Subfaktor - Subfactor

Nazariyasida fon Neyman algebralari, a subfaktor a omil ${ displaystyle M}$ bu omil bo'lgan va o'z ichiga olgan subalgebra ${ displaystyle 1}$. Subfaktorlar nazariyasi kashf etilishiga olib keldi Jons polinomi yilda tugun nazariyasi.

Subfaktor ko'rsatkichi

Odatda ${ displaystyle M}$ turdagi omil sifatida qabul qilinadi ${ displaystyle { rm {II}} _ {1}}$Bu holda har bir Hilbert kosmik moduli ${ displaystyle H}$ o'lchovga ega ${ displaystyle dim _ {M} (H)}$ manfiy bo'lmagan haqiqiy raqam yoki ${ displaystyle + infty}$. The indeks ${ displaystyle [M: N]}$ subfaktorning ${ displaystyle N}$ deb belgilangan ${ displaystyle dim _ {N} (L ^ {2} (M))}$. Bu yerda ${ displaystyle L ^ {2} (M)}$ ning vakili ${ displaystyle N}$ dan olingan GNS qurilishi izining ${ displaystyle M}$.

Jons indeks teoremasi

Bu shuni ko'rsatadiki, agar ${ displaystyle N}$ ning subfaktoridir ${ displaystyle M}$ (ikkalasi ham ${ displaystyle { rm {II}} _ {1}}$) keyin indeks ${ displaystyle [M: N]}$ bu ikkala shakl ${ displaystyle 4cos ( pi / n) ^ {2}}$ uchun ${ displaystyle n = 3,4,5, ...}$, yoki hech bo'lmaganda ${ displaystyle 4}$. Ushbu qiymatlarning barchasi sodir bo'ladi.

Ning dastlabki bir nechta qiymati ${ displaystyle 4 cos ( pi / n) ^ {2}}$ bor ${ displaystyle 1,2, (3 + { sqrt {5}}) / 2 = 2.618 ..., 3,3.247 ..., ...}$

Asosiy qurilish

Aytaylik ${ displaystyle N}$ ning subfaktori hisoblanadi ${ displaystyle M}$va ikkalasi ham cheklangan fon Neyman algebralari. GNS konstruktsiyasi Hilbert maydonini ishlab chiqaradi ${ displaystyle L ^ {2} (M)}$ tomonidan harakat qilingan ${ displaystyle M}$tsiklik vektor bilan ${ displaystyle Omega}$. Ruxsat bering ${ displaystyle e_ {N}}$ pastki bo'shliqqa proektsiya bo'ling ${ displaystyle N Omega}$. Keyin ${ displaystyle M}$ va ${ displaystyle e_ {N}}$ yangi fon Neyman algebrasini yaratish ${ displaystyle langle M, e_ {N} rangle}$ harakat qilish ${ displaystyle L ^ {2} (M)}$, o'z ichiga olgan ${ displaystyle M}$ subfaktor sifatida. Kiritilganidan parcha ${ displaystyle N}$ yilda ${ displaystyle M}$ qo'shilish uchun ${ displaystyle M}$ yilda ${ displaystyle langle M, e_ {N} rangle}$ deyiladi asosiy qurilish.

Agar ${ displaystyle N}$ va ${ displaystyle M}$ ikkalasi ham tur omilidir ${ displaystyle { rm {II}} _ {1}}$ va ${ displaystyle N}$ ning cheklangan ko'rsatkichi bor ${ displaystyle M}$ keyin ${ displaystyle langle M, e_ {N} rangle}$ shuningdek, turga kiradi ${ displaystyle { rm {II}} _ {1}}$Bundan tashqari, qo'shimchalar bir xil indeksga ega: ${ displaystyle [M: N] = [ langle M, e_ {N} rangle: M],}$ va ${ displaystyle tr _ { langle M, e_ {N} rangle} (e_ {N}) = [M: N] ^ {- 1}}$.

Jons minorasi

Aytaylik ${ displaystyle N subset M}$ bu turni kiritishdir ${ displaystyle { rm {II}} _ {1}}$ cheklangan indeks omillari. Asosiy qurilishni takrorlash orqali biz inklüzyon minorasini olamiz

${ displaystyle M _ {- 1} subset M_ {0} subset M_ {1} subset M_ {2} subset cdots}$

qayerda ${ displaystyle M _ {- 1} = N}$ va ${ displaystyle M_ {0} = M}$va har biri ${ displaystyle M_ {n + 1} = langle M_ {n}, e_ {n + 1} rangle}$ oldingi algebra va proektsiya yordamida hosil bo'ladi. Ushbu algebralarning birlashishi tracial holatga ega ${ displaystyle tr}$ har birining cheklanishi ${ displaystyle M_ {n}}$ trakial holat, shuning uchun ittifoqning yopilishi yana bir tur ${ displaystyle { rm {II}} _ {1}}$ fon Neyman algebra ${ displaystyle M _ { infty}}$.

Algebra ${ displaystyle M _ { infty}}$ proektsiyalar ketma-ketligini o'z ichiga oladi ${ displaystyle e_ {1}, e_ {2}, e_ {3}, ...,}$ qondiradigan Temperli-Lieb munosabatlari parametrda ${ displaystyle lambda = [M: N] ^ {- 1}}$. Bundan tashqari, tomonidan yaratilgan algebra ${ displaystyle e_ {n}}$ a ${ displaystyle { rm {C}} ^ { star}}$-algebra, unda ${ displaystyle e_ {n}}$ o'z-o'zidan bog'langan va shunga o'xshashdir ${ displaystyle tr (xe_ {n}) = lambda tr (x)}$ qachon ${ displaystyle x}$ tomonidan yaratilgan algebra ichida ${ displaystyle e_ {1}}$ qadar ${ displaystyle e_ {n-1}}$. Ushbu qo'shimcha shartlar bajarilganda, algebra Temperly-Lieb-Jones algebra deb nomlanadi. ${ displaystyle lambda}$. Ungacha noyob ekanligini ko'rsatish mumkin ${ displaystyle star}$-izomorfizm. U faqatgina mavjud bo'lganda ${ displaystyle lambda}$ ushbu maxsus qadriyatlarni qabul qiladi ${ displaystyle 4cos ( pi / n) ^ {2}}$ uchun ${ displaystyle n = 3,4,5, ...}$, yoki kattaroq qiymatlar ${ displaystyle 4}$.

Standart o'zgarmas

Aytaylik ${ displaystyle N subset M}$ bu turni kiritishdir ${ displaystyle { rm {II}} _ {1}}$ cheklangan indeks omillari. Nisbatan yuqori komutantlar bo'lsin ${ displaystyle { mathcal {P}} _ {n, +} = N ' cap M_ {n-1}}$ va ${ displaystyle { mathcal {P}} _ {n, -} = M ' cap M_ {n}}$.

The standart o'zgarmas subfaktorning ${ displaystyle N subset M}$ quyidagi katakcha:

${ displaystyle mathbb {C} = { mathcal {P}} _ {0, +} subset { mathcal {P}} _ {1, +} subset { mathcal {P}} _ {2, +} subset cdots subset { mathcal {P}} _ {n, +} subset cdots}$

${ displaystyle cup cup kubok}$

${ displaystyle mathbb {C} = { mathcal {P}} _ {0, -} subset { mathcal {P}} _ {1, -} subset cdots subset { mathcal {P}} _ {n-1, -} subset cdots}$

bu javobgar bo'lgan holatda to'liq o'zgarmasdir.^[1] Standart o'zgarmaslikning diagramma aksiomatizatsiyasi tushunchasi bilan berilgan tekis algebra.

Asosiy grafikalar

Cheklangan indeksning subfaktori ${ displaystyle N subset M}$ deb aytilgan qisqartirilmaydi agar quyidagi teng shartlardan biri bajarilsa:

• ${ displaystyle L ^ {2} (M)}$ kabi kamaytirilmaydi ${ displaystyle (N, M)}$ ikki modul;
• The nisbiy komutant ${ displaystyle N ' cap M}$ bu ${ displaystyle mathbb {C}}$.

Ushbu holatda ${ displaystyle L ^ {2} (M)}$ belgilaydi a ${ displaystyle (N, M)}$ ikki modul ${ displaystyle X}$ shuningdek, uning konjugati ${ displaystyle (M, N)}$ ikki modul ${ displaystyle X ^ { star}}$. Da tasvirlangan nisbiy tensor mahsuloti Jons (1983) va tez-tez chaqiriladi Konnes termoyadroviy ning umumiy fon Neyman algebralari uchun oldindan ta'rifidan keyin Alen Konnes, yangi bimodullarni aniqlash uchun ishlatilishi mumkin ${ displaystyle (N, M)}$, ${ displaystyle (M, N)}$, ${ displaystyle (M, M)}$ va ${ displaystyle (N, N)}$ quyidagi tensor mahsulotlarini kamaytirilmaydigan tarkibiy qismlarga ajratish orqali:

${ displaystyle X boxtimes X ^ { star} boxtimes cdots boxtimes X, , , X ^ { star} boxtimes X boxtimes cdots boxtimes X ^ { star}, , , X ^ { star} boxtimes X boxtimes cdots boxtimes X, , , X boxtimes X ^ { star} boxtimes cdots boxtimes X ^ { star}.}$

Qisqartirilmaydi ${ displaystyle (M, M)}$ va ${ displaystyle (M, N)}$ shu tarzda paydo bo'lgan bimodullar .ning tepalarini hosil qiladi asosiy grafik, a ikki tomonlama grafik. Ushbu grafiklarning yo'naltirilgan qirralari, tenglashtirilganda kamaytirilmaydigan bimodulning parchalanishini tasvirlaydi ${ displaystyle X}$ va ${ displaystyle X ^ { star}}$ o'ngda. The ikkilamchi direktor grafik yordamida shunga o'xshash tarzda aniqlanadi ${ displaystyle (N, N)}$ va ${ displaystyle (N, M)}$ bimodullar.

Har qanday bimodul ikki omilning harakatlanish harakatlariga to'g'ri kelganligi sababli, har bir omil ikkinchisining komutantida bo'ladi va shuning uchun subfaktorni belgilaydi. Ikki modul kamaytirilmasa, uning o'lchamlari ushbu subfaktor indeksining kvadrat ildizi sifatida aniqlanadi. O'lchov qo'shimcha ravishda kamaytirilmaydigan bimodullarning to'g'ridan-to'g'ri yig'indilariga kengaytirilgan. U Konnes termoyadroviyiga nisbatan ko'paytiriladi.

Subfaktorga ega deyilgan cheklangan chuqurlik agar asosiy grafika va uning ikkilanganligi cheklangan bo'lsa, ya'ni bu parchalanish sharoitida faqat juda ko'p kamaytirilmaydigan bimodulalar paydo bo'lsa. Bu holda agar ${ displaystyle M}$ va ${ displaystyle N}$ giperfinit, Sorin Popa qo'shilish ekanligini ko'rsatdi ${ displaystyle N subset M}$ model uchun izomorfdir

${ displaystyle ( mathbb {C} otimes mathrm {End} , X ^ { star} boxtimes X boxtimes X ^ { star} boxtimes cdots) ^ { prime prime} subset ( mathrm {End} , X boxtimes X ^ { star} boxtimes X boxtimes X ^ { star} boxtimes cdots) ^ { prime prime},}$

qaerda ${ displaystyle { rm {II}} _ {1}}$ omillar GNS konstruktsiyasidan kanonik izga nisbatan olinadi.

Tugunli polinomlar

Elementlar tomonidan yaratilgan algebra ${ displaystyle e_ {n}}$ yuqoridagi munosabatlar bilan Temperli-Lib algebra. Bu $ algebra $ ning bir qismidir to'quv guruhi, shuning uchun Temperley-Lieb algebra tasvirlari to'qilgan guruhning tasvirlarini beradi, bu esa ko'pincha tugunlar uchun o'zgarmasdir.

Adabiyotlar

• Jons, Vaughan F.R. (1983), "Subfaktorlar uchun indeks", Mathematicae ixtirolari, 72: 1–25, doi:10.1007 / BF01389127
• Wenzl, H.G. (1988), "A tipidagi Hekge algebralari_n va subfaktorlar ", Ixtiro qiling. Matematika., 92 (2): 349–383, doi:10.1007 / BF01404457, JANOB  0696688
• Jons, Vaughan F.R.; Sander, Viakalathur Shankar (1997). Subfaktorlarga kirish. London matematik jamiyati ma'ruzalar to'plami. 234. Kembrij: Kembrij universiteti matbuoti. doi:10.1017 / CBO9780511566219. ISBN  0-521-58420-5. JANOB  1473221.
• M. Takesaki tomonidan Operator Algebralar III nazariyasi ISBN  3-540-42913-1
• Vassermann, Antoniy. "Xilbert kosmosidagi operatorlar".