1 + 1 o'lchamdagi super simmetriya algebralari - Supersymmetry algebras in 1 + 1 dimensions

Ikki o'lchovli Minkovskiy maydoni, ya'ni bir martalik va bitta fazoviy o'lchamga ega bo'lgan tekis bo'shliq ikki o'lchovli bo'ladi Puankare guruhi IO (1,1) unga tegishli simmetriya guruhi. Tegishli Yolg'on algebra deyiladi Puankare algebra. Ushbu algebrani a ga kengaytirish mumkin super simmetriya algebra, bu a ${displaystyle mathbb {Z} _ {2}}$- bitirgan Yolg'on superalgebra. Buning eng keng tarqalgan usullari quyida muhokama qilinadi.

${displaystyle {mathcal {N}} = (2,2)}$ algebra

IO (1,1) ning Lie algebrasi quyidagi generatorlar tomonidan yaratilsin:

• ${displaystyle H = P_ {0}}$ vaqt tarjimasining yaratuvchisi,
• ${displaystyle P = P_ {1}}$ kosmik tarjimaning generatoridir,
• ${displaystyle M = M_ {01}}$ ning generatoridir Lorents kuchaytiradi.

Ushbu generatorlar orasidagi komutatorlar uchun qarang Puankare algebra.

The ${displaystyle {mathcal {N}} = (2,2)}$ bu bo'shliq ustidagi super simmetriya algebrasi a super simmetrik kengayish to'rtta qo'shimcha generator bilan Lie algebra (super zaryadlar ) ${displaystyle Q _ {+} ,, Q _ {-} ,, {overline {Q}} _ {+} ,, {overline {Q}} _ {-}}$, ular yolg'on superalgebrasining g'alati elementlari. Lorents o'zgarishi ostida generatorlar ${displaystyle Q _ {+}}$ va ${displaystyle {overline {Q}} _ {+}}$ chap qo'l sifatida o'zgartiring Weyl spinors, esa ${displaystyle Q _ {-}}$ va ${displaystyle {overline {Q}} _ {-}}$ Weyl-ning o'ng qo'llari sifatida aylantiriladi. Algebra Poincaré algebra plus tomonidan berilgan^[1]:283

${displaystyle {egin {aligned} & {egin {aligned} & Q _ {+} ^ {2} = Q _ {-} ^ {2} = {overline {Q}} _ {+} ^ {2} = {overline {Q }} _ {-} ^ {2} = 0, & {Q_ {pm}, {overline {Q}} _ {pm}} = Hpm P, end {aligned}} & {egin {aligned} & {{overline {Q}} _ {+}, {overline {Q}} _ {-}} = Z, && {Q _ {+}, Q _ {-}} = Z ^ {*}, & {Q_ { -}, {overline {Q}} _ {+}} = {ilde {Z}}, && {Q _ {+}, {overline {Q}} _ {-}} = {ilde {Z}} ^ {* }, & {[iM, Q_ {pm}]} = mp Q_ {pm}, && {[iM, {overline {Q}} _ {pm}]} = mp {overline {Q}} _ {pm} , oxiri {aligned}} end {hizalangan}}}$

bu erda qolgan barcha komutatorlar yo'q bo'lib ketadi va ${displaystyle Z}$ va ${displaystyle {ilde {Z}}}$ murakkabdir markaziy to'lovlar. Supercharges orqali bog'liq ${displaystyle Q_ {pm} ^ {xanjar} = {overline {Q}} _ {pm}}$. ${displaystyle H}$, ${displaystyle P}$va ${displaystyle M}$ bor Hermitiyalik.

Subalgebralar ${displaystyle {mathcal {N}} = (2,2)}$ algebra

The ${displaystyle {mathcal {N}} = (0,2)}$ va ${displaystyle {mathcal {N}} = (2,0)}$ subalgebralar

The ${displaystyle {mathcal {N}} = (0,2)}$ dan subalgebra olinadi ${displaystyle {mathcal {N}} = (2,2)}$ generatorlarni olib tashlash orqali algebra ${displaystyle Q _ {-}}$ va ${displaystyle {overline {Q}} _ {-}}$. Shunday qilib uning kommutatsiyaga qarshi munosabatlari^[1]:289

${displaystyle {egin {aligned} & Q _ {+} ^ {2} = {overline {Q}} _ {+} ^ {2} = 0, & {Q _ {+}, {overline {Q}} _ {+ }} = H + P end {hizalangan}}}$

bundan tashqari yuqoridagi o'zaro bog'liq bo'lmagan kommutatsiya munosabatlari ${displaystyle Q _ {-}}$ yoki ${displaystyle {overline {Q}} _ {-}}$. Ikkala generator ham chap qo'l Veyl spinordir.

Xuddi shunday, ${displaystyle {mathcal {N}} = (2,0)}$ subalgebra olib tashlash yo'li bilan olinadi ${displaystyle Q _ {+}}$ va ${displaystyle {overline {Q}} _ {+}}$ va bajaradi

${displaystyle {egin {aligned} & Q _ {-} ^ {2} = {overline {Q}} _ {-} ^ {2} = 0, & {Q _ {-}, {overline {Q}} _ {- }} = HP. End {aligned}}}$

Ikkala supercharge generatorlari ham o'ng qo'llardir.

The ${displaystyle {mathcal {N}} = (1,1)}$ subalgebra

The ${displaystyle {mathcal {N}} = (1,1)}$ subalgebra ikkita generator tomonidan ishlab chiqariladi ${displaystyle Q _ {+} ^ {1}}$ va ${displaystyle Q _ {-} ^ {1}}$ tomonidan berilgan

${displaystyle {egin {aligned} Q_ {pm} ^ {1} = e ^ {iu _ {pm}} Q_ {pm} + e ^ {- iu _ {pm}} {overline {Q}} _ {pm} oxiri {hizalanmış}}}$ikkita haqiqiy son uchun ${displaystyle u _ {+}}$va ${displaystyle u _ {-}}$.

Ta'rifga ko'ra, ikkala supercharges ham haqiqiydir, ya'ni. ${displaystyle (Q_ {pm} ^ {1}) ^ {xanjar} = Q_ {pm} ^ {1}}$. Ular quyidagicha o'zgaradi Majorana-Weyl spinorlari Lorentsning o'zgarishi ostida. Ularning kommutatsiyaga qarshi munosabatlari^[1]:287

${displaystyle {egin {aligned} & {Q_ {pm} ^ {1}, Q_ {pm} ^ {1}} = 2 (Hpm P), & {Q _ {+} ^ {1}, Q _ {-} ^ {1}} = Z ^ {1}, oxiri {hizalanmış}}}$

qayerda ${displaystyle Z ^ {1}}$ haqiqiy markaziy to'lovdir.

The ${displaystyle {mathcal {N}} = (0,1)}$ va ${displaystyle {mathcal {N}} = (1,0)}$ subalgebralar

Ushbu algebralarni ${displaystyle {mathcal {N}} = (1,1)}$ olib tashlash orqali subalgebra ${displaystyle Q _ {-} ^ {1}}$ resp. ${displaystyle Q _ {+} ^ {1}}$generatorlardan.

Shuningdek qarang

• Supersimetriya
• Super-Puankare algebra (1 + 3 o'lchamda)

Adabiyotlar

• K. Schoutens, Supersimmetriya va faktorizatsiyalangan tarqalish, Nukl.Fiz. B344, 665-695, 1990 yil
• T.J. Holloud, E. Mavrikis, The N = 1 super simmetrik bootstrap va Lie algebralari, Nucl. Fizika. B484, 631-652, 1997, arXiv: hep-th / 9606116