Strähle qurilishi - Strähle construction

Daniel P. Stråhlening 1743 yildagi "Nytt Påfund, at finna Temperaturen i stämningen" maqolasidan birinchi sahifa

Strähle qurilishi a geometrik qatorlari uchun uzunliklarni aniqlash usuli tebranuvchi simlar tovush uchun bir xil diametr va taranglik bilan maydonchalar aniq bir oqilona temperli musiqiy sozlash. Birinchi marta 1743 yilda nashr etilgan Ish yuritish Shvetsiya Qirollik Fanlar akademiyasi shved ustasi tomonidan organ ishlab chiqaruvchi Daniel Stråhle (1700–1746). Akademiya kotibi Jeykob Fagot maqolaga noto'g'ri hisoblangan maydonchalar to'plamini qo'shdi va bu raqamlar takrorlandi Fridrix Vilgelm Marpurg yilda Versuch über vafot etgan musikalische Temperatur 1776 yilda. Taxminan 1800 yilda nashr etilgan bir nechta nemis darsliklarida bu xato birinchi marta 1779 yilda Kristlib Benedikt Funk tomonidan aniqlanganligi haqida xabar berilgan edi, ammo qurilishning o'zi nazariy oluvchini sozlash paytida yigirmanchi asrning o'rtalariga qadar juda kam xabar olgan. J. Murray Barbour uni taxmin qilish uchun yaxshi usul sifatida taqdim etdi teng temperament va shunga o'xshash kichik ildizlarning eksponentlari va uning asosidagi matematik tamoyillarni umumlashtirdi.

U matematiklarning maqolalari orqali tez-tez uchib turadigan musiqiy asboblarni yaratish uchun asbob sifatida tanilgan Yan Styuart va Isaak Jeykob Shoenberg, va ular tomonidan o'qimagan usta tomonidan ishlab chiqilgan noyob va ajoyib nafis echim sifatida maqtovga sazovor.

So'nggi ingliz tilidagi asarlarda ishlatilgan "Strähle" nomi Marpurg matnidagi transkripsiya xatosi bilan bog'liq bo'lib, u erda eskirgan diakritik "e" ko'tarilgan uzuk bilan almashtirilgan.^[1]

Fon

Daniel P. Stråhle o'n sakkizinchi asrning ikkinchi choragida Shvetsiya markazida organ quruvchi sifatida faoliyat yuritgan. U muhim Stokgolm organ quruvchisi Yoxan Nikolas Kaxmanning sayohatchisi bo'lib ishlagan va 1741 yilda, Cahman vafotidan to'rt yil o'tgach, Stråhlega organ ishlab chiqarish bo'yicha imtiyoz berilgan. O'sha paytda Shvetsiyada amal qilgan tizimga ko'ra imtiyoz, har bir musiqa asboblarini ishlab chiqaruvchilarning atigi bir nechtasi egallagan monopoliya, unga organlar qurish va ta'mirlash uchun qonuniy huquq berdi. ishchilarni o'qitish va imtihondan o'tkazish, shuningdek, ishlab chiqaruvchining ishi va ta'limi sifati kafolati bo'lib xizmat qildi.^[2] Uning 1743 yildagi organi asl ibodatxonada ibodatxonada saqlanib qolgan Stromsholm saroyi;^[3] u ham qilgani ma'lum klavixordlar, va u tomonidan imzolangan va 1738 yildagi g'ayrioddiy torli shkalasi va konstruktsiyasi bilan ajralib turadigan misol Stokgolm musiqa muzeyi.^[4] Uning shogirdlari orasida jiyani Petter Stråhle va Jonas Gren, taniqli Stokgolm organlari ishlab chiqaruvchilari Gren & Stråhle,^[5] va ko'ra Ibrohim Abrahamsson Xyulfers uning kitobida Tarixiy musiqa va musiqa asboblari 1773 yilda nashr etilgan, Stråhlning o'zi mexanikada o'qigan (matematikani o'z ichiga olgan deb taxmin qilingan)^[6]) Shved Fanlar akademiyasining asoschisi a'zosi bilan Kristofer Polhem.^[7] U 1746 yilda shimoliy Upplanddagi Lovstabrukda vafot etdi.

Stråhle o'zining konstruktsiyasini "yangi ixtiro, deb aniqlash uchun Temperament sozlashda, klavixord va shu kabi asboblar maydonlari uchun "yangi tanilgan olimlar va akademiya a'zolari Polhemning maqolalarini o'z ichiga olgan yangi tashkil etilgan Shvetsiya Fanlar akademiyasining ishlarining to'rtinchi jildida chiqqan maqolada, Karl Linney, Karl Fredrik Mennander, Augustin Ehrensvärd va Samuel Klingenstierna. Organolog Eva Heleniusning so'zlariga ko'ra, musiqa sozlamalari 1740 yillarda akademiyada qizg'in munozaralarga sabab bo'lgan,^[8] Stråhlening o'zi a'zo bo'lmagan bo'lsa ham, u akademiya tomonidan nashr etilgan amaliy musiqiy mavzudagi uchinchi maqola edi - dastlabki ikkitasi havaskor musiqa asboblari ishlab chiqaruvchisi, vazir va akademiya a'zosi Nils Brelin tomonidan nashr etilgan.^[9] klaviatura va klavichordalar uchun qo'llaniladigan ixtirolar.^[10]

Stråhl o'z maqolasida mo''tadillikdagi iplar uzunligini o'lchash vositasini yaratish maqsadida "ba'zi fikrlar va juda ko'p urinishlar bilan" usulni ishlab chiqqanligini yozgan ("sväfningar ") quloq uchun eng yumshoq, shuningdek maydonchalarning eng foydali va bir tekis joylashishini o'z ichiga oladi. Uning ko'rsatmalari o'sha davrda nashr etilgan taniqli sozlamalarga o'xshash bir qator temperaturali intervallarni bilan tartibsiz sozlashni keltirib chiqaradi, ammo u tuning o'zi haqida qo'shimcha izoh va tavsif bermadi; bugungi kunda bu odatda taxminan deb hisoblanadi teng temperament.^[11] Shuningdek, u o'zining konstruktsiyasining hisob-kitoblarsiz yoki o'lchovsiz aniq va takrorlanadigan natijalarga olib kelishi mumkin bo'lgan biron bir afzalliklari haqida batafsil ma'lumot bermadi; u konstruktsiyani atigi besh bosqichda tasvirlab berdi va bu tasvirlangan arifmetik usullardan kamroq iterativ Dom Bédos de Celles organ trubasining uzunligini faqat intonatsiyada aniqlash usuli yoki Vinchenzo Galiley taxminiy teng temperamentdagi chiziqli burilish holatini va tasvirlangan geometrik usullarni aniqlash uchun Gioseffo Zarlino va Marin Mersenne - bularning barchasi Stråhlnikiga qaraganda ancha yaxshi ma'lum. Stråhl tizimni klavixordga tatbiq etganini aytib, xulosa qildi, garchi tuning va shuningdek, uzunlik to'plamini aniqlash usuli ko'plab boshqa musiqa asboblari uchun ishlatilishi mumkin bo'lsa-da, lekin uning ko'proq ishlatilganligini ko'rsatadigan dalillar juda oz. maqolada tasvirlangan va bugungi kunda qaerda ekanligi noma'lum bo'lgan ikkita misoldan tashqari keng tarqalgan amaliyot.

Qurilish

Stråhle avval chiziq segmentini chizishni buyurdi QR o'n ikki teng qismga bo'linadigan qulay uzunlikdagi nuqtalar bilan I dan XIII gacha. QR keyinchalik yon tomonlari bilan teng yonli uchburchakning asosi sifatida ishlatiladi OQ va Yoki nisbatan ikki baravar ko'p QRva tepalikdan olingan nurlar O bazadagi raqamlangan nuqtalarning har biri orqali. Nihoyat tepadan chiziq chiziladi R nuqta orqali burchak ostida P uchburchakning qarama-qarshi oyoq qismida etti birlik Q bir nuqtaga M, masofadan ikki baravar uzoqlikda joylashgan R kabi P. Uzunligi JANOB eng past tovush balandligining uzunligini va uzunligini beradi Deputat qurilish natijasida hosil bo'lgan tor uzunliklarining eng yuqori darajasi va ular orasidagi tovush uzunliklari masofalar bilan belgilanadi M ning chorrahalariga JANOB chiziqlar bilan Ey men orqali O XII, 1 dan 12 gacha belgilangan nuqtalarda.

Stråhle bu chiziqni nomlaganligini yozdi PR Helenius ta'kidlagan "Linea Musica" Polhem atamasi, hozirda Linköping Stifts-och Landsbibliotekda joylashgan, ammo sanasi aniqlanmagan, ammo oldinroq bo'lgan qo'lyozmada ishlatilgan va unga kompozitor va geometr Xarald Vallerius (1646–1716) va Stråhlening sobiq ish beruvchisi yozuvlari qo'shilgan. JN Kaxman.^[8]

Stråhle parallel ravishda chiziq segmentlarini ham ko'rsatdi JANOB ochkolar orqali NHS, LYTva KZV Qurilishni qanday qilib bir marta yaratilganligini turli xil boshlang'ich maydonlarini joylashtirish uchun o'lchamlarini ko'rsatish uchun.

Stråhl maqolaning oxirida klavikordning eng yuqori uch oktavasida torli o'lchovni amalga oshirganligini aytdi, ammo bu bo'lim u yozgan monoxord singari teng kuchlanish ostida bir xil o'lchamli sim bilan o'ralgan bo'ladimi yoki yo'qmi aniq emas. u o'xshash edi va kimning qurilishini u batafsilroq tasvirlab berdi. U faqat uni sozlashni bilvosita usulini tasvirlab berdi, shu bilan birga avval uning torlari bir ovozdan sozlangan klavishli o'n uchta simli monoxorddagi mos keladigan uzunliklarni harakatlanuvchi ko'priklarga o'tkazish orqali mos yozuvlar maydonchalarini o'rnatishni talab qildi.^a

Faggotning raqamli tasviri

Stråhle-dan keyingi maqola unga matematik ishlov berish edi Jeykob Fagot (1699–1777), o'sha paytda Fanlar akademiyasining kotibi va o'lchov bo'linmasining bo'lajak direktori, u xuddi shu jildda boshoq uchun vazn o'lchovi va bochkalarning hajmini hisoblash usullari haqida maqolalar qo'shgan. Fagot Akademiyaning birinchi a'zolaridan biri bo'lgan, shuningdek og'irlik va o'lchovlar bo'yicha maxsus komissiyaning a'zosi bo'lgan.^[12] U aftidan musiqachi emas edi, garchi Helenius musiqiy mavzularga matematik nuqtai nazardan qiziqishini aytib o'tgan bo'lsa-da, u Akademiya orqali vaqti-vaqti bilan musiqa asboblari ishlab chiqaruvchilar bilan aloqada bo'lganligini hujjatlashtirgan.^[13] Helenius, shuningdek, Fagot Shvetsiyada musiqiy asboblar qurilishiga bilvosita va o'limidan keyin ta'sir ko'rsatgan bo'lsa, u 1756 yilda Yoxan Broman tomonidan qurilgan ikkita eksperimental asbobda ishlatilgan uzun tenor torlarini taklif qilgan bo'lishi mumkin, deb da'vo qilgan. XVIII asr oxiri va XIX asr boshlarida Shvetsiyada qurilgan klavixord turiga ta'sir ko'rsatdi.^[14]

Straglening maqolasini tahlil qilishda Fagot, Stråhle usuli bilan ishlab chiqarilgan yangi sozlamani taqqoslash uchun sof uchdan, to'rtinchi va beshinchi qismlarga ega bo'lgan tuning bilan taqqoslash uchun individual balandliklarning uzunliklarini hisoblash uchun ishlatgan trigonometrik qadamlarni belgilab berdi (etiketli " N.1. "Jadvalda) va teng temperament, uni faqat" keksa temperament "deb atagan va [u] Misteson janoblari Critica Musica"(" N.2. "), U ilgari tavsiflangan ixtiroga binoan maydonlarni sozlash quloqni yoqimli tovushlar bilan va bir tekislikda yaxshilab qondiradimi yoki yo'qligini ko'rsatishni maqsad qilgan. Musiqiy klaviatura cholg'usini chaladi va shuning uchun tushunishni yaxshiroq o'rganishga o'rgatish, eski va ilgari ma'lum bo'lgan sozlash uslubiga qaraganda yaxshiroq baho berishga imkon beradi. ^b

Ikkala maqola ham Akademiyaning 1751 yilda nashr etilgan Germaniya nashrida nashr etilgan,^[16] va Faggotning hisoblangan mag'lubiyat uzunliklari jadvali keyinchalik tomonidan kiritilgan Marpurg uning 1776 yilida Versuch über vafot etgan musikalische Temperatur,^[1] u ularning aniqligini qabul qilganini, ammo "Strähle" ning belgilangan maqsadini bajarish o'rniga, "hatto toqat qilinadigan turdagi" teng bo'lmagan temperamentni ifodalaganligini yozgan.^[1]

Fagot tomonidan hisoblangan tovush uzunliklari Stråhlening ko'rsatmalariga binoan ishlab chiqarilganidan ancha farq qiladi, bu haqiqat birinchi marta nashr etilgan. Christlieb Benedict Funk yilda Sono va Tono dissertatsiyasi 1779 yilda,^[17] va u yaratgan sozlama g'arbiy badiiy musiqada an'anaviy ravishda qo'llaniladigan intervaldan tashqarida sozlangan intervallarni o'z ichiga oladi. Funk ushbu kelishmovchilikni kuzatgan deb hisoblanadi Geler "s Wörterbuch fizikasi 1791 yilda,^[18] va Fisherning Wörterbuch fizikasi 1804 yilda,^[19] va xato ko'rsatildi Ernst Chladni yilda Akustik o'l 1830 yilda.^[20] Xuddi shu davrda Shvetsiyada shunga o'xshash sharhlar e'lon qilinmagan ko'rinadi.

Ushbu asarlarda Faggotning xatosi, logaritmik jadvallar sinuslari o'rniga teginishdan olingan qiymatdan foydalanilganligi haqida xabar berilgan. Xato o'zi burchakni yasashdan iborat edi RP taxminan etti daraja juda katta, bu esa samarali uzunlikni keltirib chiqardi QP 8.605 ga oshirish. Bu temperamentning xatolarini u bilan birga taqdim etgan sozlamalar bilan taqqoslaganda haddan tashqari oshirib yubordi, ammo Fagot ushbu aniq nuqsonlarni kuzatganmi yoki yo'qmi, aniq emas, chunki u Stråhlening tuzilishi yoki temperamenti haqida maqolada boshqa izoh bermadi.

Tuning

Stråhlening ko'rsatmalariga binoan ishlab chiqarilgan tuning - bu beshdan 696 dan 704 tsentgacha bo'lgan oqilona temperament bo'lib, bu bir santimetrdan yassi. nazarda tutilgan beshdan ikki tsentgacha keskin faqat 3: 2; katta uchlik oralig'i 396 tsentdan 404 tsentgacha yoki o'n tsentning atigi 5/4 dan uch tsentga teng. Pifagoriya 81/64. Ushbu intervallar maqbul deb hisoblangan narsalarga to'g'ri keladi, ammo o'n ettinchi va o'n sakkizinchi asrlarda nashr etilgan eng mashhur tuninglarni tavsiflovchi tez-tez ishlatiladigan kalitlarga uchdan biriga taqsimot mavjud emas. yaxshi temperamentlar. Eng yaxshi beshinchisi F♯ kalitida yoki uning balandligida toza MB- 398 foiz uchdan biriga ega bo'lgan va eng yaxshi uchdan biri 697 foiz beshinchi qismga ega bo'lgan E kalitida; ikki intervalning eng yaxshi kombinatsiyasi F kalitida, eng yomon kombinatsiya esa B ♭ tugmachasida.

Barburning algebraik tasviri va geometrik qurilishi

J. Murray Barbour 20-asrda Faggotning muomalasi bilan bir qatorda Stråhlening qurilishiga yangi e'tibor qaratdi. Marpurg kontekstida taqdim etilgan bo'lib, u 1951 yilgi kitobiga tor uzunligini aniqlashning eng mashhur usullari bilan bir qatorda uning umumiy ko'rinishini ham qo'shdi. Tuning va Temperament bu erda u sozlashni "teng temperament uchun yaqinlashish" sifatida tavsifladi. Shuningdek, u Stråhle konstruktsiyasining uslubning taqdim etishi mumkin bo'lgan eng yaxshi taxminiy darajaga qanchalik yaqinligini namoyish etdi, bu katta uchdan beshinchi qismdagi maksimal xatolarni taxminan yarim foizga kamaytiradi va 7.028 uzunligini almashtirish bilan amalga oshiriladi. QP.

Barbour olti yildan so'ng nashr etilgan "Raqamlar ildizlariga geometrik yaqinlashish" da qurilishning to'liq tahlilini taqdim etdi. Amerika matematik oyligi.^[21] U Faggot xatosi va uning oqibatlarini ko'rib chiqdi, so'ngra Stråhlening konstruktsiyasini algebraik usulda ishlatdi o'xshash uchburchaklar. Bu umumlashtirilgan shaklni oladi

${ displaystyle N ^ {m} doteq { frac {OA + BA + (OA-3BA) times {m}} {OA + BA-2BA times {m}}}}$

Stråhle ko'rsatmalaridagi qiymatlardan foydalanib, shunday bo'ladi

${ displaystyle { frac {24 + 10m} {24-7m}}}$

Ruxsat berish ${ displaystyle scriptstyle OA-BA = 1}$ Shuning uchun; ... uchun; ... natijasida ${ displaystyle scriptstyle OA + BA = { sqrt {N}}}$ hisoblash uchun foydaliroq bo'lgan birinchi formulaning shakliga olib keladi

${ displaystyle N ^ {m} doteq { frac {Nm + { sqrt {N}} (1-m)} {m + { sqrt {N}} (1-m)}}}$

Barburning usuli

Barbour (qizil) va Shoenberg (ko'k) usullari

Keyin Barbour osonlikcha olingan usuldan foydalangan holda umumlashtirilgan qurilishni tasvirlab berdi mutanosib degani uzunligi uchun MB bu asl nusxada talab qilinadigan aniq burchak va uzunliklarning aksariyat qismidan qochadi. Musiqiy dasturlar uchun u sodda va uning natijalari Stråhlenikiga qaraganda bir oz ko'proq bir xil bo'lib, u kerakli tor uzunliklarini qo'shimcha miqyossiz ishlab chiqarishning afzalliklariga ega.

U avval chiziq chizishni buyurdi JANOB bilan ikkala sonning kattasiga mos keladi Deputat kichikroq va ularning o'rtacha mutanosibligini at MB. Bo'limlarni olib boradigan chiziq chizilgan R har qanday keskin burchak ostida JANOBva unga perpendikulyar ravishda chiziq chiziladi B, bo'linadigan chiziqni kesib o'tadi Ava RA ga kengaytirilgan Q shu kabi RA=AQ. Chiziq chizilgan Q orqali P, orqali chiziqni kesib o'tadi BA da Ova chiziq chizilgan O ga R. Qurilish bo'linish bilan yakunlanadi QR va nurlarni chizish O bo'linmalarning har biri orqali.

Barbur umumlashgan konstruktsiya natijasida turli xil ildizlarning eksponentlarini taxmin qilishda foydalanilgan xatolar sxemasi va kattaligi haqida bahs yuritib, uning usuli "sodda va kichik sonlar uchun juda yaxshi ishlaydi", deb ta'kidladi. 1 dan 2 gacha bo'lgan ildizlar uchun xato 0,13% dan kam - taxminan 2 sent N= 2— maksimal atrofida m= 0,21 va m= 0.79. Xatolar egri chizig'i taxminan sinusoidal ko'rinadi va shu qatorda N uchun egri chiziqni o'rnatib, taxminan 99% ga yaqinlashtirilishi mumkin N=1, ${ displaystyle f (m) = m (1-m) (1-2m)}$. Barbor bu usulni noo'rin deb hisoblagan kattaroq ildizlar uchun xato tez o'sib boradi; xato egri chizig'i shaklga o'xshaydi ${ displaystyle scriptstyle f (x) = x (1-x ^ {2a})}$ Maksima yaqinlashganda m= 0 va m= 1 sifatida N ortadi.

Schoenbergning Barbour usullarini takomillashtirishlari

Gazeta hakami tomonidan qo'shilgan ikkita yozuv bilan nashr etildi, Isaak Jeykob Shoenberg. U Barbur tomonidan olingan formulani fraksiyonel chiziqli transformatsiya ekanligini va shuning uchun uni istiqbolga chaqirganligini va ikki chiziqdagi uch juft mos nuqtadan beri Barburning shartli ravishda proektsion yozishmalarini aniqlaganligini kuzatdi. OA ga perpendikulyar bo'ling QR ahamiyatsiz edi. Ushbu bosqichning o'tkazib yuborilishi uzunlikni yanada qulay tanlashga imkon beradi QR, va operatsiyalar sonini kamaytiradi.

Shoenberg, shuningdek, Barburning tenglamasini uchta nuqta orqali eksponensial egri chiziqning interpolatsiyasi sifatida ko'rish mumkinligini ta'kidladi. m=0, m= 1/2 va m= 1, u uni "Gitarada Fretsning joylashuvi to'g'risida" nomli qisqa maqolasida kengaytirdi. Amerika matematik oyligi 1976 yilda.^[22] Ushbu maqola Stråhle-dan maqsadli foydalanish haqida qisqacha munozara bilan yakunlandi ${ displaystyle scriptstyle { frac {41} {29}}}$ ning yaqinlashuvchilardan biri bo'lgan yarim oktava uchun fraksiya kengayishini davom ettirish ning ${ displaystyle scriptstyle { sqrt {2}}}$va maxrajning kattaligi uchun uning eng yaxshi oqilona yaqinlashuvi.

Styuart va davomli fraksiyalar

Ning kasrli yaqinlashuvlaridan foydalanish ${ displaystyle scriptstyle { sqrt {2}}}$ Stråhlning qurilishida Yan Styuart tomonidan kengaytirilgan bo'lib, u 1992 yilgi kitobida "Yaxshi temperli kalkulyator" da bu haqda yozgan. Siz meni tanishtirgan yana bir nozik matematik ... ^[23] shuningdek, "Faggot's Fretful Fiasco" ga kiritilgan Musiqa va matematika Styuart qurilishni proektiv geometriya nuqtai nazaridan ko'rib chiqdi va Barbour bilan bir xil formulalarni boshidanoq shaklning kesirli chiziqli funktsiyasi sifatida ko'rib chiqdi ${ displaystyle scriptstyle y = { frac {(ax + b)} {(cx + d)}}}$, va u taxminan uchun ekanligini ta'kidladi ${ displaystyle scriptstyle { sqrt {2}}}$ qurilishda yashirin ${ displaystyle scriptstyle { frac {17} {12}}}$, u ishlab chiqaradigan yarim oktavadan keyingi pastki konvergent. Bu funktsiyani soddalashtirish natijasidir ${ displaystyle scriptstyle { frac {p + 2q} {p + q}}}$ uchun m= 0,5 qaerda ${ displaystyle scriptstyle { frac {p} {q}}}$ ishlab chiqaruvchi taxminiy hisoblanadi.

Shunga o'xshash usullar musiqa asboblarida qo'llaniladi

Kützing qurilishi (qora rangda) va Volfenden qurilishining bir qismi (qizil rangda 51,5 ° va ko'kda 35:13)

Broadwood & Sons tomonidan nashr etilgan diagramma, 1862 yil

Barbour tomonidan tuzilgan monoxordlarni ajratish uchun geometrik va arifmetik usullar, shuningdek musiqiy asboblar fretboards, har biri turli xil sozlamalarni aks ettirish yoki bildirishni maqsad qilgan va Shoenberg va Styuart asarlari shu kabi diqqat va havolalarni saqlab qolishgan. Ular tarkibiga kiritilmagan fortepiano binosi bo'yicha uchta darslikda yangi asboblarni loyihalash uchun Stråhle-ga o'xshash konstruktsiyalar ko'rsatilgan, ammo ularning pog'onalarini sozlash mustaqil ravishda amalga oshiriladi; har ikkala konstruksiyada ham Shonbergning Barburning "Raqamlar ildizlariga geometrik yaqinlashish" asaridagi kuzatuvi bo'yicha perpendikulyar bo'lmagan shakl qo'llaniladi va biri optimal natijalarga erishadi, ikkinchisi esa 2 dan boshqa ildizi bo'lgan dasturni namoyish etadi.

Kützing

XIX asrning o'rtalarida Bernda organ va pianino ishlab chiqaruvchi Karl Kutzing pianino dizayni bo'yicha birinchi kitobida shunday yozgan: Theoretisch-praktisches Handbuch der Fortepiano-Baukunst 1833 yildan boshlab, u Marpurg sonida tasvirlangan turli geometrik konstruktsiyalarni o'qib chiqib, oktavadagi tovush uzunligini aniqlashning oddiy usulini o'ylab topdi. Historisch-kritischen Beitragen zur Aufnahme der Musik; u bo'linishlar juda to'g'ri bo'lishini va qurilishdan gitara chalg'itish uchun foydalanish mumkinligini aytdi.

Kützing qurilishni katta hajmdagi tavsifdan so'ng taqdim etdi sektor xuddi shu maqsadda amalga oshirilishi kerak. U ikkala usulni ham kiritmagan Das Wissenschaftliche der Fortepiano-Baukunst o'n bir yil o'tgach nashr etildi, u erda oktav uzunliklari orasidagi 18:35 nisbatlarini ishlatib uzunliklarni hisoblab chiqdi va keskinlikning sakrashidan tonal tafovutlarni kamaytirish maqsadida uzluksiz egri chiziq bilan haqiqiy sim diametrlariga moslashtirilgan yangi usul taklif qildi.^[24]

Kützing chiziq segmentini kengaytirishni buyurdi miloddan avvalgi- ma'lum bo'lgan tovush uzunligini - ba chizig'iga 45 gradusda va uning oktavasidan nuqtada ifodalash d o'rtasida joylashgan b va v, chiziqni perpendikulyar ravishda kengaytirish uchun ba uni kesishgan e, keyin bo'linish uchun de 12 ta teng qismga bo'linadi. Gap shundaki a kuni ab uzunliklarini uzatish orqali joylashgan de, db, dan e uzoqda b, va kengaytirilgan nurlar a bo'linish nuqtalari orqali de va kesishgan miloddan avvalgi dan uzunlikdagi mag'lubiyatning turli xil so'nggi nuqtalarini topish uchun v.^[25]

Ushbu tartibga solish, topish uchun o'rtacha mutanosiblikni ishlatishga teng a.

Ko'rsatmalar bilan qayta belgilangan diagramma Angliyaning eng yirik pianino ishlab chiqaruvchilari tomonidan chop etilgan risolaga kiritilgan John Broadwood & Sons ularning namoyishiga hamroh bo'lish 1862 yilgi Xalqaro ko'rgazma Londonda ular buni "Oktavning har ikkala notasi uchun teng temperamentdagi simlar uzunligini topishning amaliy usuli; shuning uchun bir xil o'lchamdagi sim bilan har bir notadagi taranglik bir xil bo'lishi kerak" deb ta'rifladilar.^[26]

Shuningdek, u 1868 yilda nashr etilgan kitobida, Neapolda ishlaydigan rusiyalik pianino ustasi Giacomo Sievers tomonidan sektor bilan birga takrorlangan. Il PianoforteBu erda u fortepianoda torlarning tovush uzunligini aniqlashning eng yaxshi amaliy usuli deb aytdi. Brodvud singari, Sivers ham uning manbasini yoki undan foydalanish hajmini ta'riflamagan va buning ortida biron bir nazariyani tushuntirmagan. Shuningdek, u pianinolarni loyihalashtirishdan boshqa foydasi borligini aytmadi.^[27]

Volfenden

Ingliz pianino ishlab chiqaruvchisi Semyuel Volfenden pianino ichida eng past tovushli tekis chiziq uzunliklarini aniqlaydigan konstruktsiyani taqdim etdi. Pianofort qurilish san'ati haqida risola 1916 yilda nashr etilgan; Sievers singari, u bu asl protsedura yoki umumiy qo'llanilganmi yoki yo'qligini tushuntirmagan, faqatgina "bu chiziq uzunligini aniqlashning juda amaliy usuli va o'tgan yillarda men uni butunlay ishlatganman" deb izohlagan. Uning so'zlariga ko'ra, u yozish paytida uzunliklarni to'g'ridan-to'g'ri "biroz osonroq" deb hisoblagan va fortepianoning eng yaxshi beshta oktavasi uchun hisoblangan uzunliklar jadvali bilan tavsifidan oldin kelgan.^[28] U chastotalarni teng temperamentda kiritgan, ammo faqat 1927 yilgi qo'shimchasida ovozli sozlash bo'yicha ko'rsatmalarni nashr etgan.

Volfenden oktava uzunliklari orasidagi 9:17 nisbatini mag'lubiyat diametrlarining bir xil o'zgarishi bilan birlashtirish orqali yuqori diapazonda bajarishni taklif qilgan tekis simlarning tarangligini tenglashtirishni ochiqdan-ochiq qo'llab-quvvatladi (aks holda Zigfrid tomonidan nashr etilgan o'xshash tizimga nisbatan bir muncha izchil natijalarga erishish). Gansing 1888 yilda^[29]), Sievers o'lchovidan farqli o'laroq, uning chizilgan jadvali qalinroq va pastroq tovushlar uchun yuqori kuchlanishni keltirib chiqaradi.

Sievers singari, Volfenden ham barcha tovush uzunliklarini yuqori qismdan 54, 102, 192.5, 364 va 688 mm gacha bo'lgan diapazonda har bir C uchun joylashgan nuqtalardan boshlab nurlar uchun asosiy chiziqlardan 45 gradusda barpo etdi. . Keyin nurlar uchun to'rtta tepa har bir oktavada pastki C dan uzaytirilgan gorizontal tayanch chiziqlarining kesishgan joylarida joylashgan bo'lib, chiziq chizig'i uchun yuqori boshlang'ich nuqtadan ikkinchi burchakka burilgan, ammo u ikkalasi ham 51,5 da bo'lishi kerak. daraja asos chiziqlariga va ikkala oktava uzunliklari farqi bilan tayanch chiziqlar 35:13 nisbatiga ega.

Volfendenning usuli taxminan ${ displaystyle scriptstyle { sqrt {17/9}}}$ taxminan 1.3775 bilan va unga teng ${ displaystyle scriptstyle OA / OB = 8.27}$ Barbur shaklida. Uning kichik oktavalarini kompensatsiya qilish natijasida 596 tsent yarim oktavalar hosil bo'ladi, bu uning hisoblangan ko'rsatkichlari bilan taqqoslaganda F4 (f ′) yozuvida taxminan 1 mm xato.

Izohlar

• ^ a Stråhle (1743) p. 285-286:

"Enligit detta påfund, har jag bygt et Monoxordiy, Men buni bilaman, ot full hafver 13 strängar, ock skulle dy snarare heta Tredekaxordiy, men som alla strängarna, äro af en nummer, längd ock thon; så behåller jag det gamla namnet.

"Til dessa tretton strängar, ar lämpadt et vanligit Qo'lda, af uz Oktava; men under hvar sträng, sedan de noga äro stämde i unison, sätter jag löfa stallar, å de puncter, ock till de längder fra krepinerne, so'm min nu beskrefne Linea Musica det äfkar: derefter hvar sträng undfår sin behöriga thon.

"Det Claver, som jag här til förfärdigat ar jämnväl i de tre högre Oktavern, noga rättadt efter min Linea Musica, til strängarnes längd ock skilnad: ock på det stämningen, må utan besvär, kunna ske; så är mit Monoxordiy så giordt, at det kan ställas ofvan på Klaveret, då uz Oktav på Klaveret stämmes, thon för thon, mot sina tillhöriga thoner på Monoxordiy, derefter alla de andra thonerne, å Klaveret, stämmas Oktavs-viz; den stamningen, ar ox för örat lättast at värkställa, emedan den bör vara fri för svängningar. "

• ^ b Fagot (1743) p. 286:

  "Huruvida thonernes stämning, efter förut beskrefne Påfund, förnöger hörsten, med behageligare ljud, ock med bättre likstämmighet, i de Musikaliska tnerne å va boshqalar Claver, än de gamla ock härtils bekanta stämnings sätt, derom lärer förståndet bättre kunna döma, när ögat får se det örat hörer. "

• ^ Marpurg (1776) p. 167-168:

  "Ich muss gestehen, dass sich dieser Aufsatz mit Vergnügen lesen lässet, und dass ich von der Richtigkeit der vom Hrn. Jacob Fagot, durch eine sehr muhsame trigonometrische Berechnung der Strählischen Linien, gefunden Zahlen voellig überzeuget déin muss gussen duss sich dieser". gefunden Zahlen nicht geben, sie geben sollen, und Hr.Strähle suchte, nemlich eine Temperatur, welche das Schweben am gelindesten für das Gehör macht, und alle Töne in gehörige Gleichstimmigkeit setzet and Es alalbich neltchich nechht geben, es alaltgench nemhteicht nechht geben. und nicht einmal von der erträglichsten Art. "

Adabiyotlar

Christlieb Benedict Funk'dan sarlavha sahifasi De Sono va Tono Disserit. 1779 yildan

• Daniel P. Stråhle "Nytt Påfund, finna Temperaturen Men Claveret ock dylika Instrumenter-ni qo'llab-quvvatlayman " Kongliga Swenska Wetenskaps Academiens Handlingar för Månaderne oktyabr, noyabr, dekabr dekabr, vol. IV, Lorents Lyudewig Grefing, Stokgolm 1743 p. 281-285
• Jeykob Fagot "Trigonometrisk juda yaxshi ishlaydi Temperatur, Claveret-da " Kongliga Swenska Wetenskaps Academiens Handlingar för Månaderne oktyabr, noyabr, ock dekabr vol. IV, Lorents Lyudewig Grefing, Stokgolm 1743 p. 286-291
• Yan Styuart "Faggotning g'azablangan fiyaskosi" Jon Fauvel, Raymond Flood, Robin Uilson, ed. Musiqa va matematika Oksford universiteti matbuoti 2006 y. 68-75
• J. Murray Barbour Tuning va Temperament: Tarixiy So'rov Michigan shtati kollej kolleji matbuoti, East Lansing 1951 p. 65-68