Ramanujans uchlamchi kvadrat shakli - Ramanujans ternary quadratic form - Wikipedia

Yilda matematika, yilda sonlar nazariyasi, Ramanujanning uchlamchi kvadrat shakli algebraik ifoda x2 + y2 + 10z2 uchun integral qiymatlari bilan x, y vaz.[1][2] Srinivasa Ramanujan qog'ozdagi izohda ushbu ifodani ko'rib chiqdi[3] 1916 yilda nashr etilgan va ushbu shaklda butun sonlarning vakolatliligini qisqacha muhokama qildi. Butun sonni shaklda ifodalash mumkin emasligi uchun zarur va etarli shartlar berilganidan keyin bolta2 + tomonidan2 + cz2 ning ma'lum o'ziga xos qiymatlari uchun a, b va v, Ramanujan izohda quyidagilarni kuzatgan: "(Bu) natijalar bizni shakldagi o'xshash oddiy natijalar mavjud deb taxmin qilishga undashi mumkin. bolta2 + tomonidan2 + cz2 ning qiymatlari qanday bo'lishidan qat'iy nazar a, b va v. Ko'rinib turibdiki, aksariyat hollarda bunday oddiy natijalar bo'lmaydi. "[3] Ushbu kuzatuvni asoslash uchun Ramanujan endi Ramanujanning uchlamchi kvadrat shakli deb ataladigan shaklni muhokama qildi.

Ramanujan tomonidan kashf etilgan xususiyatlar

Uning 1916 yilgi maqolasida[3] Ramanujan shakl haqida quyidagi kuzatuvlarni o'tkazdi x2 + y2 + 10z2.

  • Shaklga kirmagan juft sonlar x2 + y2 + 10z2 4λ(16m + 6).
  • Shaklga kirmagan toq sonlar x2 + y2 + 10z2, ya'ni. 3, 7, 21, 31, 33, 43, 67, 79, 87, 133, 217, 219, 223, 253, 307, 391, ... hech qanday oddiy qonunga bo'ysunmaslik kerak.

Toq raqamlar 391 dan oshmaydi

Taqdim etiladigan raqamlar ro'yxatining oxiriga ellips qo'yib x2 + y2 + 10z2, Ramanujan uning ro'yxati to'liq emasligini ko'rsatdi. Ramanujan uni cheklangan ro'yxat yoki cheksiz ro'yxat qilishni xohlaganmi, aniq emas edi. Bu boshqalarni bunday g'alati raqamlarni izlashga undadi. 1927 yilda Berton U. Jons va Gordon Pall[2] 679 raqamini shaklda ifodalash mumkin emasligini aniqladi x2 + y2 + 10z2 Shuningdek, ular 2000 yildan pastroqda boshqa bunday raqamlar yo'qligini tasdiqladilar. Bu esa, o'n etti raqam - Ramanujan ro'yxatidagi o'n oltita raqam va ular tomonidan kashf etilgan raqamlar yagona noma'lum toq raqamlar deb taxmin qilinishiga olib keldi. x2 + y2 + 10z2. Biroq, 1941 yilda X Gupta[4] 2719 raqamini quyidagicha ifodalash mumkin emasligini ko'rsatdi x2 + y2 + 10z2. Shuningdek, u 20000 dan past bo'lgan boshqa raqamlar yo'qligini tasdiqladi. Ushbu yo'nalishdagi keyingi yutuqlar zamonaviy kompyuterlar ishlab chiqilgandan keyingina amalga oshirildi. U.Galvey bu kabi ifodalanmaydigan toq sonlarni aniqlash uchun kompyuter dasturini yozgan x2 + y2 + 10z2. Geyvey, atigi o'n sakkizta raqam kamroq ekanligini tasdiqladi 2 × 1010 shaklida ifodalanmaydi x2 + y2 + 10z2.[1] Galway hisoblashlariga asoslanib, Ken Ono va K. Soundararajan quyidagilarni shakllantirishgan taxmin:[1]

Shaklga kirmaydigan toq musbat butun sonlar x2 + y2 + 10z2 ular: 3, 7, 21, 31, 33, 43, 67, 79, 87, 133, 217, 219, 223, 253, 307, 391, 679, 2719.

Ba'zi ma'lum natijalar

Ken Ono va Soundararajanning taxminlari to'liq hal qilinmagan. Biroq, Ramanujan tomonidan bayon qilingan natijalardan tashqari, shakl haqida yana bir nechta umumiy natijalar aniqlandi. Ba'zilarining dalillari juda sodda, boshqalari esa juda murakkab tushunchalar va dalillarni o'z ichiga oladi.[1]

  • 10-shakldagi har bir butun sonn + 5 Ramanujanning uchlik kvadratik shakli bilan ifodalanadi.
  • Agar n kvadratga teng bo'lmagan toq tamsayı, keyin uni formada ifodalash mumkin x2 + y2 + 10z2.
  • Shaklda ko'rsatib bo'lmaydigan toq sonlarning cheklangan soni mavjud x2 + y2 + 10z2.
  • Agar umumiy Riman gipotezasi to'g'ri bo'lsa, Ono va Soundararajan gumonlari ham to'g'ri.
  • Ramanujanning uchlik kvadratik shakli ma'noda muntazam emas L.E. Dikson.[5]

Adabiyotlar

  1. ^ a b v d Ono, Ken; Soundararajan, Kannan (1997). "Ramanujanning uchlamchi kvadratik shakli" (PDF). Mathematicae ixtirolari. 130 (3): 415–454. CiteSeerX  10.1.1.585.8840. doi:10.1007 / s002220050191. JANOB  1483991.
  2. ^ a b Jons, Berton V.; Pall, Gordon (1939). "Muntazam va yarim muntazam musbat uchlamchi kvadratik shakllar". Acta Mathematica. 70 (1): 165–191. doi:10.1007 / bf02547347. JANOB  1555447.
  3. ^ a b v S. Ramanujan (1916). "Shaklda raqamning ifodasi to'g'risida bolta2 + tomonidan2 + cz2 + du2". Proc. Camb. Fil. Soc. 19: 11–21.
  4. ^ Gupta, Xansraj (1941). "Ramanujanning ba'zi o'ziga xos raqamlari" (PDF). Hindiston Fanlar akademiyasi materiallari, bo'lim A. 13 (6): 519–520. doi:10.1007 / BF03049015. JANOB  0004816.
  5. ^ L. E. Dikson (1926-1927). "Uchlamchi kvadratik shakllar va kelishuvlar". Matematika yilnomalari. Ikkinchi seriya. 28 (1/4): 333–341. doi:10.2307/1968378. JSTOR  1968378. JANOB  1502786.