Rojers – Ramanujan davom etgan fraktsiya - Rogers–Ramanujan continued fraction

The Rojers – Ramanujan davom etgan fraktsiya a davom etgan kasr tomonidan kashf etilgan Rojers (1894) va mustaqil ravishda Srinivasa Ramanujan bilan chambarchas bog'liq Rojers-Ramanujan shaxsi. Buni argument qiymatlarining keng klassi uchun aniq baholash mumkin.

Domenni bo'yash konvergentning namoyishi ${displaystyle A_ {400} (q) / B_ {400} (q)}$ funktsiyasi ${displaystyle q ^ {- 1/5} R (q)}$, qayerda ${displaystyle R (q)}$ Rojers-Ramanujan davom etgan kasr.

Ta'rif

Yaqinlashishni aks ettirish ${displaystyle q ^ {1/5} A_ {400} (q) / B_ {400} (q)}$ Rojers-Ramanujan fraktsiyasining davomi.

Funksiyalar berilgan G(q) va H(q) Rojers-Ramanujan shaxsiyatlarida paydo bo'lish,

${displaystyle {egin {aligned} G (q) & = sum _ {n = 0} ^ {infty} {frac {q ^ {n ^ {2}}} {(1-q) (1-q ^ {2) }) cdots (1-q ^ {n})}} = sum _ {n = 0} ^ {infty} {frac {q ^ {n ^ {2}}} {(q; q) _ {n}} } = {frac {1} {(q; q ^ {5}) _ {infty} (q ^ {4}; q ^ {5}) _ {infty}}} & = prod _ {n = 1} ^ {infty} {frac {1} {(1-q ^ {5n-1}) (1-q ^ {5n-4})}} & = {sqrt [{60}] {qj}}, _ {2} F_ {1} chap (- {frac {1} {60}}, {frac {19} {60}}; {frac {4} {5}}; {frac {1728} {j}} kecha ) & = {sqrt [{60}] {qleft (j-1728ight)}}, _ {2} F_ {1} chap (- {frac {1} {60}}, {frac {29} {60} }; {frac {4} {5}}; - {frac {1728} {j-1728}} ight) & = 1 + q + q ^ {2} + q ^ {3} + 2q ^ {4} + 2q ^ {5} + 3q ^ {6} + cdots oxiri {hizalanmış}}}$

va,

${displaystyle {egin {hizalangan} H (q) & = sum _ {n = 0} ^ {infty} {frac {q ^ {n ^ {2} + n}} {(1-q) (1-q ^ {2}) cdots (1-q ^ {n})}} = sum _ {n = 0} ^ {infty} {frac {q ^ {n ^ {2} + n}} {(q; q) _ {n}}} = {frac {1} {(q ^ {2}; q ^ {5}) _ {infty} (q ^ {3}; q ^ {5}) _ {infty}}} & = prod _ {n = 1} ^ {infty} {frac {1} {(1-q ^ {5n-2}) (1-q ^ {5n-3})}} & = {frac {1} {sqrt [{60}] {q ^ {11} j ^ {11}}}}, _ {2} F_ {1} qoldi ({frac {11} {60}}, {frac {31} {60} }; {frac {6} {5}}; {frac {1728} {j}} ight) & = {frac {1} {sqrt [{60}] {q ^ {11} chap (j-1728ight) ^ {11}}}}, _ {2} F_ {1} qoldi ({frac {11} {60}}, {frac {41} {60}}; {frac {6} {5}}; - { frac {1728} {j-1728}} ight) & = 1 + q ^ {2} + q ^ {3} + q ^ {4} + q ^ {5} + 2q ^ {6} + 2q ^ { 7} + cdots tugaydi {hizalanadi}}}$

OEIS: A003114 va OEIS: A003106navbati bilan, qaerda ${displaystyle (a; q) _ {infty}}$ cheksizni bildiradi q-pochhammer belgisi, j bo'ladi j-funktsiyasi va ₂F₁ bo'ladi gipergeometrik funktsiya, keyin Rojers-Ramanujan davom etgan kasr quyidagicha:

${displaystyle {egin {hizalangan} R (q) & = {frac {q ^ {frac {11} {60}} H (q)} {q ^ {- {frac {1} {60}}} G (q) )}} = q ^ {frac {1} {5}} prod _ {n = 1} ^ {infty} {frac {(1-q ^ {5n-1}) (1-q ^ {5n-4} )} {(1-q ^ {5n-2}) (1-q ^ {5n-3})}} & = {cfrac {q ^ {1/5}} {1+ {cfrac {q} { 1+ {cfrac {q ^ {2}} {1+ {cfrac {q ^ {3}} {1 + ddots}}}}}}}} oxiri {hizalanmış}}}$

Modulli funktsiyalar

Agar ${displaystyle q = e ^ {2pi {m {i}} au}}$, keyin ${displaystyle q ^ {- {frac {1} {60}}} G (q)}$ va ${displaystyle q ^ {frac {11} {60}} H (q)}$, shuningdek ularning miqdori ${displaystyle R (q)}$, bor modulli funktsiyalar ning ${displaystyle au}$. Ular integral koeffitsientlarga ega bo'lganligi sababli, nazariyasi murakkab ko'paytirish ularning qadriyatlari degan ma'noni anglatadi ${displaystyle au}$ xayoliy kvadratik irratsionaldir algebraik sonlar buni aniq baholash mumkin.

Misollar

${displaystyle R {ig (} e ^ {- 2pi} {ig)} = {cfrac {e ^ {- {frac {2pi} {5}}}} {1+ {cfrac {e ^ {- 2pi}} { 1+ {cfrac {e ^ {- 4pi}} {1 + ddots}}}}}}} = {{sqrt {5+ {sqrt {5}} 2}} dan ortiq - phi}}$

${displaystyle R {ig (} e ^ {- 2 {sqrt {5}} pi} {ig)} = {cfrac {e ^ {- {frac {2pi} {sqrt {5}}}}} {1+ { cfrac {e ^ {- 2pi {sqrt {5}}}} {1+ {cfrac {e ^ {- 4pi {sqrt {5}}}} {1 + ddots}}}}}} = {frac {sqrt { 5}} {1+ {ig (} 5 ^ {3/4} (phi -1) ^ {5/2} -1 {ig)} ^ {1/5}}} - {phi}}$

qayerda ${displaystyle phi = {frac {1+ {sqrt {5}}} {2}}}$ bo'ladi oltin nisbat.

Modulli shakllarga aloqadorlik

Bu bilan bog'liq bo'lishi mumkin Dedekind eta funktsiyasi, a modulli shakl og'irligi 1/2, kabi,^[1]

${displaystyle {frac {1} {R (q)}} - R (q) = {frac {eta ({frac {au} {5}})} {eta (5 au)}} + 1}$

${displaystyle {frac {1} {R ^ {5} (q)}} - R ^ {5} (q) = chap [{frac {eta (au)} {eta (5 au)}} ight] ^ { 6} +11}$

J-funktsiyasi bilan bog'liqlik

Ning ko'plab formulalari orasida j-funktsiyasi, biri,

${displaystyle j (au) = {frac {(x ^ {2} + 10x + 5) ^ {3}} {x}}}$

qayerda

${displaystyle x = left [{frac {{sqrt {5}}, eta (5 au)} {eta (au)}} ight] ^ {6}}$

Eta miqdorini yo'q qilish, keyin uni ifodalash mumkin j(τ) xususida ${displaystyle r = R (q)}$ kabi,

${displaystyle {egin {aligned} & j (au) = - {frac {(r ^ {20} -228r ^ {15} + 494r ^ {10} + 228r ^ {5} +1) ^ {3}} {r ^ {5} (r ^ {10} + 11r ^ {5} -1) ^ {5}}} [6pt] & j (au) -1728 = - {frac {(r ^ {30} + 522r ^ { 25} -10005r ^ {20} -10005r ^ {10} -522r ^ {5} +1) ^ {2}} {r ^ {5} (r ^ {10} + 11r ^ {5} -1) ^ {5}}} oxiri {hizalanmış}}}$

qaerda raqamlovchi va maxraj ning polinom invariantlari ikosaedr. Orasidagi modulli tenglamadan foydalanish ${displaystyle R (q)}$ va ${displaystyle R (q ^ {5})}$, buni topadi,

${displaystyle j (5 au) = - {frac {(r ^ {20} + 12r ^ {15} + 14r ^ {10} -12r ^ {5} +1) ^ {3}} {r ^ {25} (r ^ {10} + 11r ^ {5} -1)}}}$

ruxsat bering ${displaystyle z = r ^ {5} - {frac {1} {r ^ {5}}}}$, keyin${displaystyle j (5 au) = - {frac {left (z ^ {2} + 12z + 16ight) ^ {3}} {z + 11}}}$

qayerda

${displaystyle {egin {aligned} & z_ {infty} = - chap [{frac {{sqrt {5}}, eta (25 au)} {eta (5 au)}} ight] ^ {6} -11, z_ { 0} = - chap [{frac {eta (au)} {eta (5 au)}} ight] ^ {6} -11, z_ {1} = chap [{frac {eta ({frac {5 au +2) } {5}})} {eta (5 au)}} ight] ^ {6} -11, [6pt] & z_ {2} = - chap [{frac {eta ({frac {5 au +4} {) 5}})} {eta (5 au)}} ight] ^ {6} -11, z_ {3} = chap [{frac {eta ({frac {5 au +6} {5}})} {eta (5 au)}} ight] ^ {6} -11, z_ {4} = - chap [{frac {eta ({frac {5 au +8} {5}})} {eta (5 au)}} ight] ^ {6} -11end {hizalanmış}}}$

bu aslida ning j-o'zgarmasidir elliptik egri chiziq,

${displaystyle y ^ {2} + (1 + r ^ {5}) xy + r ^ {5} y = x ^ {3} + r ^ {5} x ^ {2}}$

ning pog'onali bo'lmagan nuqtalari bilan parametrlangan modul egri ${displaystyle X_ {1} (5)}$.

Funktsional tenglama

Qulaylik uchun yozuvlardan ham foydalanish mumkin ${displaystyle r (au) = R (q)}$ qachon q = e^2πiτ. J-invariant kabi boshqa modul funktsiyalarni qondirganda,

${displaystyle j (- {frac {1} {au}}) = j (au)}$

va Dedekind eta funktsiyasi quyidagicha:

${displaystyle eta (- {frac {1} {au}}) = {sqrt {-i au}}, eta (au)}$

The funktsional tenglama Rojers-Ramanujan fraktsiyasini davom ettiradi^[2] The oltin nisbat ${displaystyle phi}$,

${displaystyle r (- {frac {1} {au}}) = {frac {1-phi, r (au)} {phi + r (au)}}}$

Aytgancha,

${displaystyle r ({frac {7 + i} {10}}) = i}$

Modulli tenglamalar

O'rtasida modulli tenglamalar mavjud ${displaystyle R (q)}$ va ${displaystyle R (q ^ {n})}$. Kichkintoylar uchun oqlanganlar asosiy n quyidagilar.^[3]

Uchun ${displaystyle n = 2}$, ruxsat bering ${displaystyle u = R (q)}$ va ${displaystyle v = R (q ^ {2})}$, keyin ${displaystyle v-u ^ {2} = (v + u ^ {2}) uv ^ {2}.}$

Uchun ${displaystyle n = 3}$, ruxsat bering ${displaystyle u = R (q)}$ va ${displaystyle v = R (q ^ {3})}$, keyin ${displaystyle (v-u ^ {3}) (1 + uv ^ {3}) = 3u ^ {2} v ^ {2}.}$

Uchun ${displaystyle n = 5}$, ruxsat bering ${displaystyle u = R (q)}$ va ${displaystyle v = R (q ^ {5})}$, keyin ${displaystyle (v ^ {4} -3v ^ {3} + 4v ^ {2} -2v + 1) v = (v ^ {4} + 2v ^ {3} + 4v ^ {2} + 3v + 1) u ^ {5}.}$

Uchun ${displaystyle n = 11}$, ruxsat bering ${displaystyle u = R (q)}$ va ${displaystyle v = R (q ^ {11})}$, keyin ${displaystyle uv (u ^ {10} + 11u ^ {5} -1) (v ^ {10} + 11v ^ {5} -1) = (u-v) ^ {12}.}$

Kelsak ${displaystyle n = 5}$, yozib oling

${displaystyle v ^ {10} + 11v ^ {5} -1 = (v ^ {2} + v-1) (v ^ {4} -3v ^ {3} + 4v ^ {2} -2v + 1) (v ^ {4} + 2v ^ {3} + 4v ^ {2} + 3v + 1).}$

Boshqa natijalar

Ramanujan boshqa ko'plab qiziqarli natijalarni topdi R(q).^[4] Ruxsat bering ${displaystyle u = R (q ^ {a})}$, ${displaystyle v = R (q ^ {b})}$va ${displaystyle phi}$ sifatida oltin nisbat.

Agar ${displaystyle ab = 4pi ^ {2}}$, keyin ${displaystyle (u + phi) (v + phi) = {sqrt {5}}, phi.}$

Agar ${displaystyle 5ab = 4pi ^ {2}}$, keyin ${displaystyle (u ^ {5} + phi ^ {5}) (v ^ {5} + phi ^ {5}) = 5 {sqrt {5}}, phi ^ {5}.}$

Vakolatlari R(q) shuningdek, g'ayrioddiy usullar bilan ifodalanishi mumkin. Buning uchun kub,

${displaystyle R ^ {3} (q) = {frac {alfa} {eta}}}$

qayerda,

${displaystyle alfa = sum _ {n = 0} ^ {infty} {frac {q ^ {2n}} {1-q ^ {5n + 2}}} - sum _ {n = 0} ^ {infty} {frac {q ^ {3n + 1}} {1-q ^ {5n + 3}}}}$

${displaystyle eta = sum _ {n = 0} ^ {infty} {frac {q ^ {n}} {1-q ^ {5n + 1}}} - sum _ {n = 0} ^ {infty} {frac {q ^ {4n + 3}} {1-q ^ {5n + 4}}}}$

Beshinchi kuchi uchun ${displaystyle w = R (q) R ^ {2} (q ^ {2})}$, keyin,

${displaystyle R ^ {5} (q) = wleft ({frac {1-w} {1 + w}} ight) ^ {2}, ;; R ^ {5} (q ^ {2}) = w ^ {2} chapda ({frac {1 + w} {1-w}} tunda)}$

Adabiyotlar

• Rojers, L. J. (1894), "Muayyan cheksiz mahsulotlarni kengaytirish bo'yicha ikkinchi xotira", Proc. London matematikasi. Soc., s1-25 (1): 318-343, doi:10.1112 / plms / s1-25.1.318
• Berndt, B. C .; Chan, H. H .; Xuang, S. S .; Kang, S. Y .; Shon, J .; O'g'il, S. H. (1999), "Rojers-Ramanujan davomi fraktsiyasi" (PDF), Hisoblash va amaliy matematika jurnali, 105 (1–2): 9–24, doi:10.1016 / S0377-0427 (99) 00033-3

Tashqi havolalar

• Vayshteyn, Erik V. "Rojers-Ramanujan shaxsi". MathWorld.
• Vayshteyn, Erik V. "Rojers-Ramanujan fraktsiyasining davomi". MathWorld.