Umumiy egrilik - Total curvature

Ushbu egri chiziqning umumiy egriligi 6 ga teng

π

, va indeks / burilish raqami 3, lekin u faqat mavjud o'rash raqami 2 haqida

p

.

Yilda matematik o'rganish egri chiziqlarning differentsial geometriyasi, umumiy egrilik ning suvga cho'mgan tekislik egri chizig'i bo'ladi ajralmas ning egrilik ga nisbatan olingan egri chiziq bo'ylab yoy uzunligi:

{ displaystyle int _ {a} ^ {b} k (s) , ds.}

Yopiq egri chiziqning umumiy egriligi har doim 2 ning butun soniga teng bo'ladi $π$ , deb nomlangan indeks egri chizig'i yoki burilish raqami - bu o'rash raqami qitish teginuvchi vektor xaritaning kelib chiqishi yoki unga teng keladigan darajasi birlik doirasi egri chiziqning har bir nuqtasiga, shu nuqtadagi birlik tezligi vektorini belgilash. Ushbu xarita Gauss xaritasi yuzalar uchun.

Yuzalar bilan taqqoslash

Mahalliy geometrik o'zgarmas, egrilik va global o'rtasidagi bu bog'liqlik topologik o'zgarmas, ko'rsatkich yuqori o'lchovli natijalarga xosdir Riemann geometriyasi kabi Gauss-Bonnet teoremasi.

O'zgarish

Ga ko'ra Uitni-Grausteyn teoremasi, a ostida egrilik o'zgarmasdir muntazam homotopiya egri chiziq: bu daraja Gauss xaritasi. Biroq, bu homotopiya ostida o'zgarmas emas: kink (kusp) orqali o'tish burilish sonini 1 ga o'zgartiradi.

Aksincha, o'rash raqami haqida nuqta nuqta orqali o'tmaydigan homotopiyalar ostida o'zgarmasdir va agar nuqta orqali o'tsa 1 ga o'zgaradi.

Umumlashtirish

Yopiq ko'pburchak zanjir, umumiy egrilik bilan 2

π

.

Cheklangan umumlashtirish - bu uchburchakning tashqi burchaklari yoki umuman olganda har qanday burchak oddiy ko'pburchak, 360 ° = 2 gacha qo'shing $π$ burilish soniga to'g'ri keladigan radianlar. ko'pburchak zanjirlar o'zlaridan orqaga qaytmaydigan (180 ° burchakka ega bo'lmagan) aniq egrilikka ega bo'lib, egrilikni burchakdagi nuqta massasi sifatida izohlaydi.

The umumiy mutlaq egrilik egri chizig'i umumiy egrilikka o'xshash deyarli aniqlanadi, lekin imzolangan egrilik o'rniga egrilikning mutlaq qiymatidan foydalaniladi. $π$ uchun qavariq egri chiziqlar tekislikda va konveks bo'lmagan egri chiziqlar uchun kattaroq.^[1] Bundan tashqari, uni tekislash orqali yuqori o'lchovli bo'shliqlarda egri chiziqlarga umumlashtirilishi mumkin tangens ishlab chiqilishi mumkin ga $γ$ tekislikka va hosil bo'lgan egri chiziqning umumiy egriligini hisoblash. Ya'ni, egri chiziqning umumiy egriligi $n$ - o'lchovli bo'shliq

{ displaystyle int _ {a} ^ {b} left | gamma '' (s) right | operatorname {sgn} kappa _ {n-1} (s) , ds}

qayerda $κ n -1$ oxirgi Frenet egriligi ( burish egri chiziq) va $sgn$ bo'ladi signum funktsiyasi.

Berilganni ifodalovchi har qanday uch o'lchovli egri chiziqning minimal to'liq absolyutligi tugun bu o'zgarmas tugunning. Ushbu o'zgarmas qiymat 2 qiymatiga ega $π$ unnnot uchun, lekin tomonidan Fari-Milnor teoremasi u kamida 4 ga teng $π$ boshqa har qanday tugun uchun.^[2]

Adabiyotlar

^ Chen, Bang-Yen (2000), "Riemann submanifolds", Differentsial geometriya bo'yicha qo'llanma, Vol. Men, Shimoliy Gollandiya, Amsterdam, 187-418 betlar, doi:10.1016 / S1874-5741 (00) 80006-0, JANOB 1736854. Xususan 21.1-bo'limga qarang, "Burilish ko'rsatkichi va egri chiziqning umumiy egriligi", 359-360 betlar.
^ Milnor, Jon V. (1950), "Tugunlarning umumiy egriligi to'g'risida", Matematika yilnomalari, Ikkinchi seriya, 52 (2): 248–257, doi:10.2307/1969467, JSTOR 1969467

Kuhnel, Volfgang (2005), Differentsial geometriya: egri chiziqlar - yuzalar - ko'p qirrali shakllar (2-nashr), Amerika Matematik Jamiyati, ISBN 978-0-8218-3988-1 (tarjima Bryus Xant)
Sallivan, Jon M. (2008), "To'liq egrilik egri chiziqlari", Diskret differentsial geometriya, Oberwolfach Semin., 38, Birkxauzer, Bazel, 137–161 betlar, arXiv:matematik / 0606007, doi:10.1007/978-3-7643-8621-4_7, JANOB 2405664

[1] Chen, Bang-Yen (2000), "Riemann submanifolds", Differentsial geometriya bo'yicha qo'llanma, Vol. Men, Shimoliy Gollandiya, Amsterdam, 187-418 betlar, doi:10.1016 / S1874-5741 (00) 80006-0, JANOB 1736854. Xususan 21.1-bo'limga qarang, "Burilish ko'rsatkichi va egri chiziqning umumiy egriligi", 359-360 betlar.

[2] Milnor, Jon V. (1950), "Tugunlarning umumiy egriligi to'g'risida", Matematika yilnomalari, Ikkinchi seriya, 52 (2): 248–257, doi:10.2307/1969467, JSTOR 1969467

[1]

[2]