Theil-Sen taxminchi - Theil–Sen estimator
Yilda parametrik bo'lmagan statistika, Theil-Sen taxminchi uchun usul mustahkam chiziqni o'rnatish tekislikdagi nuqtalarni tanlash uchun (oddiy chiziqli regressiya ) ni tanlab o'rtacha ning yon bag'irlari juft chiziqlar orqali barcha chiziqlar. Shuningdek, u chaqirilgan Senning qiyalik tahminchisi,[1][2] Nishab tanlash,[3][4] The yagona median usuli,[5] The Kendallning ishonchli chiziqli mos usuli,[6] va Kendall-Theil mustahkam chizig'i.[7] Uning nomi berilgan Anri Teyl va Pranab K. Sen, 1950 va 1968 yillarda ushbu usul bo'yicha maqolalarini nashr etgan,[8] va keyin Moris Kendall bilan bog'liqligi sababli Kendall Tau darajasining o'zaro bog'liqlik koeffitsienti.[9]
Ushbu taxminchi samarali tarzda hisoblab chiqilishi mumkin va unga befarq chetga chiquvchilar. Bu nisbatan aniqroq bo'lishi mumkin mustahkam bo'lmagan oddiy chiziqli regressiya (eng kichik kvadratchalar) uchun qiyshaygan va heteroskedastik va hatto eng kichik kvadratlarga qarshi yaxshi raqobatlashadi odatda taqsimlanadi jihatidan ma'lumotlar statistik kuch.[10] U "chiziqli tendentsiyani baholash uchun eng mashhur parametrsiz texnik" deb nomlangan.[2]
Ta'rif
Tomonidan belgilab qo'yilganidek Theil (1950), Theil-Sen ikki o'lchovli nuqtalar to'plamining baholovchisi (xmen,ymen) median m yon bag'irlari (yj − ymen)/(xj − xmen) barcha juft namunalar tomonidan belgilanadi. Sen (1968) ikkita ta'rifi bir xil bo'lgan ishni ko'rib chiqish uchun ushbu ta'rifni kengaytirdi x muvofiqlashtirish. Senning ta'rifiga ko'ra, faqat bir-biridan farq qiladigan juft juftlardan aniqlangan yon bag'irlari medianasi olinadi x koordinatalar.[8]
Nishab bir marta m aniqlangan, namunani belgilash orqali chiziqni aniqlash mumkin y- to'siq b qadriyatlar vositachisi bo'lish ymen − mxmen. Keyinchalik mos keladigan chiziq - bu chiziq y = mx + b koeffitsientlar bilan m va b yilda qiyalik - ushlash shakli.[11] Sen kuzatganidek, Nishabning bu tanlovi Kendall Tau darajasining o'zaro bog'liqlik koeffitsienti qiymatlarni taqqoslash uchun foydalanilganda, taxminan nolga aylanadi xmen ular bilan bog'liq qoldiqlar ymen − mxmen − b. Intuitiv ravishda, bu mos keladigan chiziq ma'lumotlar nuqtasining yuqorisidan yoki pastidan qanchalik uzoqqa o'tishi, ushbu nuqta ma'lumotlar to'plamining chap yoki o'ng tomonida joylashganligi bilan bog'liq emasligini ko'rsatadi. Tanlash b Kendall koeffitsientiga ta'sir qilmaydi, ammo o'rtacha qoldiqning taxminan nolga aylanishiga olib keladi; ya'ni mos chiziq teng miqdordagi ochkolardan yuqoridan va pastdan o'tadi.[9]
A ishonch oralig'i nishab smetasi uchun juftlik nuqtalari bilan belgilangan chiziqlar yonbag'irlarining o'rtadagi 95% oralig'ini o'z ichiga olgan interval sifatida aniqlanishi mumkin.[12] va juftlik nuqtalarini tanlab olish va namunaviy qiyaliklarning 95% oralig'ini aniqlash orqali tezda baholanishi mumkin. Simulyatsiyalarga ko'ra, aniq ishonch oralig'ini aniqlash uchun taxminan 600 namunaviy juftlik etarli.[10]
O'zgarishlar
Theil-Sen taxminchisining o'zgarishi, the takroriy o'rtacha regressiya ning Siegel (1982), har bir namuna nuqtasini belgilaydi (xmen,ymen), median mmen yon bag'irlari (yj − ymen)/(xj − xmen) bu nuqta orqali chiziqlarni belgilaydi va keyin ushbu taxminiy vositalarni o'rtacha qiymatini aniqlaydi. U Theil-Sen taxminiga qaraganda ko'proq sonli narsalarga toqat qilishi mumkin, ammo uni samarali hisoblash uchun ma'lum algoritmlar ancha murakkab va unchalik amaliy emas.[13]
Turli xil variant namunaviy ballarni o'z darajalari bo'yicha birlashtiradi x-koordinatlar: koordinatasi eng kichik bo'lgan nuqta median koordinatasining ustidagi birinchi nuqta bilan, ikkinchisi eng kichik nuqtasi medianing ustidagi keyingi nuqtasi bilan juftlanadi va hokazo. Keyinchalik, bu juftliklar tomonidan aniqlangan chiziqlar yonbag'irlari o'rtacha qiymatini hisoblab chiqadi va Theil-Sen taxminiga qaraganda ancha kam juftlikni tekshirib tezlikka erishadi.[14]
Theil-Sen tahminchisining turlicha o'zgarishi vaznli medianlar juftlik namunalari kimga tegishli degan printsip asosida o'rganilgan x-ko'proq farq qiladigan koordinatalar moyillikning aniq yo'nalishiga ega bo'lishi ehtimoli yuqori va shuning uchun ular ko'proq vazn olishlari kerak.[15]
Mavsumiy ma'lumotlarga ko'ra, har ikkalasi bir xil oyga yoki yilning shu fasliga tegishli bo'lgan namunaviy nuqtalarni juftligini hisobga olgan holda va chiziqlar yonbag'irlari o'rtacha qiymatini topib ma'lumotlarning mavsumiy o'zgarishlarini tekislash maqsadga muvofiqdir. bu ko'proq cheklovchi juftliklar to'plami.[16]
Statistik xususiyatlar
Theil-Sen taxmin qiluvchisi xolis tahminchi haqiqiy nishabning oddiy chiziqli regressiya.[17] Ko'p tarqatish uchun javob xatosi, bu taxminchi yuqori asimptotik samaradorlik ga bog'liq eng kichik kvadratchalar taxmin qilish.[18] Kam samaradorlikka ega bo'lgan tahminchilar samarali xolis baholovchilarning bir xil namunaviy farqiga erishish uchun ko'proq mustaqil kuzatuvlarni talab qiladi.
Theil-Sen taxmin qiluvchisi ko'proq mustahkam eng kichik kvadratlarni baholovchisiga qaraganda, chunki u sezgir emas chetga chiquvchilar. Unda buzilish nuqtasi ning
shuni anglatadiki, u kiritilgan ma'lumotlarning 29,3% gacha bo'lgan o'zboshimchalik bilan buzilishiga uning aniqligini pasaytirmasdan toqat qilishi mumkin.[11] Shu bilan birga, usulning yuqori o'lchovli umumlashtirilishi uchun buzilish nuqtasi kamayadi.[19] Yuqori darajadagi parchalanish nuqtasi, 50%, chiziqqa mos keladigan boshqa algoritmga ega takroriy o'rtacha taxminchi Siegel.[11]
Theil-Sen taxmin qiluvchisi ekvariant har biri ostida chiziqli transformatsiya uning javob o'zgaruvchisi, ya'ni avval ma'lumotni o'zgartirib, so'ngra bir qatorga moslashtirish yoki birinchi navbatda chiziqni o'rnatib, keyin bir xil tarzda o'zgartirish, ikkalasi ham bir xil natijani beradi.[20] Ammo, bu ostida ekvariant emas afinaviy transformatsiyalar ikkala taxmin qiluvchi va javob o'zgaruvchilarining.[19]
Algoritmlar va amalga oshirish
To'plamning o'rtacha qiyaligi n namuna punktlari to'liq hisoblash orqali aniqlanishi mumkin O(n2) juft nuqtalar orasidagi chiziqlar va keyin chiziqli vaqtni qo'llang median topish algoritmi. Shu bilan bir qatorda, bu juftliklarni tanlash orqali baholanishi mumkin. Ushbu muammo tengdir, ostida loyihaviy ikkilik, an-da o'tish nuqtasini topish muammosiga chiziqlarni tartibga solish bu medianaga ega x-shunday o'tish punktlari orasida muvofiqlashtirish.[21]
Qattiq kuch kvadratik vaqt algoritmiga qaraganda qiyalik tanlovini to'liq, ammo samaraliroq bajarish muammosi keng o'rganilgan hisoblash geometriyasi. Theil-Sen taxminini aniq hisoblash uchun bir necha xil usullar ma'lum O(n jurnal n) vaqt, yoki deterministik ravishda[3] yoki foydalanish tasodifiy algoritmlar.[4] Siegelning takroriy median taxmin qiluvchisi ham bir xil vaqt ichida tuzilishi mumkin.[22] Kirish koordinatalari butun sonlar bo'lgan va unda bo'lgan hisoblash modellarida bitli operatsiyalar butun sonlar bo'yicha doimiy vaqt talab etiladi, Theil-Sen taxmin qiluvchisi tasodifiy kutilgan vaqtda tezroq tuzilishi mumkin .[23]
Taxminan o'rtacha darajaga ega bo'lgan qiyalik uchun taxminiy hisoblovchi, Theil-Sen taxmin qiluvchisi bilan bir xil parchalanish nuqtasiga ega bo'lishi mumkin. ma'lumotlar oqimi modeli (unda namunaviy fikrlar butun ma'lumotlar to'plamini namoyish etish uchun doimiy xotiraga ega bo'lmagan algoritm bilan birma-bir qayta ishlanadi) asosida algoritm yordamida b-to'rlar.[24]
In R statistika to'plami, Theil-Sen taxminchisi va Siegelning takroriy median prognozi orqali mavjud mblm kutubxona.[25]Bepul mustaqil Visual Basic Theil-Sen taxminiga ariza, KTRL, tomonidan taqdim etilgan AQSh Geologik xizmati.[26]Theil-Sen taxminchi ham amalga oshirildi Python qismi sifatida SciPy va skikit o'rganish kutubxonalar.[27]
Ilovalar
Theil-Sen taxminiga nisbatan qo'llanilgan astronomiya ishlov berish qobiliyati tufayli tsenzurali regressiya modellari.[28] Yilda biofizika, Fernandes va Leblan (2005) "hisoblashdagi soddaligi, ishonch oralig'ining analitik baholari, yuqori ko'rsatkichlarga nisbatan mustahkamligi, qoldiqlarga nisbatan tekshiriladigan taxminlar va ... o'lchov xatolariga oid apriori ma'lumotlarini cheklaganligi sababli, aks ettirish ma'lumotlaridan barg maydonini baholash kabi masofadan zondlash dasturlari uchun foydalanishni taklif eting. ".[29] Kabi mavsumiy atrof-muhit ma'lumotlarini o'lchash uchun suv sifati, Theil-Sen tahminchisining mavsumiy tuzatilgan varianti eng kam kvadratchalar bahosidan yuqori, aniq ma'lumotlarga ega bo'lganligi sababli tavsiya etilgan.[16] Yilda Kompyuter fanlari, tendentsiyalarni taxmin qilish uchun Theil-Sen usuli ishlatilgan dasturiy ta'minotning qarishi.[30] Yilda meteorologiya va iqlimshunoslik, u shamolning paydo bo'lishi va tezligining uzoq muddatli tendentsiyalarini baholash uchun ishlatilgan.[31]
Shuningdek qarang
- Regressiyani suyultirish, taxmin qilingan tendentsiyalarga ta'sir qiladigan yana bir muammo uchun
Izohlar
- ^ Gilbert (1987).
- ^ a b El-Shaaravi va Piegorsch (2001).
- ^ a b Koul va boshq. (1989); Katz va Sharir (1993); Brönnimann va Shazelle (1998).
- ^ a b Dillencourt, Mount & Netanyahu (1992); Matushek (1991); Blunck & Vahrenhold (2006).
- ^ Massart va boshq. (1997).
- ^ Sokal va Rohlf (1995); Dytham (2011).
- ^ Granato (2006)
- ^ a b Theil (1950); Sen (1968)
- ^ a b Sen (1968); Osborne (2008).
- ^ a b Wilcox (2001).
- ^ a b v Rousseeuw & Leroy (2003), 67, 164-betlar.
- ^ Ishonch oralig'ini aniqlash uchun juft juftlardan namuna olish kerak almashtirish bilan; bu shuni anglatadiki, ushbu hisob-kitobda ishlatiladigan juftliklar to'plami ikkala nuqta bir-biriga teng bo'lgan juftlarni o'z ichiga oladi. Ushbu juftliklar har doim ishonch oralig'idan tashqarida, chunki ular aniq belgilangan qiyalik qiymatini aniqlamaydilar, ammo ularni hisoblashning bir qismi sifatida ishlatish ishonch oralig'ini ularsiz bo'lgandan ko'ra kengroq bo'lishiga olib keladi.
- ^ Logan (2010), 8.2.7-bo'lim. Sog'lom regressiya; Matushek, Tog' va Netanyaxu (1998)
- ^ De Mut (2006).
- ^ Jekkel (1972); Scholz (1978); Sievers (1978); Birkes & Dodge (1993).
- ^ a b Hirsch, Slack & Smith (1982).
- ^ Sen (1968), Teorema 5.1, p. 1384; Vang va Yu (2005).
- ^ Sen (1968), 6-bo'lim; Uilkoks (1998).
- ^ a b Wilcox (2005).
- ^ Sen (1968), p. 1383.
- ^ Koul va boshq. (1989).
- ^ Matushek, Tog' va Netanyaxu (1998).
- ^ Chan va Patrascu (2010).
- ^ Bagchi va boshq. (2007).
- ^ Logan (2010), p. 237; Vannest, Devis va Parker (2013)
- ^ Vannest, Devis va Parker (2013); Granato (2006)
- ^ SciPy hamjamiyati (2015); Persson va Martins (2016)
- ^ Akritas, Merfi va LaValley (1995).
- ^ Fernandes va Leblan (2005).
- ^ Vaidyanatan va Trivedi (2005).
- ^ Romanić va boshq. (2014).
Adabiyotlar
- Akritas, Maykl G.; Merfi, Syuzan A.; LaValley, Maykl P. (1995), "Theil-Sen taxminchisi, ikki marotaba tsenzura qilingan ma'lumotlar va astronomiyaga oid qo'llanmalar", Amerika Statistik Uyushmasi jurnali, 90 (429): 170–177, doi:10.1080/01621459.1995.10476499, JSTOR 2291140, JANOB 1325124.
- Bagchi, Amitabha; Chaudari, Amitabx; Eppshteyn, Devid; Gudrix, Maykl T. (2007), "Geometrik ma'lumotlar oqimlarida aniqlangan namuna olish va diapazonni hisoblash", Algoritmlar bo'yicha ACM operatsiyalari, 3 (2): San'at. № 16, arXiv:cs / 0307027, doi:10.1145/1240233.1240239, JANOB 2335299, S2CID 123315817.
- Birkes, Devid; Dodge, Yadolah (1993), "6.3 Regressiya chizig'ini baholash", Muqobil regressiya usullari, Ehtimollik va statistikada Wiley seriyasi, 282, Wiley-Interscience, 113–118 betlar, ISBN 978-0-471-56881-0.
- Blunk, Xenrik; Vahrenxold, Yanvar (2006), "Tasodifiy tasodifiy qiyalik tanlovi", Algoritmlar va murakkablik bo'yicha xalqaro simpozium, Kompyuter fanidan ma'ruza matnlari, 3998, Berlin: Springer-Verlag, 30–41 betlar, doi:10.1007/11758471_6, ISBN 978-3-540-34375-2, JANOB 2263136.
- Brönniman, Xerve; Shazel, Bernard (1998), "Nishabni so'qmoqlar orqali optimal tanlash", Hisoblash geometriyasi nazariyasi va qo'llanilishi, 10 (1): 23–29, doi:10.1016 / S0925-7721 (97) 00025-4, JANOB 1614381.
- Chan, Timoti M.; Patrasku, Mixay (2010), "Inversiyalarni hisoblash, ortogonal diapazonni oflayn hisoblash va shu bilan bog'liq muammolar", Yigirma birinchi yillik ACM-SIAM diskret algoritmlari bo'yicha simpoziumi materiallari (SODA '10) (PDF), 161–173-betlar.
- Koul, Richard; Salowe, Jeffri S.; Shtayger, V. L.; Szemeredi, Endre (1989), "Nishab tanlash uchun optimal vaqt algoritmi", Hisoblash bo'yicha SIAM jurnali, 18 (4): 792–810, doi:10.1137/0218055, JANOB 1004799.
- De Mut, E. Jeyms (2006), Asosiy statistika va farmatsevtika statistik qo'llanmalari, Biostatistika, 16 (2-nashr), CRC Press, p. 577, ISBN 978-0-8493-3799-4.
- Dillencourt, Maykl B.; Tog', Devid M.; Netanyaxu, Natan S. (1992), "Nishab tanlash uchun tasodifiy algoritm", Xalqaro hisoblash geometriyasi va ilovalari jurnali, 2 (1): 1–27, doi:10.1142 / S0218195992000020, JANOB 1159839.
- Dytham, Calvin (2011), Statistikani tanlash va undan foydalanish: Biolog uchun qo'llanma (3-nashr), Jon Vili va o'g'illari, p. 230, ISBN 978-1-4051-9839-4.
- El-Shaaravi, Abdel X.; Piegorsch, Valter V. (2001), Environmetriya entsiklopediyasi, 1-jild, John Wiley and Sons, p. 19, ISBN 978-0-471-89997-6.
- Fernandes, Richard; Leblanc, Sylvain G. (2005), "Parametrik (o'zgartirilgan eng kichik kvadratlar) va parametrik bo'lmagan (Theil-Sen) o'lchov xatolarida biofizik parametrlarni bashorat qilish uchun chiziqli regressiyalar", Atrof muhitni masofadan turib aniqlash, 95 (3): 303–316, Bibcode:2005RSEnv..95..303F, doi:10.1016 / j.rse.2005.01.005.
- Gilbert, Richard O. (1987), "6.5 Senning nishabning parametrsiz bahosi", Atrof muhitni ifloslanishini monitoring qilishning statistik usullari, John Wiley and Sons, 217–219 betlar, ISBN 978-0-471-28878-7.
- Granato, Gregori E. (2006), "A7-bob: Kendall-Theil mustahkam chizig'i (KTRLine - 1.0-versiya) - ikkita uzluksiz o'zgaruvchilar orasidagi chiziqli-regressiya koeffitsientlarining parametrsiz baholarini hisoblash va grafikalash uchun ingl. Asosiy dastur", Gidrologik tahlil va talqin, AQSh geologik tadqiqot usullari va usullari, 4, AQSh Geologik xizmati.
- Xirsh, Robert M.; Slack, Jeyms R.; Smit, Richard A. (1982), "Oylik suv sifati ma'lumotlarini trendini tahlil qilish texnikasi", Suv resurslarini tadqiq qilish, 18 (1): 107–121, Bibcode:1982WRR .... 18..107H, doi:10.1029 / WR018i001p00107.
- Jekkel, Lui A. (1972), "Qoldiqlarning tarqalishini minimallashtirish orqali regressiya koeffitsientlarini baholash", Matematik statistika yilnomalari, 43 (5): 1449–1458, doi:10.1214 / aoms / 1177692377, JANOB 0348930.
- Kats, Metyu J.; Sharir, Micha (1993), "Nishabni kengaytirgichlar orqali optimal tanlash", Axborotni qayta ishlash xatlari, 47 (3): 115–122, doi:10.1016 / 0020-0190 (93) 90234-Z, JANOB 1237287.
- Logan, Myurrey (2010), R: Amaliy qo'llanma yordamida biostatistik dizayn va tahlil, ISBN 9781444362473
- Massart, D. L .; Vandeginste, B. G. M.; Buydens, L. M. C .; De Yong, S .; Lewi, P. J.; Smeyers-Verbeke, J. (1997), "12.1.5.1 yagona median usuli", Kimyometriya va kvualimetriya bo'yicha qo'llanma: A qism, Fan va texnologiyada ma'lumotlar bilan ishlash, 20A, Elsevier, 355-356 betlar, ISBN 978-0-444-89724-4.
- Matushek, Jiři (1991), "Nishab tanlash uchun tasodifiy optimallashtirilgan algoritm", Axborotni qayta ishlash xatlari, 39 (4): 183–187, doi:10.1016 / 0020-0190 (91) 90177-J, JANOB 1130747.
- Matushek, Jiři; Tog', Devid M.; Netanyaxu, Natan S. (1998), "O'rtacha chiziqli chiziqni takroriy takrorlash uchun samarali tasodifiy algoritmlar", Algoritmika, 20 (2): 136–150, doi:10.1007 / PL00009190, JANOB 1484533, S2CID 17362967.
- Osborne, Jeyson V. (2008), Miqdoriy usullardagi eng yaxshi amaliyotlar, Sage Publications, Inc., p. 273, ISBN 9781412940658.
- Persson, Magnus Vilhelm; Martins, Luiz Felipe (2016), Python ma'lumotlar tahlilini o'zlashtirish, Packt Publishing, p. 177, ISBN 9781783553303
- Romanić, Djordje; Jurich, Mladjen; Yovichich, Ilija; Lompar, Milosh (2014), "1949-2010 yillar davomida" Koshava "shamolining uzoq muddatli tendentsiyalari", Xalqaro iqlimshunoslik jurnali, 35 (2): 288–302, Bibcode:2015IJCli..35..288R, doi:10.1002 / joc.3981.
- Russeu, Piter J.; Leroy, Annik M. (2003), Sog'lom regressiya va aniqroq aniqlanish, Ehtimollar va matematik statistika bo'yicha Wiley seriyasi, 516, Vili, p. 67, ISBN 978-0-471-48855-2.
- Scholz, Fridrix-Vilgelm (1978), "Og'irlik bo'yicha o'rtacha regressiya taxminlari", Statistika yilnomalari, 6 (3): 603–609, doi:10.1214 / aos / 1176344204, JSTOR 2958563, JANOB 0468054.
- SciPy hamjamiyati (2015), "scipy.stats.mstats.theilslopes", SciPy v0.15.1 ma'lumotnomasi
- Sen, Pranab Kumar (1968), "Kendall Tau asosida regressiya koeffitsientini baholash", Amerika Statistik Uyushmasi jurnali, 63 (324): 1379–1389, doi:10.2307/2285891, JSTOR 2285891, JANOB 0258201.
- Siegel, Endryu F. (1982), "Qayta medianlar yordamida mustahkam regressiya", Biometrika, 69 (1): 242–244, doi:10.1093 / biomet / 69.1.242.
- Sievers, Jerald L. (1978), "Oddiy chiziqli regressiya bo'yicha vazn statistikasi", Amerika Statistik Uyushmasi jurnali, 73 (363): 628–631, doi:10.1080/01621459.1978.10480067, JSTOR 2286613.
- Sokal, Robert R.; Rohlf, F. Jeyms (1995), Biometriya: Biologik tadqiqotlarda statistika asoslari va amaliyoti (3-nashr), Makmillan, p. 539, ISBN 978-0-7167-2411-7.
- Theil, H. (1950), "Lineer va polinomial regressiya tahlilining darajadagi o'zgarmas usuli. I, II, III", Nederl. Akad. Wetensch., Proc., 53: 386–392, 521–525, 1397–1412, JANOB 0036489.
- Vaidyanatan, Kalyanaraman; Trivedi, Kishor S. (2005), "Dasturiy ta'minotni yoshartirishning keng qamrovli modeli", IEEE ishonchli va xavfsiz hisoblash bo'yicha operatsiyalar, 2 (2): 124–137, doi:10.1109 / TDSC.2005.15, S2CID 15105513.
- Vannest, Kimberli J.; Devis, Jon L.; Parker, Richard I. (2013), Maktablarda yagona misol tadqiqotlari: maktabga asoslangan mutaxassislar uchun amaliy qo'llanma, Routledge, p. 55, ISBN 9781136173622
- Vang, Xueqin; Yu, Tsiking (2005), "Theil-Sen taxminchisining xolisligi", Parametrik bo'lmagan statistika jurnali, 17 (6): 685–695, doi:10.1080/10485250500039452, JANOB 2165096, S2CID 121061001.
- Wilcox, Rand R. (1998), "Theil-Sen regressorini tasodifiy va xato atamasi heterosedastik bo'lganida regressiya tahmini to'g'risida eslatma", Biometrik jurnal, 40 (3): 261–268, doi:10.1002 / (SICI) 1521-4036 (199807) 40: 3 <261 :: AID-BIMJ261> 3.0.CO; 2-V.
- Wilcox, Rand R. (2001), "Theil-Sen taxminchi", Zamonaviy statistik usullarning asoslari: kuch va aniqlikni sezilarli darajada yaxshilash, Springer-Verlag, 207–210 betlar, ISBN 978-0-387-95157-7.
- Wilcox, Rand R. (2005), "10.2 Theil-Sen Estimator", Sog'lom taxmin va gipotezani sinashga kirish, Academic Press, 423–427 betlar, ISBN 978-0-12-751542-7.