Whitham tenglamasi - Whitham equation

Yilda matematik fizika, Whitham tenglamasi uchun mahalliy bo'lmagan modeldir chiziqli emas tarqoq to'lqinlar. ^[1][2][3]

Tenglama quyidagicha belgilanadi:

${ displaystyle { frac { kısalt eta} { qismli t}} + alfa eta { frac { qismli eta} { qismli x}} + int _ {- infty} ^ {+ infty} K (x- xi) , { frac { qismli eta ( xi, t)} { qism xi}} , { text {d}} xi = 0.}$

Bu integral-differentsial tenglama tebranuvchi o'zgaruvchi uchun η(x,t) nomi berilgan Jerald Uitham uni o'rganish uchun namuna sifatida kim kiritgan buzish chiziqli bo'lmagan dispersiv suv to'lqinlari 1967 yilda.^[4] To'lqinlarning chegaralanmagan chegaralangan echimlari hosilalar - chunki Whitham tenglamasi yaqinda isbotlangan.^[5]

Ning ma'lum bir tanlovi uchun yadro K(x − ξ) ga aylanadi Fornberg-Uitham tenglamasi.

Suv to'lqinlari

Dan foydalanish Furye konvertatsiyasi (va uning teskari), kosmik koordinatasiga nisbatan x va jihatidan gulchambar k:

• Uchun sirt tortishish to'lqinlari, o'zgarishlar tezligi v(k) wavenumber vazifasi sifatida k quyidagicha qabul qilinadi:^[4]

${ displaystyle c _ { text {ww}} (k) = { sqrt {{ frac {g} {k}} , tanh (kh)}},}$   esa   ${ displaystyle alpha _ { text {ww}} = { frac {3} {2}} { sqrt { frac {g} {h}}},}$

bilan g The tortishish tezlashishi va h The anglatadi suv chuqurligi. Bilan bog'liq yadro K_ww(s) teskari Fourier konvertatsiyasidan foydalangan holda:^[4]

${ displaystyle K _ { text {ww}} (s) = { frac {1} {2 pi}} int _ {- infty} ^ {+ infty} c _ { text {ww}} ( k) , { text {e}} ^ {iks} , { text {d}} k = { frac {1} {2 pi}} int _ {- infty} ^ {+ infty} c _ { text {ww}} (k) , cos (ks) , { text {d}} k,}$

beri v_ww paxtakorning teng funktsiyasi k.

• The Korteweg – de Fris tenglamasi (KdV tenglamasi) a ning dastlabki ikkita hadini saqlab qolganda paydo bo'ladi ketma-ket kengayish ning v_ww(k) uchun uzun to'lqinlar bilan x ≪ 1:^[4]

${ displaystyle c _ { text {kdv}} (k) = { sqrt {gh}} left (1 - { frac {1} {6}} k ^ {2} h ^ {2} right) ,}$   ${ displaystyle K _ { text {kdv}} (s) = { sqrt {gh}} left ( delta (s) + { frac {1} {6}} h ^ {2} , delta ^ { prime prime} (s) right),}$   ${ displaystyle alpha _ { text {kdv}} = { frac {3} {2}} { sqrt { frac {g} {h}}},}$

bilan δ(s) Dirac delta funktsiyasi.

• Bengt Fornberg va Jerald Uitam yadroni o'rganib chiqishdi K_fw(s) – o'lchovsiz foydalanish g va h:^[6]

${ displaystyle K _ { text {fw}} (s) = { frac {1} {2}} nu { text {e}} ^ {- nu | s |}}$   va   ${ displaystyle c _ { text {fw}} = { frac { nu ^ {2}} { nu ^ {2} + k ^ {2}}},}$   bilan   ${ displaystyle alpha _ { text {fw}} = { frac {3} {2}}.}$

Natijada integral-differentsial tenglama deb nomlanuvchi qisman differentsial tenglamaga keltirish mumkin Fornberg-Uitham tenglamasi:^[6]

${ displaystyle chap ({ frac { qismli ^ {2}} { qisman x ^ {2}}} - nu ^ {2} o'ng) chap ({ frac { kısalt eta} { qismli t}} + { frac {3} {2}} , eta , { frac { qismli eta} { qisman x}} o'ng) + { frac { qismli eta} { qisman x}} = 0.}$

Ushbu tenglama ruxsat berish uchun ko'rsatilgan pikon echimlar - balandlikni cheklaydigan to'lqinlar uchun namuna sifatida - shuningdek to'lqinlarning sinishi (zarba to'lqinlari, masalan, yo'q Korteweg – de Vriz tenglamasining echimlari).^[6][3]

Izohlar va ma'lumotnomalar

Izohlar

Adabiyotlar