Imzolangan raqamlar - Signed number representations

Yilda hisoblash, imzolangan raqamli vakolatxonalar kodlash uchun talab qilinadi salbiy raqamlar ikkilik sanoq tizimlarida.

Yilda matematika, har qanday bazadagi manfiy sonlar ularni minus belgisi ("-") bilan prefikslash orqali ifodalanadi. Biroq, ichida kompyuter texnikasi, raqamlar faqat ketma-ketliklar sifatida ifodalanadi bitlar, qo'shimcha belgilarsiz. Kengaytirishning eng taniqli to'rtta usuli ikkilik sanoq sistemasi vakili qilmoq imzolangan raqamlar ular: belgi va kattalik, bir-birini to'ldiruvchi, ikkitasini to'ldiruvchi va ofset ikkilik. Ba'zi bir qator muqobil usullardan foydalanib, aniq belgilar o'rniga, masalan, salbiy ikkilik ishlatiladi asos −2. Tegishli usullarni o'ylab topish mumkin boshqa asoslar, bunday mavzular bo'yicha ijobiy, salbiy, fraksiyonel yoki boshqa ishlab chiqishlar bo'lsin.

Vakillarning har biri universal ravishda ustun bo'lgan aniq mezon yo'q. Butun sonlar uchun hozirgi hisoblash moslamalarining aksariyat qismida ishlatiladigan tasvir ikkitani to'ldiradi, ammo Unisys ClearPath Dorado seriyasi mainframes birovning komplementidan foydalanadi.

Tarix

Raqamli hisoblashning dastlabki kunlari ham apparat texnologiyasi, ham matematika texnologiyasi (raqamlash tizimlari) haqida juda ko'p raqobatlashadigan g'oyalar bilan ajralib turardi. Katta munozaralardan biri manfiy sonlarning formati bo'lib, davrning eng tajribali odamlari juda kuchli va har xil fikrlarga ega edilar.^{[iqtibos kerak ]} Bitta lager qo'llab-quvvatlandi ikkitasini to'ldiruvchi, bugungi kunda dominant bo'lgan tizim. Boshqa bir lager qo'llab-quvvatlovchilarning qo'shimchasini qo'llab-quvvatladi, bu erda har qanday ijobiy qiymat so'zning barcha bitlarini teskari aylantirish orqali uning salbiy ekvivalentiga aylanadi. Uchinchi guruh "belgi va kattalik" ni qo'llab-quvvatladi (belgi kattaligi), bu erda qiymat so'zning belgisini (yuqori tartibli) bitni almashtirish orqali ijobiydan salbiyga o'zgartiriladi.

Tizimlarning har biriga qarshi va qarshi dalillar mavjud edi. Imzo va kattalik xotira chiqindilarini osonroq kuzatib borishga imkon berdi (1960-yillarda keng tarqalgan jarayon), chunki kichik sonli qiymatlar 1 bitdan kamroq foydalanadi. Ichki sifatida, ushbu tizimlar matematikani to'ldirdilar, shuning uchun ular registrdan matematik birlikka uzatilganda raqamlar birliklarning komplement qiymatlariga aylantirilishi va natijada reestrga uzatilganda yana belgi kattaligiga o'tkazilishi kerak edi. Elektronika boshqa tizimlarga qaraganda ko'proq eshiklarni talab qildi - diskret tranzistorlarning narxi va qadoqlanishi juda muhim bo'lganida asosiy muammo. IBM imzolari kattaligining dastlabki tarafdorlaridan biri edi 704, 709 va 709x seriyali kompyuterlar uni ishlatish uchun eng taniqli tizimlardir.

Ones komplekti biroz sodda qo'shimcha qurilmalarini loyihalashga imkon berdi, chunki matematik bo'linmaga va undan uzatishda qiymatlarni o'zgartirishga hojat yo'q edi. Biroq, u istalmagan xususiyatni belgi kattaligi - vakillik qobiliyati bilan bo'lishdi salbiy nol (-0). Salbiy nol aynan ijobiy nolga o'xshaydi; har qanday hisoblashda operand sifatida ishlatilganda, operand ijobiy yoki salbiy nolga teng bo'ladimi, natijasi bir xil bo'ladi. Kamchilik shundaki, bir xil qiymatga ega bo'lgan ikkita shaklning mavjudligi tenglikni nol bilan tekshirishda bitta taqqoslashni emas, ikkitasini talab qiladi. To'liqlarni ayirboshlash ham natijaga olib kelishi mumkin qarz olish (quyida tavsiflangan). Bu qo'shish / ayirish mantig'ini yanada murakkablashtiradi yoki ayirmachani olib tashlaganligi sababli, uni olib tashlash oddiygina ikkinchi operandning bitlarini teskari aylantirishni talab qiladi, deb bahslashish mumkin. The PDP-1, CDC 160 seriyali, CDC 3000 seriya, CDC 6000 seriyali, UNIVAC 1100 ketma-ketligi va LINC kompyuterlardan birini to'ldiruvchi vakili.

Ikkala qo'shimchani apparatda eng oson amalga oshirish mumkin, bu uning keng tarqalganligi uchun asosiy sabab bo'lishi mumkin.^[1] Dastlabki asosiy tizimdagi protsessorlar ko'pincha minglab tranzistorlardan iborat edi - tranzistorlarning katta qismini yo'q qilish katta xarajatlarni tejash edi. Kabi asosiy kadrlar IBM System / 360, GE-600 seriyali,^[2] va PDP-6 va PDP-10 kabi minikompyuterlar kabi ikkita qo'shimchadan foydalaning PDP-5 va PDP-8 va PDP-11 va VAX. Dastlabki integral mikrosxemalar protsessorlari (Intel 8080 va boshqalar) ikkitasini to'ldiruvchi matematikadan foydalanishni tanladi. IC texnologiyasi rivojlanib borishi bilan deyarli ikkitasi qo'shimcha texnologiyasini o'zlashtirdi. x86,^[3] m68k, Quvvat ISA,^[4] MIPS, SPARC, ARM, Itanium, PA-RISC va Alpha protsessorlar ikkalasi ham to'ldiruvchidir.

Imzolangan kattalik vakili

Ushbu tasvir "belgi-kattalik" yoki "belgi va kattalik" tasviri deb ham ataladi. Ushbu yondashuvda raqamning belgisi a bilan ifodalanadi ishora bit: buni sozlash bit (ko'pincha eng muhim bit ) ijobiy raqam yoki musbat nol uchun 0 ga, salbiy raqam yoki salbiy nolga 1 ga o'rnatiladi. Raqamdagi qolgan bitlar kattalikni bildiradi (yoki mutlaq qiymat ). Masalan, sakkiz bitli bayt, faqat etti bit kattalikni ifodalaydi, ular 0000000 (0) dan 1111111 (127) gacha bo'lishi mumkin. Shunday qilib -127 gacha bo'lgan raqamlar₁₀ +127 ga₁₀ belgi biti (sakkizinchi bit) qo'shilgandan keyin ifodalanishi mumkin. Masalan, −43₁₀ sakkiz bitli bayt bilan kodlangan 10101011 esa 43₁₀ bu 00101011. Imzolangan kattalikdagi vakolatxonadan foydalanish bir nechta oqibatlarga olib keladi, bu ularni amalga oshirishni yanada murakkablashtiradi:^[5]

Nolni ifodalashning ikkita usuli mavjud, 00000000 (0) va 10000000 (−0 ).
Qo'shish va ayirboshlash belgisi bitiga qarab har xil xatti-harakatlarni talab qiladi, aksincha birovning qo'shimchasi belgi bitini e'tiborsiz qoldirishi va shunchaki atrofga olib o'tishni amalga oshirishi mumkin, ikkinchisining qo'shimchasi belgi bitini e'tiborsiz qoldirishi va ortiqcha harakatga bog'liq bo'lishi mumkin.
Taqqoslash uchun belgining bitini tekshirishni talab qilish kerak, ikkinchisining qo'shimchasida ikkita raqamni olib tashlash va natijaning ijobiy yoki salbiy ekanligini tekshirish mumkin.
Ikkala komplektda eng kam manfiy son -128 o'rniga −127.

Ushbu yondashuv belgini ko'rsatishning odatiy usuli bilan to'g'ridan-to'g'ri taqqoslanadi (raqam kattaligi yoniga "+" yoki "-" qo'yish). Ba'zi dastlabki ikkilik kompyuterlar (masalan, IBM 7090 ) ushbu taqdimotdan foydalanish, ehtimol uning umumiy foydalanish bilan tabiiy aloqasi tufayli. Imzolangan kattalik - bu tasvirlashning eng keng tarqalgan usuli ahamiyatli va yilda suzuvchi nuqta qiymatlar.

Birovning to'ldiruvchisi

Sakkiz bitli qo'shimchalar
Ikkilik qiymat	Birgalarning kommentariy talqini	Imzosiz talqin
00000000	+0	0
00000001	1	1
⋮	⋮	⋮
01111101	125	125
01111110	126	126
01111111	127	127
10000000	−127	128
10000001	−126	129
10000010	−125	130
⋮	⋮	⋮
11111101	−2	253
11111110	−1	254
11111111	−0	255

Shu bilan bir qatorda, "to'ldiruvchi" deb nomlanuvchi tizim^[6] manfiy sonlarni ko'rsatish uchun ishlatilishi mumkin. Salbiy ikkilik sonning bir-birini to'ldiruvchi shakli bu bittadan emas unga nisbatan qo'llaniladi, ya'ni uning ijobiy hamkori "to'ldiruvchisi". Belgilar va kattaliklarni aks ettirish singari, bir-birini to'ldiruvchi 0: 00000000 (+0) va 11111111 (−0 ).^[7]

Misol tariqasida 00101011 (43.)₁₀) 11010100 (-43) ga aylanadi₁₀). Oralig'i imzolangan birliklarning to‘ldiruvchisidan foydalangan holda raqamlar −(2^N−1 − 1) ga (2^N−1 − 1) va ± 0. An'anaviy sakkiz bitli bayt -127₁₀ +127 ga₁₀ nol bilan 00000000 (+0) yoki 11111111 (-0) bo'ladi.

Ushbu tizimda ko'rsatilgan ikkita raqamni qo'shish uchun odatiy ikkilik qo'shimchani bajarish kerak, ammo keyin buni bajarish kerak atrofda olib yurish: ya'ni har qanday natijani qo'shing olib yurmoq olingan summani qaytarib oling.^[8] Buning nima uchun zarurligini bilish uchun +2 (00000010) ga −1 (11111110) qo'shilganligini ko'rsatuvchi quyidagi misolni ko'rib chiqing:

          ikkilik kasr 11111110 −1 + 00000010 +2 ─────────── ── 1 00000000 0 ← To'g'ri javob emas 1 +1 ← carry ── 00000001 yukni qo'shish 1 ← to'g'ri javob

Oldingi misolda birinchi binar qo'shimchada 00000000 berilgan, bu noto'g'ri. To'g'ri natija (00000001) faqat yuk tashish qo'shilganda paydo bo'ladi.

Terminologiya bo'yicha eslatma: Tizim "birliklarni to'ldiruvchi" deb nomlanadi, chunki inkor ijobiy qiymat x (sifatida ko'rsatilgan bittadan emas ning x) ayirish yo'li bilan ham hosil bo'lishi mumkin x nolni birlashtiruvchi qo'shimchasidan, ya'ni uzunlarning ketma-ketligi (-0). Ikkinchining to'ldiruvchi arifmetikasi esa inkorni hosil qiladi x ayirish orqali x ikkinchisining bitta katta kuchidan uyg'un +0 ga.^[9] Shuning uchun bir xil va ikkinchisining bir xil manfiy qiymatdagi komplementlari bittadan farq qiladi.

Shuni esda tutingki, ularning salbiy sonini to'ldiruvchi ko'rsatkichini kattalikni bittadan to'ldirish bilan ishora kattaligidan olish mumkin.

Ikkala qo'shimcha

Sakkiz-bit ikkitasini to'ldiruvchi
Ikkilik qiymat	Ikkala komplementning talqini	Imzosiz talqin
00000000	0	0
00000001	1	1
⋮	⋮	⋮
01111110	126	126
01111111	127	127
10000000	−128	128
10000001	−127	129
10000010	−126	130
⋮	⋮	⋮
11111110	−2	254
11111111	−1	255

0 ning bir nechta tasvirlari muammolari va ularga bo'lgan ehtiyoj atrofda olib yurish deb nomlangan tizim tomonidan chetlab o'tiladi ikkitasini to'ldiruvchi. Ikkala komplektda manfiy sonlar bit qiymatlari bilan ifodalanadi, ular ijobiy qiymatning qo'shimchalaridan kattaroq (imzosiz ma'noda).

Ikki qo'shimchada 00000000 sifatida ko'rsatilgan bitta bitta nol mavjud. Raqamni inkor qilish (manfiy yoki musbat) barcha bitlarni teskari aylantirish va so'ngra natijaga bittasini qo'shish orqali amalga oshiriladi.^[10] Bu aslida aks ettiradi uzuk barcha butun sonlar bo'yicha tuzilish modul 2^N: ${ displaystyle mathbb {Z} / 2 ^ {N} mathbb {Z}}$ . Ikkala komplektli juftlikning qo'shilishi, juftlikning qo'shilishi bilan bir xil imzosiz raqamlar (aniqlashdan tashqari toshib ketish, agar bu amalga oshirilsa); ayirboshlash uchun ham, hatto uchun ham xuddi shunday N mahsulotning eng past muhim bitlari (ko'paytirish qiymati). Masalan, 127 va -128 ikkitaning qo'shimchalari qo'shimchasi, 127 va 128 raqamlarining imzosiz qo'shimchalari bilan bir xil ikkilik bit naqshini beradi, buni 8 bitli ikkalasining to'ldiruvchi jadvalidan ko'rish mumkin.

Ikkala qo'shimchadagi sonning inkorini olishning oson usuli quyidagicha:

	1-misol	2-misol
1. O'ngdan boshlab birinchi "1" ni toping	00101001	00101100
2. Bitning hammasini shu "1" ning chap tomoniga aylantiring	11010111	11010100

Ikkinchi usul:

Barcha bitlarni raqam orqali aylantiring
Bittasini qo'shing

Misol: +2 uchun, ikkilikda 00000010 (~ belgisi bu C bittadan emas operatori, shuning uchun ~ X "Xdagi barcha bitlarni teskari aylantirish" degan ma'noni anglatadi):

~00000010 → 11111101
11111101 + 1 → 11111110 (-2 ikkitaning qo'shimcha qismida)

Ikkilik ofset

Sakkiz bitli ortiqcha-128
Ikkilik qiymat	Ortiqcha-128 talqin	Imzosiz talqin
00000000	−128	0
00000001	−127	1
⋮	⋮	⋮
01111111	−1	127
10000000	0	128
10000001	1	129
⋮	⋮	⋮
11111111	+127	255

Ikkilik ofset ortiqcha deb ham ataladiK yoki noaniq vakillik, oldindan belgilangan raqamdan foydalanadi K tarafkashlik qiymati sifatida. Qiymat imzolanmagan raqam bilan ifodalanadi K mo'ljallangan qiymatdan katta. Shunday qilib 0 bilan ifodalanadi Kva -K barcha nol bit naqsh bilan ifodalanadi. Buni yuqorida aytib o'tilgan ikkita qo'shimchani biroz o'zgartirish va umumlashtirish sifatida ko'rish mumkin, bu deyarli ortiqcha - (2^N−1) bilan vakillik bekor qilindi eng muhim bit.

Ikkilangan vakolatxonalar endi asosan eksponent uchun ishlatiladi suzuvchi nuqta raqamlar. The IEEE 754 suzuvchi nuqta standarti a ning eksponent maydonini belgilaydi bitta aniqlik (32-bit) raqam 8-bit sifatida ortiqcha-127 maydon. The ikki aniqlik (64-bit) daraja maydoni 11-bit ortiqcha-1023 maydon; qarang eksponent tarafkashligi. Ikkilangan kodli o'nlik sonlar uchun ham ishlatilgan ortiqcha-3.

−2 asos

An'anaviy ikkilik sanoq tizimlarida asos, yoki radix, 2 ga teng; shuning uchun eng o'ngdagi bit 2 ni bildiradi⁰, keyingi bit 2 ni ifodalaydi¹, keyingi bit 2², va hokazo. Shu bilan birga, bazasi inary2 bo'lgan ikkilik sanoq tizimi ham mumkin, o'ng tomondagi bit aks ettiradi (−2)⁰ = +1, keyingi bit ifodalaydi (−2)¹ = −2, keyingi bit (−2)² = +4 va boshqalar, o'zgaruvchan belgisi bilan. To'rt bit bilan ifodalanadigan raqamlar quyidagi taqqoslash jadvalida ko'rsatilgan.

Taqdim etilishi mumkin bo'lgan raqamlar diapazoni assimetrikdir. Agar so'z bit soniga ega bo'lsa, ifodalanishi mumkin bo'lgan eng katta manfiy sonning kattaligi ifodalanishi mumkin bo'lgan eng katta musbat sondan ikki baravar katta, aksincha, agar so'z bit songa ega bo'lsa.

Taqqoslash jadvali

Quyidagi jadvalda to'rtta bit yordamida ifodalanadigan musbat va manfiy tamsayılar ko'rsatilgan.

To'rt bitli tamsayılar
O'nli	Imzo qo'yilmagan	Imzo va kattalik	Birovning to'ldiruvchisi	Ikkala qo'shimcha	Ortiqcha 8 (bir tomonlama)	−2 asos
+16	Yo'q	Yo'q	Yo'q	Yo'q	Yo'q	Yo'q
+15	1111	Yo'q	Yo'q	Yo'q	Yo'q	Yo'q
+14	1110	Yo'q	Yo'q	Yo'q	Yo'q	Yo'q
+13	1101	Yo'q	Yo'q	Yo'q	Yo'q	Yo'q
+12	1100	Yo'q	Yo'q	Yo'q	Yo'q	Yo'q
+11	1011	Yo'q	Yo'q	Yo'q	Yo'q	Yo'q
+10	1010	Yo'q	Yo'q	Yo'q	Yo'q	Yo'q
+9	1001	Yo'q	Yo'q	Yo'q	Yo'q	Yo'q
+8	1000	Yo'q	Yo'q	Yo'q	Yo'q	Yo'q
+7	0111	0111	0111	0111	1111	Yo'q
+6	0110	0110	0110	0110	1110	Yo'q
+5	0101	0101	0101	0101	1101	0101
+4	0100	0100	0100	0100	1100	0100
+3	0011	0011	0011	0011	1011	0111
+2	0010	0010	0010	0010	1010	0110
+1	0001	0001	0001	0001	1001	0001
+0	0000	0000	0000	0000	1000	0000
−0	0000	1000	1111	0000	1000	0000
−1	Yo'q	1001	1110	1111	0111	0011
−2	Yo'q	1010	1101	1110	0110	0010
−3	Yo'q	1011	1100	1101	0101	1101
−4	Yo'q	1100	1011	1100	0100	1100
−5	Yo'q	1101	1010	1011	0011	1111
−6	Yo'q	1110	1001	1010	0010	1110
−7	Yo'q	1111	1000	1001	0001	1001
−8	Yo'q	Yo'q	Yo'q	1000	0000	1000
−9	Yo'q	Yo'q	Yo'q	Yo'q	Yo'q	1011
−10	Yo'q	Yo'q	Yo'q	Yo'q	Yo'q	1010
−11	Yo'q	Yo'q	Yo'q	Yo'q	Yo'q	Yo'q

Xuddi shu jadval, "ushbu ikkilik bitlarni hisobga olgan holda, vakillik tizimi tomonidan talqin qilingan raqam qancha":

Ikkilik	Imzo qo'yilmagan	Imzo va kattalik	Birovning to'ldiruvchisi	Ikkala qo'shimcha	Ortiqcha-8	−2 asos
0000	0	0	0	0	−8	0
0001	1	1	1	1	−7	1
0010	2	2	2	2	−6	−2
0011	3	3	3	3	−5	−1
0100	4	4	4	4	−4	4
0101	5	5	5	5	−3	5
0110	6	6	6	6	−2	2
0111	7	7	7	7	−1	3
1000	8	−0	−7	−8	0	−8
1001	9	−1	−6	−7	1	−7
1010	10	−2	−5	−6	2	−10
1011	11	−3	−4	−5	3	−9
1100	12	−4	−3	−4	4	−4
1101	13	−5	−2	−3	5	−3
1110	14	−6	−1	−2	6	−6
1111	15	−7	−0	−1	7	−5

Boshqa tizimlar

Google-ning Protokol buferlari "zig-zag kodlash" - bu belgi va kattalikka o'xshash tizim, ammo kamida muhim bit belgisini ifodalash uchun va nolning bitta tasviriga ega. Bu esa o'zgaruvchan uzunlik miqdori imzo qo'yilgan tamsayılar uchun samarali foydalanish uchun salbiy bo'lmagan (imzosiz) tamsayılar uchun mo'ljallangan kodlash.^[11]

Yana bir yondashuv - har birini berishdir raqam hosil qiluvchi belgi raqamli imzo. Masalan, 1726 yilda, Jon Kolson iboralarni "kichik raqamlar" ga, 1, 2, 3, 4 va 5 raqamlariga kamaytirishni qo'llab-quvvatladi. 1840 yilda, Augustin Koshi hisoblashdagi xatolarni kamaytirish uchun bunday o'zgartirilgan o'nlik raqamlarga ustunlik bildirdi.

Shuningdek qarang

Adabiyotlar

^ Xu, Xunsoo; Muhammad, K .; Roy, K. (2003 yil fevral). "Ikkala komplektli hisoblash almashish multiplikatori va uning dasturlari yuqori samaradorlikka ega DFE". Signalni qayta ishlash bo'yicha IEEE operatsiyalari. 51 (2): 458–469. doi:10.1109 / TSP.2002.806984.
^ GE-625/635 dasturlash bo'yicha qo'llanma. General Electric. 1966 yil yanvar. Olingan 15 avgust, 2013.
^ Intel 64 va IA-32 Architectures Software Developer qo'llanmasi (PDF). Intel. 4.2.1-bo'lim. Olingan 6 avgust, 2013.
^ Power ISA 2.07 versiyasi. Power.org. 1.4-bo'lim. Olingan 6 avgust, 2013.,
^ Bekon, Jeyson V. (2010-2011). "Informatika 315 ma'ruza matnlari". Olingan 21 fevral 2020.
^ AQSh 4484301, 1981-03-10 yillarda chiqarilgan "Biror komplement formatida ishlaydigan massiv multiplikatori"
^ AQSh 6760440, 1999-12-11 yillarda chiqarilgan "Biror kishining komplementi kriptografik kombinatori"
^ Shedletskiy, Jon J. (1977). "Atrofdagi transport vositasining ketma-ketligi va noaniq xatti-harakatlari to'g'risida sharh" (PDF). Kompyuterlarda IEEE operatsiyalari. 26 (3): 271–272. doi:10.1109 / TC.1977.1674817.
^ Donald Knut: Kompyuter dasturlash san'ati, 2-jild: Seminumerical algoritmlar, 4.1-bob
^ Tomas Finli (2000 yil aprel). "Ikki qo'shimchani". Kornell universiteti. Olingan 15 sentyabr 2015.
^ Protokol buferlari: imzolangan tamsayılar

Ivan Flores, Kompyuter arifmetikasi mantiqi, Prentice-Hall (1963)
Isroil Koren, Kompyuter arifmetik algoritmlari, A.K. Piters (2002), ISBN 1-56881-160-8

[1] Xu, Xunsoo; Muhammad, K .; Roy, K. (2003 yil fevral). "Ikkala komplektli hisoblash almashish multiplikatori va uning dasturlari yuqori samaradorlikka ega DFE". Signalni qayta ishlash bo'yicha IEEE operatsiyalari. 51 (2): 458–469. doi:10.1109 / TSP.2002.806984.

[2] GE-625/635 dasturlash bo'yicha qo'llanma. General Electric. 1966 yil yanvar. Olingan 15 avgust, 2013.

[3] Intel 64 va IA-32 Architectures Software Developer qo'llanmasi (PDF). Intel. 4.2.1-bo'lim. Olingan 6 avgust, 2013.

[4] Power ISA 2.07 versiyasi. Power.org. 1.4-bo'lim. Olingan 6 avgust, 2013.,

[cs315-5] Bekon, Jeyson V. (2010-2011). "Informatika 315 ma'ruza matnlari". Olingan 21 fevral 2020.

[6] AQSh 4484301, 1981-03-10 yillarda chiqarilgan "Biror komplement formatida ishlaydigan massiv multiplikatori"

[7] AQSh 6760440, 1999-12-11 yillarda chiqarilgan "Biror kishining komplementi kriptografik kombinatori"

[8] Shedletskiy, Jon J. (1977). "Atrofdagi transport vositasining ketma-ketligi va noaniq xatti-harakatlari to'g'risida sharh" (PDF). Kompyuterlarda IEEE operatsiyalari. 26 (3): 271–272. doi:10.1109 / TC.1977.1674817.

[9] Donald Knut: Kompyuter dasturlash san'ati, 2-jild: Seminumerical algoritmlar, 4.1-bob

[10] Tomas Finli (2000 yil aprel). "Ikki qo'shimchani". Kornell universiteti. Olingan 15 sentyabr 2015.

[11] Protokol buferlari: imzolangan tamsayılar

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]