Vayl juftligi - Weil pairing

Yilda matematika, Vayl juftligi a juftlashtirish (bilinear shakl bilan bo'lsa ham multiplikativ yozuv ) tartibni ajratish nuqtalari bo'yicha n ning elliptik egri chiziq E, qiymatlarni hisobga olgan holda nth birlikning ildizlari. Umuman olganda, buyurtma punktlari o'rtasida o'xshash Vayl juftligi mavjud n abeliya navlari va uning ikkiliklari. Tomonidan kiritilgan Andr Vayl (1940 ) mavhum algebraik ta'rif bergan egri chiziqli yakobiyaliklar uchun; uchun tegishli natijalar elliptik funktsiyalar ma'lum bo'lgan va ulardan foydalanish bilan ifodalanishi mumkin Weierstrass sigma funktsiyasi.

Formulyatsiya

Elliptik egri chiziqni tanlang E a orqali aniqlangan maydon Kva butun son n > 0 (biz talab qilamiz n char ga bosh bo'lish (K) agar char (K)> 0) shunday K o'z ichiga oladi birlikning ibtidoiy n-ildizi. Keyin n- majburiy ${ displaystyle E ({ overline {K}})}$ a bo'lishi ma'lum Dekart mahsuloti ikkitadan tsiklik guruhlar tartib n. Vayl juftligi an n-birlikning ildizi

{ displaystyle w (P, Q) in mu _ {n}}

orqali Kummer nazariyasi, har qanday ikkita nuqta uchun ${ displaystyle P, Q in E (K) [n]}$ , qayerda ${ displaystyle E (K) [n] = {T in E (K) n n cdot T = O }}$ va ${ displaystyle mu _ {n} = {x in K mid x ^ {n} = 1 }}$ .

Vayl juftligini yerga qurish quyidagicha. Funktsiyani tanlang F ichida funktsiya maydoni ning E ustidan algebraik yopilish ning K bilan bo'luvchi

{ displaystyle mathrm {div} (F) = sum _ {0 leq k

Shunday qilib F har bir nuqtada oddiy nolga ega P + kQva har bir nuqtada oddiy qutb kQ agar bu fikrlarning barchasi bir-biridan farq qiladigan bo'lsa. Keyin F doimiy bilan ko'paytirilguncha yaxshi aniqlangan. Agar G ning tarjimasi F tomonidan Q, keyin qurilish yo'li bilan G bir xil bo'luvchiga ega, shuning uchun funktsiya G / F doimiy.

Shuning uchun agar biz aniqlasak

{ displaystyle w (P, Q): = { frac {G} {F}}}

bizda bor n-birlik ildizi (tarjima sifatida) n vaqtlar 1) dan boshqasini berishi kerak. Ushbu ta'rif bilan buni ko'rsatish mumkin w o'zgaruvchan va aniq^[1] degenerativ bo'lmagan juftlikni keltirib chiqaradi n-sozlik.

Vayl juftligi barcha burish nuqtalarida (to'g'ridan-to'g'ri chegara) juftlikka taalluqli emas n-ko'chirish nuqtalari), chunki har xil uchun juftliklar n bir xil emas. Biroq, ular juftlik berish uchun bir-biriga mos keladi T_ℓ(E) × T_ℓ(E) → T_ℓ(m) bo'yicha Tate moduli T_ℓ(E) elliptik egri chiziq E (ℓ ning teskari chegarasiⁿ-tsion nuqtalari) Tate moduliga T_ℓmultiplikativ guruhning (m) (teskari chegarasi ℓⁿ birlikning ildizlari).

Abelyan navlariga umumlashtirish

Uchun abeliya navlari algebraik yopiq maydon ustida K, Vayl juftligi noaniq juftlik

{ displaystyle A [n] times A ^ { vee} [n] longrightarrow mu _ {n}}

Barcha uchun n xarakteristikasiga asosiy K.^[2] Bu yerda ${ displaystyle A ^ { vee}}$ belgisini bildiradi er-xotin abeliya xilma-xilligi ning A. Bu shunday deb nomlangan Vayl juftligi yuqori o'lchamlar uchun. Agar A bilan jihozlangan qutblanish

{ displaystyle lambda: A longrightarrow A ^ { vee}}

,

unda kompozitsiya (ehtimol degeneratsiya) juftligini beradi

{ displaystyle A [n] times A [n] longrightarrow mu _ {n}.}

Agar C ≥ 0 jinsning proektsion, bir xil bo'lmagan egri chizig'i kva J uning Jacobian, keyin teta-bo'luvchi ning J ning asosiy qutblanishini keltirib chiqaradi J, bu alohida holatda izomorfizmga aylanadi (qarang yakobiyaliklarning avtodualligi ). Demak, Vayl juftligini tuzish J qutblanish bilan noaniq juftlik beradi

{ displaystyle J [n] marta J [n] longrightarrow mu _ {n}}

Barcha uchun n xarakteristikasiga asosiy k.

Elliptik egri chiziqlarda bo'lgani kabi, bu juftlik uchun aniq formulalar jihatidan berilishi mumkin bo'linuvchilar ning C.

Ilovalar

Juftlik ishlatiladi sonlar nazariyasi va algebraik geometriya, va shuningdek qo'llanilgan egri chiziqli kriptografiya va identifikatsiyaga asoslangan shifrlash.

Shuningdek qarang

Adabiyotlar

^ Silverman, Jozef (1986). Elliptik egri chiziqlar arifmetikasi. Nyu-York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96203-4.
^ Jeyms Milne, Abeliya navlari, www.jmilne.org/math/ saytida mavjud

Vayl, Andre (1940), "Sur les fonctions algébriques à corps de constantes fini", Les Comptes rendus de l'Académie des fanlar, 210: 592–594, JANOB 0002863

Tashqi havolalar

V bo'yicha elliptik egri chiziqlar bo'yicha juftlik (PDF)

[1] Silverman, Jozef (1986). Elliptik egri chiziqlar arifmetikasi. Nyu-York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96203-4.

[2] Jeyms Milne, Abeliya navlari, www.jmilne.org/math/ saytida mavjud

[1]

[2]