Triad usuli - Triad method

Triad - kosmik kemalarga munosabatni aniqlash muammosining eng erta va eng sodda echimlaridan biri,^[1]^[2] Garold Blek tufayli. Jons Xopkins nomidagi amaliy fizika laboratoriyalarida AQSh dengiz kuchlarining "Tranzit" sun'iy yo'ldosh tizimini boshqarish, navigatsiya va boshqarishda Blek asosiy rol o'ynadi. Adabiyotdan ko'rinib turibdiki, TRIAD paydo bo'lishidan ancha oldin kosmik kemalarga munosabatni aniqlashdagi amaliyot holatini aks ettiradi Vahbaning muammosi ^[3] va uning bir nechta optimal echimlari. Sun'iy yo'ldoshning yo'naltiruvchi va tana koordinatalarida ikkita vektor haqidagi bilimlarni hisobga olgan holda, TRIAD algoritmi ikkala freymga tegishli yo'naltirilgan kosinus matritsasini oladi. Keyinchalik Blekning klassik echimi uchun kovaryans tahlilini Markli taqdim etdi.^[4]

Xulosa

Biz chiziqli mustaqil mos yozuvlar vektorlarini ko'rib chiqamiz ${ displaystyle { vec {R}} _ {1}}$ va ${ displaystyle { vec {R}} _ {2}}$ . Ruxsat bering ${ displaystyle { vec {r}} _ {1}, { vec {r}} _ {2}}$ tanadagi sobit mos yozuvlar tizimida aniqlangan mos yozuvlar birligi vektorlarining mos o'lchov yo'nalishlari bo'lishi kerak. Keyin ular tenglamalar bilan bog'liq,

${ displaystyle { vec {R}} _ {i} = A { vec {r}} _ {i}}$

(1)

uchun ${ displaystyle i = 1,2}$ , qayerda ${ displaystyle A}$ aylanish matritsasi (ba'zan uni to'g'ri deb ham atashadi) ortogonal matritsa, ya'ni, ${ displaystyle A ^ {T} A = I, det (A) = + 1}$ ). ${ displaystyle A}$ tanadagi sobit ramkadagi vektorlarni mos yozuvlar vektorlari doirasiga o'zgartiradi. Boshqa xususiyatlar qatori rotatsion matritsalar ular ishlaydigan vektor uzunligini saqlaydi. E'tibor bering, kosinus matritsasi ${ displaystyle A}$ shuningdek, o'zaro faoliyat mahsulot vektorini o'zgartiradi,

${ displaystyle { vec {R}} _ {1} times { vec {R}} _ {2} = A left ({ vec {r}} _ {1} times { vec {r }} _ {2} o'ng)}$

(2)

Triad yo'nalish kosinus matritsasini taxmin qilishni taklif qiladi ${ displaystyle A}$ tomonidan berilgan chiziqli tizim tenglamalariga yechim sifatida

${ displaystyle left [{ vec {R}} _ {1} ~ vdots ~ { vec {R}} _ {2} ~ vdots ~ left ({ vec {R}} _ {1} times { vec {R}} _ {2} right) right] = A chap [{ vec {r}} _ {1} ~ vdots ~ { vec {r}} _ {2} ~ vdots ~ left ({ vec {r}} _ {1} times { vec {r}} _ {2} right) right]}$

(3)

qayerda ${ displaystyle vdots}$ turli ustunli vektorlarni ajratish uchun ishlatilgan.

Yuqorida keltirilgan echim shovqinsiz holatda yaxshi ishlaydi. Biroq, amalda, ${ displaystyle { vec {r}} _ {1}, { vec {r}} _ {2}}$ shovqinli va munosabat matritsasining (yoki yo'naltiruvchi kosinus matritsasining) ortogonallik holati yuqoridagi protsedura bilan saqlanib qolmagan. Triad ushbu muammoni hal qilish uchun quyidagi oqlangan protsedurani o'z ichiga oladi. Shu maqsadda birlik vektorlarini aniqlaymiz

${ displaystyle { hat {S}} = { frac {{ vec {R}} _ {1}} {|| { vec {R}} _ {1} ||}}}$

(4)

${ displaystyle { hat {s}} = { frac {{ vec {r}} _ {1}} {|| { vec {r}} _ {1} ||}}}$

(5)

va

${ displaystyle { hat {M}} = { frac {{ vec {R}} _ {1} times { vec {R}} _ {2}} {|| { vec {R}} _ {1} times { vec {R}} _ {2} ||}}}$

(6)

${ displaystyle { hat {m}} = { frac {{ vec {r}} _ {1} times { vec {r}} _ {2}} {|| { vec {r}} _ {1} times { vec {r}} _ {2} ||}}}$

(7)

ning dastlabki ikkita ustun o'rniga ishlatilishi kerak3). Ularning o'zaro bog'liqligi chiziqli tenglamalar tizimidagi uchinchi ustun sifatida kosmik kemalar tomonidan berilgan munosabat uchun to'g'ri ortogonal matritsani olish uchun ishlatiladi.

${ displaystyle left [{ hat {S}} ~ vdots ~ { hat {M}} ~ vdots ~ { hat {S}} times { hat {M}} right] = A chap [{ hat {s}} ~ vdots ~ { hat {m}} ~ vdots ~ { hat {s}} times { hat {m}} right]}$

(8)

Tenglamalarni normallashtirish paytida (4) - (7) shart emas, ular tenglamalarning chiziqli tizimini echishda hisoblash ustunligiga erishish uchun amalga oshirildi8). Shunday qilib, kosmik kemaga bo'lgan munosabatning bahosi tegishli ortogonal matritsa sifatida berilgan

${ displaystyle { hat {A}} = left [{ hat {S}} ~ vdots ~ { hat {M}} ~ vdots ~ { hat {S}} times { hat {M }} o'ng] chap [{ hat {s}} ~ vdots ~ { hat {m}} ~ vdots ~ { hat {s}} times { hat {m}} o'ng] ^ {T}.}$

(9)

Ushbu protsedurada matritsani teskari transpozitsiya bilan almashtirish orqali hisoblash samaradorligiga erishilganligiga e'tibor bering. Buning iloji bor, chunki hisoblash munosabati bilan bog'liq bo'lgan matritsalar har biri uchlikdan iborat ortonormal asosiy vektorlar. "TRIAD" o'z nomini ushbu kuzatuvdan olgan.

Uchlik munosabat matritsasi va o'lchovlar

Binobarin, Triad usuli har doim mos ortogonal matritsani ishlab chiqarishini baholash jarayonida ishlatilgan mos yozuvlar va tana vektorlaridan qat'i nazar ta'kidlaydi. Buni quyidagi tarzda ko'rsatish mumkin: keling, tenglikni qayta yozaylik. (8) tomonidan berilgan matritsa shaklida

${ displaystyle Gamma = A Delta}$

(10)

qayerda ${ displaystyle Gamma: = left [{ hat {S}} ~ vdots ~ { hat {M}} ~ vdots ~ { hat {S}} times { hat {M}} right ]}$ va ${ displaystyle Delta = left [{ hat {s}} ~ vdots ~ { hat {m}} ~ vdots ~ { hat {s}} times { hat {m}} right] .}$ Agar ustunlar bo'lsa ${ displaystyle Gamma}$ chap qo'l uchligini, so'ngra ustunlarini hosil qiling ${ displaystyle Delta}$ vektorlar orasidagi bir xil yozishmalar tufayli ham chapda qoldiriladi. Buning sababi shundaki, Evklid geometriyasida istalgan ikkita vektor orasidagi burchak o'zgarishni koordinatalash uchun o'zgarmas bo'lib qoladi. Shuning uchun, determinant ${ displaystyle det left ( Gamma right)}$ bu ${ displaystyle 1}$ yoki ${ displaystyle -1}$ uning ustunlari navbati bilan o'ngga yoki chapga yo'naltirilganligiga qarab (xuddi shunday, ${ displaystyle Delta = pm 1}$ ). Tenglamada munosabatlarning ikkala tomonida determinantni olish. (10), degan xulosaga keldik

${ displaystyle det chap (A o'ng) = 1.}$

(11)

Bu amaliy qo'llanmalarda juda foydalidir, chunki analitik har doim mos yozuvlar va o'lchangan vektor miqdorlaridan qat'i nazar, to'g'ri ortogonal matritsaga ega.

Ilovalar

Triad, tranzit sun'iy yo'ldosh tizimidan (AQSh dengiz kuchlari navigatsiya uchun foydalangan) telemetriya ma'lumotlarini qayta ishlashga bo'lgan munosabatni aniqlash usuli sifatida ishlatilgan. Tranzit tizimining printsiplari global joylashishni aniqlash uchun sun'iy yo'ldosh turkumini yaratdi. Ilova muammosida mos yozuvlar vektorlari odatda ma'lum yo'nalishlar (masalan, yulduzlar, Yer magnit maydoni, tortishish vektori va boshqalar). Tananing belgilangan vektorlari - bu bortdagi sensor tomonidan kuzatilgan o'lchov yo'nalishlari (masalan, yulduz izdoshi, magnetometr va boshqalar). Mikroelektronikaning rivojlanishi bilan Triad kabi munosabatlarni aniqlash algoritmlari turli xil qurilmalarda o'z o'rnini topdi (masalan, aqlli telefonlar, mashinalar, planshetlar, samolyotlar va boshqalar) zamonaviy jamiyatga keng ta'sir ko'rsatmoqda.

Shuningdek qarang

Adabiyotlar

^ Blek, Garold (1964 yil iyul). "Sun'iy yo'ldoshga munosabatni aniqlashning passiv tizimi". AIAA jurnali. 2 (7): 1350–1351. Bibcode:1964 AIAAJ ... 2.1350.. doi:10.2514/3.2555.
^ Qora, Garold (1990 yil iyul - avgust). "Tranzitning dastlabki rivojlanishi, dengiz floti navigatsiya sun'iy yo'ldosh tizimi". Yo'l-yo'riq, boshqarish va dinamikalar jurnali. 13 (4): 577–585. Bibcode:1990JGCD ... 13..577B. doi:10.2514/3.25373.
^ Vahba, Greys (1966 yil iyul). "Sun'iy yo'ldoshga nisbatan eng kichik kvadratlarni taxmin qilish, muammo 65.1". SIAM sharhi. 8: 385–386. doi:10.1137/1008080.
^ Markli, Landis (1993 yil aprel-iyun). "Vektorli kuzatishlar yordamida munosabatni aniqlash: tezkor optimal matritsa algoritmi" (PDF). Astronavtika fanlari jurnali. 41 (2): 261–280. Olingan 18 aprel, 2012.

[1] Blek, Garold (1964 yil iyul). "Sun'iy yo'ldoshga munosabatni aniqlashning passiv tizimi". AIAA jurnali. 2 (7): 1350–1351. Bibcode:1964 AIAAJ ... 2.1350.. doi:10.2514/3.2555.

[2] Qora, Garold (1990 yil iyul - avgust). "Tranzitning dastlabki rivojlanishi, dengiz floti navigatsiya sun'iy yo'ldosh tizimi". Yo'l-yo'riq, boshqarish va dinamikalar jurnali. 13 (4): 577–585. Bibcode:1990JGCD ... 13..577B. doi:10.2514/3.25373.

[3] Vahba, Greys (1966 yil iyul). "Sun'iy yo'ldoshga nisbatan eng kichik kvadratlarni taxmin qilish, muammo 65.1". SIAM sharhi. 8: 385–386. doi:10.1137/1008080.

[4] Markli, Landis (1993 yil aprel-iyun). "Vektorli kuzatishlar yordamida munosabatni aniqlash: tezkor optimal matritsa algoritmi" (PDF). Astronavtika fanlari jurnali. 41 (2): 261–280. Olingan 18 aprel, 2012.

[1]

[2]

[3]

[4]