Kvazigarmonik yaqinlashish - Quasi-harmonic approximation - Wikipedia

The kvazigarmonik yaqinlashish a fonon asoslangan model qattiq jismlar fizikasi kabi hajmga bog'liq bo'lgan issiqlik effektlarini tavsiflash uchun ishlatiladi issiqlik kengayishi. Bu degan taxminga asoslanadi harmonik yaqinlashish ning har bir qiymati uchun ushlab turiladi panjara doimiy, bu sozlanishi parametr sifatida ko'rib chiqilishi kerak.

Umumiy nuqtai

Kvazarmonik yaqinlashish garmonikaga qarab kengayadi fonon panjara dinamikasining modeli. Garmonik fonon modeli barcha atomlararo kuchlar sof ekanligini ta'kidlaydi harmonik, ammo bunday modelni tushuntirish uchun etarli emas issiqlik kengayishi, chunki bunday modeldagi atomlar orasidagi muvozanat masofasi haroratga bog'liq emas.

Shunday qilib kvaziarmonik modelda fonon nuqtai nazaridan fonon chastotalari kvazigarmonik yaqinlashishda hajmga bog'liq bo'lib qoladi, shunda har bir jild uchun harmonik yaqinlashish amal qiladi.

Termodinamika

Panjara uchun Helmholts erkin energiyasi F kvazigarmonik yaqinlashishda

${ displaystyle F (T, V) = E _ { rm {lat}} (V) + U _ { rm {vib}} (T, V) -TS (T, V)}$

qayerda E_lat statik ichki hisoblanadi panjara energiyasi, U_vib bu panjaraning ichki tebranish energiyasi yoki fonon tizimining energiyasi, T mutlaq harorat, V hajmi va S bo'ladi entropiya erkinlikning tebranish darajalari tufayli. tebranish energiyasi teng

${ displaystyle U _ { rm {vib}} (T, V) = { frac {1} {N}} sum _ { mathbf {k}, i} { frac {1} {2}} hbar omega _ { mathbf {k}, i} (V) + { frac {1} {N}} sum _ { mathbf {k}, i} { frac { hbar omega _ { mathbf {k}, i} (V)} { exp ( Theta _ { mathbf {k}, i} (V) / T) -1}} = { frac {1} {N}} sum _ { mathbf {k}, i} [{ frac {1} {2}} + n _ { mathbf {k}, i} (T, V)] hbar omega _ { mathbf {k}, i} (V)}$

qayerda N yig'indagi atamalar soni, ${ textstyle Theta _ { mathbf {k}, i} (V) = hbar omega _ { mathbf {k}, i} (V) / k_ {B}}$ to'lqinli vektorli fonon uchun xarakterli harorat sifatida kiritilgan k ichida men- balandlikdagi uchinchi guruh V va ${ textstyle n _ { mathbf {k}, i} (T, V)}$ soni uchun stenografiyak,men) -fononlar haroratda T va hajmi V. Odatdagidek, ${ textstyle hbar}$ kamaytirilgan Plank doimiysi va k_B bo'ladi Boltsman doimiy. Birinchi davr U_vib bo'ladi nol nuqtali energiya fonon tizimining nol nuqtali issiqlik bosimi sifatida issiqlik kengayishiga hissa qo'shadi.

Helmholtsning erkin energiyasi F tomonidan berilgan

${ displaystyle F = E _ { rm {lat}} (V) + { frac {1} {N}} sum _ { mathbf {k}, i} { frac {1} {2}} hbar omega _ { mathbf {k}, i} (V) + { frac {1} {N}} sum _ { mathbf {k}, i} k_ {B} T ln left [1 - exp (- Theta _ { mathbf {k}, i} (V) / T) o'ng]}$

va entropiya atamasi teng

${ displaystyle S = - chap ({ frac { qismli F} { qismli T}} o'ng) _ {V} = - { frac {1} {N}} sum _ { mathbf {k }, i} k_ {B} ln chap [1- exp (- Theta _ { mathbf {k}, i} (V) / T) o'ng] + { frac {1} {NT} } sum _ { mathbf {k}, i} { frac { hbar omega _ { mathbf {k}, i} (V)} { exp ( Theta _ { mathbf {k}, i } (V) / T) -1}}}$,

undan F = U - TS osongina tekshiriladi.

Funktsiyasi sifatida chastotasi ω k bo'ladi dispersiya munosabati. Ning doimiy qiymati uchun ekanligini unutmang V, bu tenglamalar harmonik yaqinlashishga teng keladi.

Qo'llash orqali Legendrning o'zgarishi, ni olish mumkin Gibbs bepul energiya G tizimning harorat va bosim funktsiyasi sifatida.

${ displaystyle G (T, P) = min _ {V} chap [E _ { rm {lat}} (V) + U _ { rm {vib}} (V, T) -TS (T, V) ) + PV o'ng]}$

Qaerda P bu bosim. Uchun minimal qiymat G berilgan uchun muvozanat hajmida topiladi T va P.

Olingan miqdorlar

Gibbsning erkin energiyasi ma'lum bo'lgach, ko'plab termodinamik kattaliklarni birinchi yoki ikkinchi darajali hosilalar sifatida aniqlash mumkin. Quyida faqat harmonik yaqinlashish orqali aniqlab bo'lmaydigan bir nechtasi keltirilgan.

Muvozanat hajmi

V(P,T) bosim va harorat funktsiyasi sifatida Gibbsning erkin energiyasini minimallashtirish yo'li bilan aniqlanadi.

Termal kengayish

Volumetrik termal kengayish a_V dan olinishi mumkin V(P,T) kabi

${ displaystyle alpha _ {V} = { frac {1} {V}} chap ({ frac { qisman V} { qisman T}} o'ng) _ {P}}$

Grüneisen parametri

The Grüneisen parametri γ har bir fonon rejimi uchun quyidagicha belgilanadi

${ displaystyle gamma _ {i} = - { frac { kısalt ln omega _ {i}} { qisman ln V}}}$

qayerda men fonon rejimini bildiradi. Umumiy Grüneisen parametri hamma γ yig'indisidir_mens. Bu tizimning anarmonikligini va issiqlik kengayishi bilan chambarchas bog'liq o'lchovidir.

Adabiyotlar

• Dove, Martin T. (1993). Panjara dinamikasiga kirish, Kembrij universiteti matbuoti. ISBN  0521392934.