[12] Endi Gionnet va Shlyaxtenko ishlarida ma'lum bo'lgan,^[13] hech bo'lmaganda cheklangan I va q ning kichik qiymatlari uchun fon Neyman algebrasi tegishli erkin guruh omiliga izomorfdir.

Adabiyotlar