Vinogradovlar o'rtacha qiymat teoremasi - Vinogradovs mean-value theorem - Wikipedia

Matematikada, Vinogradovning o'rtacha qiymat teoremasi teng son uchun taxminiy hisoblanadi vakolatlar summasi.Bu muhim tengsizlik analitik sonlar nazariyasi uchun nomlangan I. M. Vinogradov.

Aniqrog'i, ruxsat bering ${ displaystyle J_ {s, k} (X)}$ tizimiga echimlar sonini hisoblash ${ displaystyle k}$ bir vaqtda Diofant tenglamalari yilda ${ displaystyle 2s}$ tomonidan berilgan o'zgaruvchilar

${ displaystyle x_ {1} ^ {j} + x_ {2} ^ {j} + cdots + x_ {s} ^ {j} = y_ {1} ^ {j} + y_ {2} ^ {j} + cdots + y_ {s} ^ {j} quad (1 leq j leq k)}$

bilan

${ displaystyle 1 leq x_ {i}, y_ {i} leq X, (1 leq i leq s)}$.

Ya'ni, teng miqdordagi atamalar bilan teng kuchlar yig'indisi sonini hisoblaydi (${ displaystyle s}$) va teng ko'rsatkichlar (${ displaystyle j}$),qadar ${ displaystyle k}$vakolatlar va vakolatlarga qadar ${ displaystyle X}$. Uchun alternativ analitik ifoda ${ displaystyle J_ {s, k} (X)}$ bu

${ displaystyle J_ {s, k} (X) = int _ {[0,1) ^ {k}} | f_ {k} ( mathbf { alpha}; X) | ^ {2s} d mathbf { alfa}}$

qayerda

${ displaystyle f_ {k} ( mathbf { alpha}; X) = sum _ {1 leq x leq X} exp (2 pi i ( alpha _ {1} x + cdots + alfa) _ {k} x ^ {k})).}$

Vinogradovning o'rtacha qiymat teoremasi yuqori chegara ning qiymati bo'yicha ${ displaystyle J_ {s, k} (X)}$.

Uchun kuchli taxmin ${ displaystyle J_ {s, k} (X)}$ ning muhim qismidir Hardy-Littlewood usuli hujum uchun Waring muammosi va shuningdek, nolga teng mintaqani namoyish qilish uchun Riemann zeta-funktsiyasi ichida muhim chiziq.^[1] Har xil chegaralar ishlab chiqarilgan ${ displaystyle J_ {s, k} (X)}$, ning turli nisbiy diapazonlari uchun amal qiladi ${ displaystyle s}$ va ${ displaystyle k}$. Teoremaning klassik shakli qachon qo'llaniladi ${ displaystyle s}$ jihatidan juda katta ${ displaystyle k}$.

Vinogradovning o'rtacha qiymat gumoni dalillarini tahlilini Bourbaki Séminaire nutqida topish mumkin. Lillian Pirs.^[2]

Pastki chegaralar

Inobatga olgan holda ${ displaystyle X ^ {s}}$ echimlar qaerda

${ displaystyle x_ {i} = y_ {i}, (1 leq i leq s)}$

buni ko'rish mumkin ${ displaystyle J_ {s, k} (X) gg X ^ {s}}$.

Keyinchalik ehtiyotkorlik bilan tahlil qiling (Vaughan-ga qarang ^[3] 7.4) tenglama pastki chegarani beradi

${ displaystyle J_ {s, k} gg X ^ {s} + X ^ {2s - { frac {1} {2}} k (k + 1)}.}$

Asosiy taxmin va dalil

Vinogradovning o'rtacha qiymat teoremasining asosiy gumoni shundaki, yuqori chegara ushbu pastki chegaraga yaqin. Aniqrog'i har qanday kishi uchun ${ displaystyle epsilon> 0}$ bizda ... bor

${ displaystyle J_ {s, k} (X) ll X ^ {s + epsilon} + X ^ {2s - { frac {1} {2}} k (k + 1) + epsilon}.}$

Agar

${ displaystyle s geq { frac {1} {2}} k (k + 1)}$

bu chegaralanganga teng

${ displaystyle J_ {s, k} (X) ll X ^ {2s - { frac {1} {2}} k (k + 1) + epsilon}.}$

Xuddi shunday, agar ${ displaystyle s leq { frac {1} {2}} k (k + 1)}$ taxminiy shakli bog'langanga tengdir

${ displaystyle J_ {s, k} (X) ll X ^ {s + epsilon}.}$

Teoremaning kuchli shakllari uchun asimptotik ifodaga olib keladi ${ displaystyle J_ {s, k}}$, xususan, katta uchun ${ displaystyle s}$ ga bog'liq ${ displaystyle k}$ ifoda

${ displaystyle J_ {s, k} sim { mathcal {C}} (s, k) X ^ {2s - { frac {1} {2}} k (k + 1)},}$

qayerda ${ displaystyle { mathcal {C}} (s, k)}$ ko'pi bilan bog'liq bo'lgan qat'iy musbat son ${ displaystyle s}$ va ${ displaystyle k}$, ushlab turadi.

2015 yil 4-dekabr kuni, Jan Burgin, Ciprian Demeter va Larri Gut Vinogradovning o'rtacha qiymat teoremasining isboti haqida e'lon qildi.^[4][5]

Vinogradov bog'langan

Vinogradovning 1935 yilgi asl teoremasi ^[6] buni sobit uchun ko'rsatdi ${ displaystyle s, k}$ bilan

${ displaystyle s geq k ^ {2} log (k ^ {2} + k) + { frac {1} {4}} k ^ {2} + { frac {5} {4}} k +1}$

ijobiy doimiy mavjud ${ displaystyle D (s, k)}$ shu kabi

${ displaystyle J_ {s, k} (X) leq D (s, k) ( log X) ^ {2s} X ^ {2s - { frac {1} {2}} k (k + 1)) + { frac {1} {2}}}.}$

Garchi bu birinchi darajali natija bo'lsa-da, u to'liq taxmin qilingan shaklga to'g'ri kelmaydi. Buning o'rniga u qachon taxmin qilingan shaklni namoyish etadi

${ displaystyle epsilon> { frac {1} {2}}}$.

Keyingi yaxshilanishlar

Vinogradovning yondashuvi Karatsuba tomonidan takomillashtirildi^[7] va Stechkin^[8] buni kim ko'rsatdi ${ displaystyle s geq k}$ ijobiy doimiy mavjud ${ displaystyle D (s, k)}$ shu kabi

${ displaystyle J_ {s, k} (X) leq D (s, k) X ^ {2s - { frac {1} {2}} k (k + 1) + eta _ {s, k} },}$

qayerda

${ displaystyle eta _ {s, k} = { frac {1} {2}} k ^ {2} chap (1 - { frac {1} {k}} o'ng) ^ { chap [ { frac {s} {k}} right]} leq k ^ {2} e ^ {- s / k ^ {2}}.}$

Shuni ta'kidlash kerak

${ displaystyle s> k ^ {2} (2 log k- log epsilon)}$

bizda ... bor

${ displaystyle eta _ {s, k} < epsilon}$,

bu taxminiy shakl uchun amal qilishini isbotlaydi ${ displaystyle s}$ ushbu o'lchamdagi.

Asimptotik taxminni isbotlash uchun usulni yanada aniqlashtirish mumkin

${ displaystyle J_ {s, k} sim { mathcal {C}} (s, k) X ^ {2s - { frac {1} {2}} k (k + 1)},}$

katta uchun ${ displaystyle s}$ xususida ${ displaystyle k}$.

2012 yilda Vuli^[9] assortimentini yaxshilagan ${ displaystyle s}$ buning uchun taxminiy shakl mavjud. U buni isbotladi

${ displaystyle k geq 2}$ va ${ displaystyle s geq k (k + 1)}$

va har qanday kishi uchun ${ displaystyle epsilon> 0}$ bizda ... bor

${ displaystyle J_ {s, k} (X) ll X ^ {2s - { frac {1} {2}} k (k + 1) + epsilon}.}$

Ford va Vuli^[10] taxminiy shakl kichik uchun o'rnatilishini ko'rsatdi ${ displaystyle s}$ xususida ${ displaystyle k}$. Ayniqsa, ular buni ko'rsatmoqdalar

${ displaystyle k geq 4}$

va

${ displaystyle 1 leq s leq { frac {1} {4}} (k + 1) ^ {2}}$

har qanday kishi uchun ${ displaystyle epsilon> 0}$

bizda ... bor

${ displaystyle J_ {s, k} (X) ll X ^ {s + epsilon}.}$

Adabiyotlar