Buralgan polinom halqasi - Twisted polynomial ring - Wikipedia

Bu maqola aksariyat o'quvchilar tushunishi uchun juda texnik bo'lishi mumkin. Iltimos uni yaxshilashga yordam bering ga buni mutaxassis bo'lmaganlarga tushunarli qilish, texnik ma'lumotlarni olib tashlamasdan. (2014 yil aprel) (Ushbu shablon xabarini qanday va qachon olib tashlashni bilib oling)

Yilda matematika, a o'ralgan polinom a polinom ustidan maydon ning xarakterli ${ displaystyle p}$ o'zgaruvchida ${ displaystyle tau}$ vakili Frobenius xaritasi ${ displaystyle x mapsto x ^ {p}}$. Oddiy polinomlardan farqli o'laroq, bu polinomlarni ko'paytirish emas kommutativ, lekin kommutatsiya qoidasini qondiradi

${ displaystyle tau x = x ^ {p} tau}$

Barcha uchun ${ displaystyle x}$ asosiy maydonda.

Cheksiz maydon ustida o'ralgan polinom halqasi halqasiga izomorfdir qo'shimcha polinomlar, lekin bu erda ko'paytma odatdagi ko'paytma o'rniga kompozitsiya bilan beriladi. Biroq, ko'pincha o'ralgan polinom halqasida hisoblash osonroq bo'ladi - bu ayniqsa nazariyasida qo'llanilishi mumkin Drinfeld modullari.

Ta'rif

Ruxsat bering ${ displaystyle k}$ xarakterli maydon bo'lishi ${ displaystyle p}$. Buralgan polinom halqasi ${ displaystyle k { tau }}$ o'zgaruvchisidagi polinomlar to'plami sifatida aniqlanadi ${ displaystyle tau}$ va koeffitsientlar ${ displaystyle k}$. Unga a uzuk odatiy qo'shimchali tuzilma, lekin munosabat bilan umumlashtirilishi mumkin bo'lgan komutativ bo'lmagan ko'paytma bilan ${ displaystyle tau x = x ^ {p} tau}$ uchun ${ displaystyle x in k}$. Ushbu munosabatning takroriy qo'llanilishi istalgan ikkita o'ralgan polinomlarni ko'paytirish formulasini beradi.

Misol tariqasida biz bunday ko'paytmani bajaramiz

${ displaystyle (a + b tau) (c + d tau) = a (c + d tau) + b tau (c + d tau) = ac + ad tau + bc ^ {p} tau + bd ^ {p} tau ^ {2}}$

Xususiyatlari

Morfizm

${ displaystyle k { tau } to k [x], quad a_ {0} + a_ {1} tau + cdots + a_ {n} tau ^ {n} mapsto a_ {0} x + a_ {1} x ^ {p} + cdots + a_ {n} x ^ {p ^ {n}}}$

belgilaydi a halqa gomomorfizmi burmalangan polinomni qo'shimcha polinomga yuborish. Bu erda ko'paytirish ko'pburchaklarning tarkibi bilan berilgan. Masalan

${ displaystyle (ax + bx ^ {p}) circ (cx + dx ^ {p}) = a (cx + dx ^ {p}) + b (cx + dx ^ {p}) ^ {p} = acx + adx ^ {p} + bc ^ {p} x ^ {p} + bd ^ {p} x ^ {p ^ {2}},}$

xarakterli ekanligidan foydalanib ${ displaystyle p}$ bizda bor Birinchi kurs talabasi ${ displaystyle (x + y) ^ {p} = x ^ {p} + y ^ {p}}$.

Gomomorfizm aniq in'ektsiya xususiyatiga ega, ammo agar shunday bo'lsa, sur'ektivdir ${ displaystyle k}$ cheksizdir. Surjectivlikning muvaffaqiyatsizligi qachon ${ displaystyle k}$ sonli, nol funktsiyani keltirib chiqaradigan nolga teng bo'lmagan polinomlarning mavjudligi bilan bog'liq ${ displaystyle k}$ (masalan, ${ displaystyle x ^ {q} -x}$ bilan cheklangan maydon ustida ${ displaystyle q}$ elementlar).^{[iqtibos kerak ]}

Ushbu uzuk kommutativ bo'lmasa ham, (chap va o'ng) bo'linish algoritmlari.

Adabiyotlar

• Goss, D. (1996), Funktsiya maydoni arifmetikasining asosiy tuzilmalari, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Matematikaning natijalari va turdosh sohalar (3)], 35, Berlin, Nyu-York: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-61087-8, JANOB  1423131, Zbl  0874.11004
• Rozen, Maykl (2002), Funktsiya maydonlaridagi raqamlar nazariyasi, Matematikadan aspirantura matnlari, 210, Springer-Verlag, ISBN  0-387-95335-3, ISSN  0072-5285, Zbl  1043.11079