Operator algebralari uchun Shreder-Bernshteyn teoremalari - Schröder–Bernstein theorems for operator algebras

The Shreder - Bernshteyn teoremasi dan to'plam nazariyasi kontekstda o'xshashlarga ega operator algebralari. Ushbu maqolada operatorning algebraik natijalari muhokama qilinadi.

Fon Neyman algebralari uchun

Aytaylik M a fon Neyman algebra va E, F ichida proektsiyalar mavjud M. ~ Ni belgilaylik Myurrey-fon Neyman ekvivalentligi munosabati kuni M. Tomonidan proektsiyalar oilasiga qisman tartibni belgilang E « F agar E ~ F ' ≤ F. Boshqa so'zlar bilan aytganda, E « F agar qisman izometriya mavjud bo'lsa U ∈ M shu kabi U * U = E va UU * ≤ F.

Yopiq pastki bo'shliqlar uchun M va N qaerda proektsiyalar P_M va P_N, ustiga M va N mos ravishda, ning elementlari M, M « N agar P_M « P_N.

The Shreder - Bernshteyn teoremasi agar shunday bo'lsa M « N va N « M, keyin M ~ N.

Belgilangan nazariy argumentga o'xshash dalilni quyidagicha chizish mumkin. So'zlashuv bilan, N « M shuni anglatadiki N izometrik tarzda joylashtirilishi mumkin M. Shunday qilib

{displaystyle M = M_ {0} supset N_ {0}}

qayerda N₀ ning izometrik nusxasi N yilda M. Taxminlarga ko'ra, N, shuning uchun N₀, izometrik nusxasini o'z ichiga oladi M₁ ning M. Shuning uchun yozish mumkin

{displaystyle M = M_ {0} supset N_ {0} supset M_ {1}.}

Induktsiya bo'yicha,

{displaystyle M = M_ {0} supset N_ {0} supset M_ {1} supset N_ {1} supset M_ {2} supset N_ {2} setset cdots.}

Bu aniq

{displaystyle R = cap _ {igeq 0} M_ {i} = cap _ {igeq 0} N_ {i}.}

Ruxsat bering

{displaystyle Mominus N {stackrel {mathrm {def}} {=}} Mcap (N) ^ {perp}.}

Shunday qilib

{displaystyle M = oplus _ {igeq 0} (M_ {i} ominus N_ {i}) to'rtinchi oplus to'rtinchi oplus _ {jgeq 0} (N_ {j} ominus M_ {j + 1}) to'rtinchi oplus R}

va

{displaystyle N_ {0} = oplus _ {igeq 1} (M_ {i} ominus N_ {i}) to'rtinchi oplus to'rtinchi oplus _ {jgeq 0} (N_ {j} ominus M_ {j + 1}) to'rtinchi oplus R. }

E'tibor bering

{displaystyle M_ {i} ominus N_ {i} sim Mominus Nquad {mbox {for all}} quad i.}

Endi teorema ~ ning hisoblanadigan qo'shimchasidan kelib chiqadi.

C * -algebralarning vakolatxonalari

Shuningdek, Schröder-Bernsteinning analoglari mavjud C * - algebralar. Agar A C * algebra, a vakillik ning A * - homomorfizmdir φ dan A ichiga L(H), ba'zi bir Hilbert fazosidagi chegaralangan operatorlar H.

Agar proektsiya mavjud bo'lsa P yilda L(H) qayerda P φ(a) = φ(a) P har bir kishi uchun a yilda A, keyin a subreprezentatsiya σ ning φ tabiiy ravishda aniqlanishi mumkin: σ(a) φ(a) oralig'ida cheklangan P. Shunday qilib φ keyin ikkita subprezentatsiyaning to'g'ridan-to'g'ri yig'indisi sifatida ifodalanishi mumkin φ = φ ' ⊕ σ.

Ikki vakolatxona φ₁ va φ₂, kuni H₁ va H₂ mos ravishda, deyilgan birlik ekvivalenti agar unitar operator mavjud bo'lsa U: H₂ → H₁ shu kabi φ₁(a)U = Uφ₂(a), har bir kishi uchun a.

Ushbu sozlamada Shreder - Bernshteyn teoremasi o'qiydi:

Agar ikkita vakolatxona bo'lsa r va σ, Hilbert bo'shliqlarida H va G navbati bilan, ularning har biri bir-birining subreprezentatsiyasiga teng, keyin ular bir-biriga tengdir.

Oldingi argumentga o'xshash dalilni ko'rsatish mumkin. Taxminlarga ko'ra, sur'ektiv qisman izometriyalar mavjud H ga G va dan G ga H. Argument uchun ikkita shunday qisman izometriyani tuzating. Bittasi bor