Shift teoremasi - Shift theorem

Yilda matematika, (eksponent) siljish teoremasi a teorema haqida polinom differentsial operatorlar (D.-operatorlar) va eksponent funktsiyalar. Bu ma'lum hollarda, ostidan eksponentlikni yo'q qilishga imkon beradi D.-operatorlar.

Bayonot

Teoremada, agar bo'lsa P(D.) polinom hisoblanadi D.- har qanday holatda ham operator farqlanadigan funktsiya y,

${ displaystyle P (D) (e ^ {ax} y) equiv e ^ {ax} P (D + a) y.}$

Natijani isbotlash uchun davom eting induksiya. E'tibor bering, faqat maxsus ish

${ displaystyle P (D) = D ^ {n}}$

isbotlash kerak, chunki umumiy natija keyin keladi chiziqlilik ning D.-operatorlar.

Natija aniq n = 1 yildan beri

${ displaystyle D (e ^ {ax} y) = e ^ {ax} (D + a) y.}$

Endi natija to'g'ri deb taxmin qiling n = k, anavi,

${ displaystyle D ^ {k} (e ^ {ax} y) = e ^ {ax} (D + a) ^ {k} y.}$

Keyin,

${ displaystyle { begin {aligned} D ^ {k + 1} (e ^ {ax} y) & equiv { frac {d} {dx}} {e ^ {ax} (D + a) ^ {k} y } & {} = e ^ {ax} { frac {d} {dx}} {(D + a) ^ {k} y } + ae ^ {ax} {( D + a) ^ {k} y } & {} = e ^ {ax} chap { chap ({ frac {d} {dx}} + a o'ng) (D + a) ^ {k} y right } & {} = e ^ {ax} (D + a) ^ {k + 1} y. end {hizalangan}}}$

Bu dalilni to'ldiradi.

Shift teoremasi teskari operatorlarga teng darajada qo'llanishi mumkin:

${ displaystyle { frac {1} {P (D)}} (e ^ {ax} y) = e ^ {ax} { frac {1} {P (D + a)}} y.}$

Bog'liq

Laplas konvertatsiyalari uchun siljish teoremasining o'xshash versiyasi mavjud (${ displaystyle t$):

${ displaystyle e ^ {- as} { mathcal {L}} (f (t)) = { mathcal {L}} (f (t-a)).}$

Misollar

Eksponensial siljish teoremasidan eksponent va boshqa funktsiya ko'paytmasi tomonidan berilgan funktsiyalarning yuqori hosilalarini hisoblashni tezlashtirish uchun foydalanish mumkin. Masalan, agar ${ displaystyle f (x) = sin (x) e ^ {x}}$, bittasida shunday narsa bor

${ displaystyle D ^ {3} f = D ^ {3} (e ^ {x} sin (x)) = e ^ {x} (D + 1) ^ {3} sin (x) = e ^ {x} (D ^ {3} + 3D ^ {2} + 3D + 1) sin (x) = e ^ {x} (- cos (x) -3 sin (x) +3 cos) x) + sin (x))}$

Ko'rsatkichli siljish teoremasining yana bir qo'llanilishi hal qilishdir chiziqli differentsial tenglamalar kimning xarakterli polinom takrorlangan ildizlarga ega.^[1]

Izohlar

Adabiyotlar

• Morris, Tenenbaum; Pollard, Garri (1985). Oddiy differentsial tenglamalar: matematika, muhandislik va fan talabalari uchun boshlang'ich darslik. Nyu-York: Dover nashrlari. ISBN  0486649407. OCLC  12188701.