Riemann o'zgarmas - Riemann invariant - Wikipedia

Riemann invariantlari bor matematik transformatsiyalar tizimida qilingan saqlanish tenglamalari ularni osonroq hal etilishi uchun. Riemann invariantlari xarakterli egri chiziqlar nomini olgan qisman differentsial tenglamalarning o'zgarmas. Ular birinchi tomonidan olingan Bernxard Riman gaz dinamikasidagi tekislik to'lqinlari bo'yicha ishlarida.^[1]

Matematik nazariya

To'plamini ko'rib chiqing saqlanish tenglamalari:

${ displaystyle l_ {i} chap (A_ {ij} { frac { u u {{j}} { qisman t}} + a_ {ij} { frac { qismli u_ {j}} { qisman x}} o'ng) + l_ {j} b_ {j} = 0}$

qayerda ${ displaystyle A_ {ij}}$ va ${ displaystyle a_ {ij}}$ ular elementlar ning matritsalar ${ displaystyle mathbf {A}}$ va ${ displaystyle mathbf {a}}$ qayerda ${ displaystyle l_ {i}}$ va ${ displaystyle b_ {i}}$ ning elementlari vektorlar. Ushbu tenglamani qayta yozish mumkinmi, deb so'raladi

${ displaystyle m_ {j} chap ( beta { frac { uC {u} {j}} { qismli t}} + alfa { frac { qismli u_ {j}} { qismli x}} o‘ngda) + l_ {j} b_ {j} = 0}$

Buning uchun egri chiziqlar kiritiladi ${ displaystyle (x, t)}$ bilan aniqlangan tekislik vektor maydoni ${ displaystyle ( alfa, beta)}$. Qavsdagi atama a nuqtai nazaridan qayta yoziladi jami hosila qayerda ${ displaystyle x, t}$ parametrlangan ${ displaystyle x = X ( eta), t = T ( eta)}$

${ displaystyle { frac {du_ {j}} {d eta}} = T '{ frac { qismli u_ {j}} { qisman t}} + X' { frac { qismli u_ {j }} { qisman x}}}$

biz topgan so'nggi ikkita tenglamani taqqoslash

${ displaystyle alpha = X '( eta), beta = T' ( eta)}$

endi yozilishi mumkin xarakterli shakl

${ displaystyle m_ {j} { frac {du_ {j}} {d eta}} + l_ {j} b_ {j} = 0}$

bu erda bizda shartlar bo'lishi kerak

${ displaystyle l_ {i} A_ {ij} = m_ {j} T '}$

${ displaystyle l_ {i} a_ {ij} = m_ {j} X '}$

qayerda ${ displaystyle m_ {j}}$ zarur shartni berish uchun yo'q qilinishi mumkin

${ displaystyle l_ {i} (A_ {ij} X'-a_ {ij} T ') = 0}$

shuning uchun a nontrival echim determinant hisoblanadi

${ displaystyle | A_ {ij} X'-a_ {ij} T '| = 0}$

Riemann invariantlari uchun biz matritsaning holati bilan bog'liqmiz ${ displaystyle mathbf {A}}$ bu identifikatsiya matritsasi shakllantirmoq

${ displaystyle { frac { qisman u_ {j}} { qismli t}} + a_ {ij} { frac { qismli u_ {j}} { qismli x}} = 0}$

e'tibor bering bir hil vektor tufayli ${ displaystyle mathbf {n}}$ nolga teng. Xarakterli shaklda tizim

${ displaystyle l_ {i} { frac {du_ {i}} {dt}} = 0}$ bilan ${ displaystyle { frac {dx} {dt}} = lambda}$

Qaerda ${ displaystyle l}$ chap xususiy vektor matritsaning ${ displaystyle mathbf {A}}$ va ${ displaystyle lambda 's}$ bo'ladi xarakterli tezliklar ning o'zgacha qiymatlar matritsaning ${ displaystyle mathbf {A}}$ qoniqtiradigan

${ displaystyle | A- lambda delta _ {ij} | = 0}$

Bularni soddalashtirish uchun xarakterli tenglamalar biz shunday o'zgartirishlarni amalga oshirishimiz mumkin ${ displaystyle { frac {dr} {dt}} = l_ {i} { frac {du_ {i}} {dt}}}$

qaysi shakl

${ displaystyle mu l_ {i} du_ {i} = dr}$

An birlashtiruvchi omil ${ displaystyle mu}$ buni birlashtirishga yordam berish uchun ko'paytirilishi mumkin. Shunday qilib, tizim endi xarakterli shaklga ega

${ displaystyle { frac {dr} {dt}} = 0}$ kuni ${ displaystyle { frac {dx} {dt}} = lambda _ {i}}$

ga teng bo'lgan diagonal tizim^[2]

${ displaystyle r_ {t} ^ {k} + lambda _ {k} r_ {x} ^ {k} = 0,}$ ${ displaystyle k = 1, ..., N.}$

Ushbu tizimning echimi umumlashtirilgan tomonidan berilishi mumkin hodograf usuli.^[3][4]

Misol

Bir o'lchovli narsani ko'rib chiqing Eyler tenglamalari zichligi bo'yicha yozilgan ${ displaystyle rho}$ va tezlik ${ displaystyle u}$ bor

${ displaystyle rho _ {t} + rho u_ {x} + u rho _ {x} = 0}$

${ displaystyle u_ {t} + uu_ {x} + (c ^ {2} / rho) rho _ {x} = 0}$

bilan ${ displaystyle c}$ bo'lish tovush tezligi izentropik taxmin asosida kiritiladi. Ushbu tizimni matritsa shaklida yozing

${ displaystyle chap ({ begin {matrix} rho u end {matrix}} o'ng) _ {t} + chap ({ begin {matrix} u & rho { frac {c ^ {2}} { rho}} & u end {matrix}} o'ng) chap ({ begin {matrix} rho u end {matrix}} o'ng) _ {x} = chap ({ begin {matrix} 0 0 end {matrix}} right)}$

qaerda matritsa ${ displaystyle mathbf {a}}$ yuqoridagi tahlildan xususiy qiymatlar va xususiy vektorlarni topish kerak. O'ziga xos qiymatlar qondirilishi aniqlandi

${ displaystyle lambda ^ {2} -2u lambda + u ^ {2} -c ^ {2} = 0}$

bermoq

${ displaystyle lambda = u pm c}$

va o'z vektorlari deb topildi

${ displaystyle chap ({ begin {matrix} 1 { frac {c} { rho}} end {matrix}} o'ng), chap ({ begin {matrix} 1 - { frac {c} { rho}} end {matrix}} o'ng)}$

Riman invariantlari joylashgan joyda

${ displaystyle r_ {1} = J _ {+} = u + int { frac {c} { rho}} d rho,}$

${ displaystyle r_ {2} = J _ {-} = u- int { frac {c} { rho}} d rho,}$

(${ displaystyle J _ {+}}$ va ${ displaystyle J _ {-}}$ ichida keng qo'llaniladigan yozuvlar gaz dinamikasi ). Doimiy o'ziga xos issiqlikka ega bo'lgan mukammal gaz uchun o'zaro bog'liqlik mavjud ${ displaystyle c ^ {2} = { text {const}} , gamma rho ^ { gamma -1}}$, qayerda ${ displaystyle gamma}$ bo'ladi o'ziga xos issiqlik nisbati, Riemann invariantlarini berish^[5][6]

${ displaystyle J _ {+} = u + { frac {2} { gamma -1}} c,}$

${ displaystyle J _ {-} = u - { frac {2} { gamma -1}} c,}$

tenglamalarni berish

${ displaystyle { frac { qisman J _ {+}} { qisman t}} + (u + c) { frac { qisman J _ {+}} { qismli x}} = 0}$

${ displaystyle { frac { qisman J _ {-}} { qisman t}} + (u-c) { frac { qisman J _ {-}} { qisman x}} = 0}$

Boshqa so'zlar bilan aytganda,

${ displaystyle { begin {aligned} & dJ _ {+} = 0, , J _ {+} = { text {const}} quad { text {along}} , , C _ {+} ,: , { frac {dx} {dt}} = u + c, & dJ _ {-} = 0, , J _ {-} = { text {const}} quad { text {along}} , , C _ {-} ,: , { frac {dx} {dt}} = uc, end {aligned}}}$

qayerda ${ displaystyle C _ {+}}$ va ${ displaystyle C _ {-}}$ xarakterli egri chiziqlar. Buni hal qilish mumkin hodografni o'zgartirish. Godografik tekislikda, agar barcha xususiyatlar bitta egri chiziqqa tushsa, biz olamiz oddiy to'lqinlar. Agar pde's tizimining matritsa shakli shaklda bo'lsa

${ displaystyle A { frac { kısmi v} { qismli t}} + B { frac { qismli v} { qismli x}} = 0}$

Keyin teskari matritsa bo'yicha ko'paytirish mumkin bo'lishi mumkin ${ displaystyle A ^ {- 1}}$ matritsa ekan aniqlovchi ning ${ displaystyle mathbf {A}}$ nol emas.

Shuningdek qarang

• Oddiy to'lqin

Adabiyotlar