Vecchia taxminan - Vecchia approximation

Vecchia taxminan a Gauss jarayonlari taxminiy dastlab ishlab chiqqan texnika Aldo Vekxiya, at statistik Amerika Qo'shma Shtatlarining Geologik xizmati. Bu Gauss jarayonlarini yuqori o'lchovli sharoitlarda qo'llashning dastlabki urinishlaridan biridir. O'shandan beri u keng tarqalgan bo'lib, ko'plab zamonaviy taxminlarni keltirib chiqardi.

Sezgi

Voqealar uchun birgalikdagi ehtimollik taqsimoti ${ displaystyle A, B}$ va ${ displaystyle C}$ , belgilangan ${ displaystyle P (A, B, C)}$ , sifatida ifodalanishi mumkin

{ displaystyle P (A, B, C) = P (A) P (B | A) P (C | A, B)}

Vecchia ning taxminiyligi shaklni oladi, masalan,

{ displaystyle P (A, B, C) taxminan P (A) P (B | A) P (C | A)}

va voqealar aniq bo'lganda ${ displaystyle B}$ va ${ displaystyle C}$ shartli ravishda mustaqil berilgan bilimlarga yaqin ${ displaystyle A}$ . Albatta, muqobil ravishda alternativani tanlashi mumkin edi

{ displaystyle P (A, B, C) taxminan P (A) P (B | A) P (C | B)}

va shuning uchun taxminiylikdan foydalanish qaysi hodisalar boshqalarga nisbatan shartli mustaqilga yaqinligini bilishni talab qiladi. Bundan tashqari, bizda, masalan, chosenada turli xil buyurtmalar bo'lishi mumkin

{ displaystyle P (A, B, C) taxminan P (C) P (C | A) P (B | A).}

Yaxshiyamki, ko'p hollarda taxminiylikni qanday qurish to'g'risida qaror qabul qiladigan yaxshi evristika mavjud.

Texnik jihatdan taxminiylikning umumiy versiyalari siyraklikka olib keladi Xoleskiy omil aniqlik matritsasi. Standart Cholesky faktorizatsiyasidan foydalanib, izohlash mumkin bo'lgan yozuvlar paydo bo'ladi^[1] mustaqillikning yo'qligini ko'rsatadigan nol bilan shartli korrelyatsiya sifatida (chunki model Gauss). Ushbu mustaqillik munosabatlari muqobil ravishda grafik modellar yordamida ifodalanishi mumkin va Xoleskiy faktorida grafik tuzilishi va tepalik tartibini nol bilan bog'laydigan teoremalar mavjud. Xususan, ma'lum^[2] axloqiy grafikada kodlangan mustaqillik aniq matritsaning Xoleskiy omillariga olib keladi to'ldirish.

Rasmiy tavsif

Muammo

Ruxsat bering ${ displaystyle x}$ bo'lishi a Gauss jarayoni tomonidan indekslangan ${ displaystyle { mathcal {S}}}$ o'rtacha funktsiya bilan ${ displaystyle mu}$ va kovaryans funktsiyasi ${ displaystyle K}$ . Buni taxmin qiling ${ displaystyle S = {s_ {1}, dots, s_ {n} } subset { mathcal {S}}}$ ning cheklangan kichik to'plamidir ${ displaystyle { mathcal {S}}}$ va ${ displaystyle mathbf {x} = (x_ {1}, dots, x_ {n}))}$ ning qiymatlari vektori ${ displaystyle x}$ da baholandi ${ displaystyle S}$ , ya'ni ${ displaystyle x_ {i} = x (s_ {i})}$ uchun ${ displaystyle i = 1, nuqta, n}$ . Buni kuzatgan deb taxmin qiling ${ displaystyle mathbf {y} = (y_ {1}, nuqtalar, y_ {n})}$ qayerda ${ displaystyle y_ {i} = x_ {i} + varepsilon _ {i}}$ bilan ${ displaystyle varepsilon _ {i} { overset { text {i.i.d.}} { sim}} { mathcal {N}} (0, sigma ^ {2})}$ . Shu nuqtai nazardan, ikkita eng keng tarqalgan xulosalar vazifasi ehtimollikni baholashni o'z ichiga oladi

{ displaystyle { mathcal {L}} ( mathbf {y}) = int f ( mathbf {y}, mathbf {x}) , d mathbf {x},}

yoki qiymatlari haqida bashorat qilish ${ displaystyle x}$ uchun ${ displaystyle s ^ {*} in { mathcal {S}}}$ va ${ displaystyle s not in S}$ ya'ni hisoblash

{ displaystyle f (x (s ^ {*}) mid y_ {1}, dots, y_ {n}).}

Asl formulalar

Original Vecchia usuli kuzatuvlarning qo'shma zichligini kuzatishdan boshlanadi ${ displaystyle f ( mathbf {y}) = chap (y_ {1}, nuqtalar, y_ {n} o'ng)}$ shartli taqsimot mahsuloti sifatida yozilishi mumkin

{ displaystyle f ( mathbf {y}) = f (y_ {1}) prod _ {i = 2} ^ {n} f (y_ {i} mid y_ {i-1}, dots, y_ {1}).}

Vecchia taxminan ba'zi birlari uchun buni taxmin qiladi ${ displaystyle k ll n}$

{ displaystyle { hat {f}} ( mathbf {y}) = f (y_ {1}) prod _ {i = 2} ^ {n} f (y_ {i} mid y_ {i-1) }, dots, y _ { max (ik, 1)}).}

Vekxiya, shuningdek, yuqoridagi yaqinlashuvni fazoviy koordinatalari yordamida leksikografik jihatdan qayta tartiblangan kuzatuvlarga nisbatan qo'llashni taklif qildi. Uning sodda usuli ko'plab zaif tomonlarga ega bo'lsa-da, hisoblash murakkabligini kamaytirdi ${ displaystyle { mathcal {O}} (nk ^ {3})}$ . Uning ko'plab kamchiliklari keyingi umumlashmalar bilan bartaraf etildi.

Umumiy shakllantirish

Kontseptual jihatdan sodda bo'lsa-da, Vecchia taxminining taxminlari ko'pincha juda cheklovchi va noto'g'ri ekanligini isbotlaydi.^[3] Bu yillar davomida asosiy versiyada kiritilgan muhim umumlashmalar va yaxshilanishlarni ilhomlantirdi: yashirin o'zgaruvchilarni kiritish, yanada takomillashtirish va yaxshi tartib. Vecchia umumiy yaqinlashuvining turli xil maxsus holatlarini ushbu uchta element qanday tanlanganligi bo'yicha tavsiflash mumkin.^[4]

Yashirin o'zgaruvchilar

Vecchia usulining kengaytmalarini eng umumiy shaklida tavsiflash uchun aniqlang ${ displaystyle z_ {i} = (x_ {i}, y_ {i})}$ va buni e'tibor bering ${ displaystyle mathbf {z} = (z_ {1}, dots, z_ {n})}$ oldingi qismdagi kabi ushlab turiladi

{ displaystyle f ( mathbf {z}) = f (x_ {1}, y_ {1}) left ( prod _ {i = 1} ^ {n} f (x_ {i} mid z_ {1) : i-1}) right) left ( prod _ {i = 1} ^ {n} f (y_ {i} mid x_ {i}) right)}

chunki berilgan ${ displaystyle x_ {i}}$ boshqa barcha o'zgaruvchilar mustaqil ${ displaystyle y_ {i}}$ .

Buyurtma berish

Qachon koordinatalarga asoslangan asl leksikografik buyurtma berilganligi keng qayd etilgan ${ displaystyle { mathcal {S}}}$ ikki o'lchovli bo'lib, yomon natijalarga olib keladi.^[5] Yaqinda yana bir buyurtma taklif qilindi, ularning ba'zilari ballarni kvaziy-tasodifiy tartibda buyurtma qilishni ta'minlaydi. Keng miqyosli, ular aniqlikni keskin yaxshilashi ham ko'rsatilgan.^[3]

Konditsionerlik

Yuqorida tavsiflangan asosiy versiyaga o'xshash, ma'lum bir buyurtma uchun umumiy Vecchia yaqinlashuvi quyidagicha ta'riflanishi mumkin

{ displaystyle { hat {f}} ( mathbf {z}) = f (x_ {1}, y_ {1}) left ( prod _ {i = 1} ^ {n} f (x_ {i) } mid z_ {q (i)}) o'ng) chap ( prod _ {i = 1} ^ {n} f (y_ {i} mid x_ {i}) o'ng),}

qayerda ${ displaystyle q (i) subset left {1, dots, i-1 right }}$ . Beri ${ displaystyle y_ {i} perp x _ {- i}, y _ {- i} x_ {i}}$ bundan kelib chiqadiki ${ displaystyle f (x_ {i} mid z_ {q (i)}) = f (x_ {i} mid x_ {q} (i), y_ {q} (i)) = f (x_ {i) } x_ o'rtada {q} (i))}$ chunki bu shartlarni taklif qilmoqda ${ displaystyle f (x_ {i} mid z_ {q (i)})}$ bilan almashtirilsin ${ displaystyle f (x_ {i} mid x_ {q (i)})}$ . Ammo, ba'zida ba'zi kuzatuvlarga shart qo'yadigan narsa chiqadi ${ displaystyle z_ {i}}$ ning aniqlik matritsasining Xoleski omilining siyrakligini oshiradi ${ displaystyle ( mathbf {x}, mathbf {y})}$ . Shuning uchun, buning o'rniga to'plamlarni ko'rib chiqish mumkin ${ displaystyle q_ {y} (i)}$ va ${ displaystyle q_ {x} (i)}$ shu kabi ${ displaystyle q (i) = q_ {y} (i) cup q_ {x} (i)}$ va ifoda eting ${ displaystyle { hat {f}}}$ kabi

{ displaystyle { hat {f}} ( mathbf {z}) = f (x_ {1}, y_ {1}) left ( prod _ {i = 1} ^ {n} f (x_ {i) } mid x_ {q_ {x} (i)}, y_ {q_ {y} (i)}) right) left ( prod _ {i = 1} ^ {n} f (y_ {i} ) x_ o'rtalarida {i}) o'ng).}

Tanlashning bir nechta usullari ${ displaystyle q_ {y} (i)}$ va ${ displaystyle q_ {x} (i)}$ taklif qilingan, xususan, eng yaqin qo'shni Gauss jarayoni (NNGP) va ko'p rezolyutsiya (MRA) usullaridan foydalangan holda ${ displaystyle q (i) = q_ {x} (i)}$ , standart Vecchia yordamida ${ displaystyle q (i) = q_ {y} (i)}$ va ikkalasi ham siyrak General Vecchia ${ displaystyle q_ {y} (i)}$ va ${ displaystyle q_ {x} (i)}$ bo'sh emas.^[4]

Dasturiy ta'minot

Vecchia yaqinlashuvining ba'zi variantlarini amalga oshiradigan bir nechta paketlar ishlab chiqilgan.

GPvecchia orqali mavjud bo'lgan R to'plamidir CRAN (R dasturlash tili) Vecchia taxminining aksariyat versiyalarini amalga oshiradi
GpGp orqali R to'plami mavjud CRAN (R dasturlash tili) aniqlik darajasini sezilarli darajada yaxshilaydigan fazoviy muammolar uchun o'lchovli buyurtma berish usulini amalga oshiradi.
spNNGP orqali mavjud bo'lgan R to'plamidir CRAN (R dasturlash tili) yashirin Vecchia yaqinlashishini amalga oshiradi
pyMRA orqali mavjud bo'lgan Python to'plami pyPI dinamik-kosmik modellarda qo'llaniladigan umumiy Vecchia usulining alohida holati bo'lgan ko'p aniqlikdagi yaqinlashtirishni amalga oshirish

Izohlar

^ Pourahmadi, M. (2007). "Xoleskiy parchalanishi va kovaryans matritsasini baholash: o'zgaruvchanlik korrelyatsion parametrlarining ortogonalligi". Biometrika. 94 (4): 1006–1013. doi:10.1093 / biomet / asm073. ISSN 0006-3444.
^ Xare, Kshitij; Rajaratnam, Bala (2011). "Parchalanadigan kovaryans grafikasi modellari uchun istaklarni taqsimlash". Statistika yilnomalari. 39 (1): 514–555. doi:10.1214 / 10-AOS841. ISSN 0090-5364.
^ ^a ^b Ginnes, Jozef (2018). "Gauss jarayoniga yaqinlashtirishni keskinlashtirish uchun perermutatsiya va guruhlash usullari". Texnometriya. 60 (4): 415–429. doi:10.1080/00401706.2018.1437476. ISSN 0040-1706. PMC 6707751.
^ ^a ^b Katsfuss, Matias; Ginnes, Jozef. "Vekchiya Gauss jarayonlarini taxminiy hisoblashning umumiy asoslari". arXiv:1708.06302 [stat.CO ].
^ Sudipto Banerji; Bredli P. Karlin; Alan E. Gelfand (2014 yil 12-sentyabr). Fazoviy ma'lumotlar uchun ierarxik modellashtirish va tahlil qilish, ikkinchi nashr. CRC Press. ISBN 978-1-4398-1917-3.

[Pourahmadi2007-1] Pourahmadi, M. (2007). "Xoleskiy parchalanishi va kovaryans matritsasini baholash: o'zgaruvchanlik korrelyatsion parametrlarining ortogonalligi". Biometrika. 94 (4): 1006–1013. doi:10.1093 / biomet / asm073. ISSN 0006-3444.

[KhareRajaratnam2011-2] Xare, Kshitij; Rajaratnam, Bala (2011). "Parchalanadigan kovaryans grafikasi modellari uchun istaklarni taqsimlash". Statistika yilnomalari. 39 (1): 514–555. doi:10.1214 / 10-AOS841. ISSN 0090-5364.

[Guinness2018-3] Ginnes, Jozef (2018). "Gauss jarayoniga yaqinlashtirishni keskinlashtirish uchun perermutatsiya va guruhlash usullari". Texnometriya. 60 (4): 415–429. doi:10.1080/00401706.2018.1437476. ISSN 0040-1706. PMC 6707751.

[Katzfuss2017-4] Katsfuss, Matias; Ginnes, Jozef. "Vekchiya Gauss jarayonlarini taxminiy hisoblashning umumiy asoslari". arXiv:1708.06302 [stat.CO ].

[BanerjeeCarlin2014-5] Sudipto Banerji; Bredli P. Karlin; Alan E. Gelfand (2014 yil 12-sentyabr). Fazoviy ma'lumotlar uchun ierarxik modellashtirish va tahlil qilish, ikkinchi nashr. CRC Press. ISBN 978-1-4398-1917-3.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]