Thurston chegarasi

Yilda matematika The Thurston chegarasi ning Teichmüller maydoni sifatida sirt olinadi chegara uning sirtdagi oddiy yopiq egri chiziqlardagi funktsionallarning proektsion makonida yopilishining. Bu proektsion makon sifatida talqin qilinishi mumkin o'lchovli barglar yuzasida.

Turning yopiq yuzasi Teyxmüller makonining Thurston chegarasi ${ displaystyle g}$ o'lchov sohasi uchun gomomorfikdir ${ displaystyle 6g-7}$ . Ning harakati xaritalarni sinf guruhi Teichmuller fazosida chegara bilan birlashma uzluksiz ravishda uzayadi.

Sirtdagi yaproqlar o'lchovlari

Ruxsat bering ${ displaystyle S}$ yopiq sirt bo'ling. A o'lchovli barglar ${ displaystyle ({ mathcal {F}}, mu)}$ kuni ${ displaystyle S}$ a barglar ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ kuni ${ displaystyle S}$ bilan birgalikda izolyatsiya qilingan o'ziga xosliklarni tan olishi mumkin ko'ndalang o'lchov ${ displaystyle mu}$ , ya'ni har bir kamon uchun funktsiya ${ displaystyle alpha}$ yaproqlarga ko'ndalang ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ musbat haqiqiy sonni bog'laydi ${ displaystyle mu ( alfa)}$ . Folikatsiya va o'lchov bir xil bargda turgan so'nggi nuqtalar bilan kamon deformatsiyalangan bo'lsa, o'lchov o'zgarmas degan ma'noda mos bo'lishi kerak.^[1]

Ruxsat bering ${ displaystyle { mathcal {S}}}$ yopiq oddiy egri chiziqlarning izotopiya sinflari maydoni bo'lsin ${ displaystyle S}$ . O'lchagan yaproq ${ displaystyle ({ mathcal {F}}, mu)}$ funktsiyani aniqlash uchun ishlatilishi mumkin ${ displaystyle i (({ mathcal {F}}, mu), cdot) in mathbb {R} _ {+} ^ { mathcal {S}}}$ quyidagicha: agar ${ displaystyle gamma}$ har qanday egri chiziq

{ displaystyle mu ( gamma) = sup _ { alpha _ {1}, ldots, alpha _ {r}} left ( sum _ {i = 1} ^ {r} mu ( alfa _ {i}) o'ng)}

bu erda supremum ajratilgan yoylarning barcha to'plamlari ustidan olinadi ${ displaystyle alpha _ {1} ldots, alfa _ {r} subset gamma}$ ko'ndalang bo'lgan ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ (jumladan ${ displaystyle mu ( gamma) = 0}$ agar ${ displaystyle gamma}$ ning yopiq bargidir ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ ). Keyin agar ${ displaystyle sigma in { mathcal {S}}}$ kesishish raqami quyidagicha belgilanadi:

{ displaystyle i { bigl (} ({ mathcal {F}}, mu), sigma { bigr)} = inf _ { gamma in sigma} mu ( gamma)}

.

Ikkita o'lchangan yaproqlar deyiladi teng agar ular xuddi shu funktsiyani belgilasalar ${ displaystyle { mathcal {S}}}$ (bu ekvivalentlik uchun topologik mezon mavjud Whitehead harakat qiladi). Bo'sh joy ${ displaystyle { mathcal {PMF}}}$ ning proektsion o'lchovli laminatsiyalar proektsion bo'shliqda o'lchangan laminatsiyalar to'plamining tasviridir ${ displaystyle mathbb {P} ( mathbb {R} _ {+} ^ { mathcal {S}})}$ ko'mish orqali ${ displaystyle i}$ . Agar jins ${ displaystyle g}$ ning ${ displaystyle S}$ kamida 2, bo'sh joy ${ displaystyle { mathcal {PMF}}}$ ga homomorfdir ${ displaystyle 6g-7}$ - o'lchovli shar (torus holatida u 2-shar; sharda o'lchovli yaproqlar yo'q).

Teichmuller makonini ixchamlashtirish

Funktsional bo'shliqqa joylashtirish

Ruxsat bering ${ displaystyle S}$ yopiq sirt bo'ling. Eslatib o'tamiz, Teyxmüller fazosidagi nuqta juftlikdir ${ displaystyle (X, f)}$ qayerda ${ displaystyle X}$ giperbolik sirt (Riemann kollektori, kesma egriliklari hammasi teng ${ displaystyle -1}$ ) va ${ displaystyle f}$ tabiiy ekvivalentlik munosabatlariga qadar bo'lgan gomomorfizm. Teychmuller fazosi to'plamdagi funktsionallar maydoni sifatida amalga oshirilishi mumkin ${ displaystyle { mathcal {S}}}$ oddiy yopiq egri chiziqlarning izotopiya sinflari ${ displaystyle { mathcal {S}}}$ quyidagicha. Agar ${ displaystyle x = (X, f) in T (S)}$ va ${ displaystyle sigma in { mathcal {S}}}$ keyin ${ displaystyle ell (x, sigma)}$ noyob yopiq geodeziya uzunligi deb belgilangan ${ displaystyle X}$ izotopiya sinfida ${ displaystyle f _ {*} sigma}$ . Xarita ${ displaystyle x mapsto ell (x, cdot)}$ ning joylashtirilishi ${ displaystyle T (S)}$ ichiga ${ displaystyle mathbb {R} _ {+} ^ { mathcal {S}}}$ , bu Teichmuller maydoniga topologiya berish uchun ishlatilishi mumkin (o'ng tomonga mahsulot topologiyasi beriladi).

Aslida, proektsion makon xaritasi ${ displaystyle mathbb {P} ( mathbb {R} _ {+} ^ { mathcal {S}})}$ hali ham joylashtirilmoqda: ruxsat bering ${ displaystyle { mathcal {T}}}$ ning tasvirini bildiring ${ displaystyle T (S)}$ U yerda. Ushbu bo'shliq ixcham bo'lgani uchun, yopilish ${ displaystyle { overline { mathcal {T}}}}$ ixchamdir: u Thurston kompaktifikatsiyasi Teichmuller makonining

Chegara ${ displaystyle { overline { mathcal {T}}} setminus { mathcal {T}}}$ pastki qismga teng ${ displaystyle { mathcal {PMF}}}$ ning ${ displaystyle mathbb {P} ( mathbb {R} _ {+} ^ { mathcal {S}})}$ . Dalil, shuningdek, Thurston kompaktifikatsiyasining gomomorfik ekanligini anglatadi ${ displaystyle 6g-6}$ - o'lchovli yopiq to'p.^[2]

Ilovalar

Psevdo-Anosov diffeomorfizmlari

Diffeomorfizm ${ displaystyle S dan S}$ deyiladi soxta Anosov agar ikkita ko'ndalang o'lchangan yaproqlar mavjud bo'lsa, masalan, uning ta'siri ostida asosiy barglar saqlanib qoladi va o'lchovlar koeffitsientga ko'paytiriladi ${ displaystyle lambda, lambda ^ {- 1}}$ navbati bilan ba'zilari uchun ${ displaystyle lambda> 1}$ (cho'zish koeffitsienti deb ataladi). O'zining kompaktifikatsiyasidan foydalangan holda Thurston o'z mohiyati bilan Nilsega ma'lum bo'lgan va odatda "yolg'on Anosov elementini o'z ichiga olgan xaritalash sinflari" ning psevdo-Anosov xaritalash sinflarining quyidagi tavsifini isbotladi. Nilsen-Thurston tasnifi. Xaritalar sinfi ${ displaystyle phi}$ psevdo-Anosov, agar shunday bo'lsa:

u kamaytirilmaydi (ya'ni yo'q ${ displaystyle k geq 1}$ va ${ displaystyle sigma in { mathcal {S}}}$ shu kabi ${ displaystyle ( phi ^ {k}) _ {*} sigma = sigma}$ );
u cheklangan tartibda emas (ya'ni yo'q ${ displaystyle k geq 1}$ shu kabi ${ displaystyle phi ^ {k}}$ shaxsning izotopik klassi).

Buning isboti Brouwer sobit nuqta teoremasi harakatiga nisbatan qo'llaniladi ${ displaystyle phi}$ Thurston kompaktifikatsiyasi to'g'risida ${ displaystyle { overline { mathcal {T}}}}$ . Agar sobit nuqta ichki qismda bo'lsa, u holda sinf cheklangan tartibda bo'ladi; agar u chegarada bo'lsa va asosiy barg barglari yopiq bargga ega bo'lsa, u kamayadi; qolgan holatda ko'ndalang o'lchangan yaproqlarga mos keladigan yana bir sobit nuqta borligini ko'rsatish va psevdo-Anosov xususiyatini chiqarish mumkin.

Xaritalar sinfi guruhiga ilovalar

Ning harakati xaritalarni sinf guruhi yuzaning ${ displaystyle S}$ Teichmuller kosmosda doimiy ravishda Thurston kompaktatsiyasiga qadar tarqaladi. Bu ushbu guruh tuzilishini o'rganish uchun kuchli vositani taqdim etadi; masalan, ning isbotida ishlatiladi Ko'krak muqobil xaritalash sinf guruhi uchun. Bundan tashqari, u xaritalash klassi guruhining kichik guruh tuzilishi to'g'risida turli xil natijalarni isbotlash uchun ishlatilishi mumkin.^[3]

3-manifoldga qo'llanilishi

Teichmuller makonini o'lchangan yaproqlarni qo'shib ixchamlashtirish laminatsiyani tugatish a giperbolik 3-manifold.

Haqiqiy daraxtlardagi harakatlar

Teyxmyuller fazosidagi nuqta ${ displaystyle T (S)}$ muqobil ravishda ning sodiq vakili sifatida qaralishi mumkin asosiy guruh ${ displaystyle pi _ {1} (S)}$ izometriya guruhiga kiradi ${ displaystyle mathrm {PSL} _ {2} ( mathbb {R})}$ giperbolik tekislikning ${ displaystyle mathbb {H} ^ {2}}$ , konjugatsiyaga qadar. Bunday izometrik harakat paydo bo'ladi (direktorni tanlash orqali) ultrafilter ) ning asimptotik konusidagi harakatga ${ displaystyle mathbb {H} ^ {2}}$ , bu a haqiqiy daraxt. Bunday ikkita harakat, agar ular faqatgina Teyxmüller fazosining bir nuqtasidan kelib chiqqan bo'lsa, teng ravishda izometrik bo'ladi. Bunday harakatlarning maydoni (tabiiy topologiya bilan ta'minlangan) ixchamdir va shuning uchun biz Teichmuller makonining yana bir ixchamlashuviga erishamiz. R. Skoraning teoremasida ta'kidlanishicha, bu ixchamlashtirish Thurstonning gomomorfikligi bilan teng darajada.^[4]

Izohlar

^ Fathi, Laudenbach va Poenaru 2012 yil, Exposé 5.
^ Fathi, Laudenbach va Poenaru 2012 yil, Exposé 8.
^ Ivanov 1992 yil.
^ Bestvina, Mladen. " ${ displaystyle mathbb {R}}$ -topologiya, geometriya va guruh nazariyasidagi daraxtlar ". Geometrik topologiya bo'yicha qo'llanma. Shimoliy-Gollandiya. 55-91 betlar.

Adabiyotlar

Fathi, Albert; Laudenbax, Fransua; Poéaru, Valentin (2012). Turstonning yuzalardagi ishi 1979 yil frantsuzcha asl nusxasidan Djun M. Kim va Dan Margalit tomonidan tarjima qilingan. Matematik eslatmalar. 48. Prinston universiteti matbuoti. xvi + 254-bet. ISBN 978-0-691-14735-2.CS1 maint: ref = harv (havola)
Ivanov, Nikolay (1992). Teichmuller modulli guruhlarining kichik guruhlari. Amerika matematikasi. Soc.CS1 maint: ref = harv (havola)

[FOOTNOTEFathiLaudenbachPoenaru2012Exposé_5-1] Fathi, Laudenbach va Poenaru 2012 yil, Exposé 5.

[FOOTNOTEFathiLaudenbachPoenaru2012Exposé_8-2] Fathi, Laudenbach va Poenaru 2012 yil, Exposé 8.

[FOOTNOTEIvanov1992-3] Ivanov 1992 yil.

[4] Bestvina, Mladen. " ${ displaystyle mathbb {R}}$ -topologiya, geometriya va guruh nazariyasidagi daraxtlar ". Geometrik topologiya bo'yicha qo'llanma. Shimoliy-Gollandiya. 55-91 betlar.

[1]

[2]

[3]

[4]