Abstrakt sonlar nazariyasi - Abstract analytic number theory

Abstrakt sonlar nazariyasi ning filialidir matematika bu klassik g'oyalar va texnikani oladi analitik sonlar nazariyasi va ularni turli xil matematik sohalarda qo'llaydi. Klassik asosiy sonlar teoremasi prototipik namuna bo'lib xizmat qiladi va mavhumlikka urg'u beriladi asimptotik tarqalish natijalari. Kabi matematiklar tomonidan nazariya ixtiro qilingan va ishlab chiqilgan Jon Knopfmacher va Arne Byorling yigirmanchi asrda.

Arifmetik yarim guruhlar

Buning asosiy tushunchasi an arifmetik yarim guruh, bu a kommutativ monoid G quyidagi xususiyatlarni qondirish:

• Mavjud a hisoblanadigan kichik to'plam (cheklangan yoki cheksiz) P ning G, shunday qilib har bir element a ≠ 1 dyuym G shaklning o'ziga xos faktorizatsiyasiga ega

${ displaystyle a = p_ {1} ^ { alfa _ {1}} p_ {2} ^ { alfa _ {2}} cdots p_ {r} ^ { alpha _ {r}}}$

qaerda p_men ning aniq elementlari P, a_men ijobiy butun sonlar, r bog'liq bo'lishi mumkin a, va agar ular faqat ko'rsatilgan omillarning tartibiga ko'ra farq qilsalar, ikkita faktorizatsiya bir xil deb hisoblanadi. Ning elementlari P deyiladi asosiy ning G.

• Mavjud a haqiqiy - baholangan normalarni xaritalash ${ displaystyle | { mbox {}} |}$ kuni G shu kabi
  1. ${ displaystyle | 1 | = 1}$
  2. ${ displaystyle | p |> 1 { mbox {barchasi uchun}} p in P}$
  3. ${ displaystyle | ab | = | a || b | { mbox {barchasi uchun}} a, b G da$
  4. Umumiy raqam ${ displaystyle N_ {G} (x)}$ elementlarning ${ displaystyle a in G}$ norma ${ displaystyle | a | leq x}$ har bir haqiqiy uchun cheklangan ${ displaystyle x> 0}$.

Qo'shimcha sanoq tizimlari

An qo'shimchalar soni tizimi bu asosiy monoid bo'lgan arifmetik yarim guruhdir G bu bepul abeliya. Norm funktsiyasi qo'shimcha ravishda yozilishi mumkin.^[1]

Agar norma butun songa teng bo'lsa, biz hisoblash funktsiyalarini birlashtiramiz a(n) va p(n) bilan G qayerda p ning elementlari sonini hisoblaydi P norma nva a ning elementlari sonini hisoblaydi G norma n. Biz ruxsat berdik A(x) va P(x) tegishli bo'lishi kerak rasmiy quvvat seriyalari. Bizda asosiy o'ziga xoslik^[2]

${ displaystyle A (x) = sum _ {n} a (n) x ^ {n} = prod _ {n} (1-x ^ {n}) ^ {- p (n)} }$

ning har bir elementining o'ziga xos ifodasini rasmiy ravishda kodlaydigan G elementlarining hosilasi sifatida P. The yaqinlashuv radiusi ning G bo'ladi yaqinlashuv radiusi quvvat seriyasining A(x).^[3]

Asosiy identifikatsiya muqobil shaklga ega^[4]

${ displaystyle A (x) = exp left ({ sum _ {m geq 1} { frac {P (x ^ {m})} {m}}} right) .}$

Misollar

• Arifmetik yarim guruhning prototipik misoli multiplikativ hisoblanadi yarim guruh ning ijobiy butun sonlar G = Z⁺ = {1, 2, 3, ...}, ratsional kichik to'plam bilan asosiy P = {2, 3, 5, ...}. Bu erda butun sonning normasi sodda ${ displaystyle | n | = n}$, Shuning uchun; ... uchun; ... natijasida ${ displaystyle N_ {G} (x) = lfloor x rfloor}$, eng katta tamsayı oshmasligi kerak x.

• Agar K bu algebraik sonlar maydoni, ya'ni ning kengaytirilgan kengaytmasi maydon ning ratsional sonlar Q, keyin to'plam G noldan tashqari ideallar ichida uzuk butun sonlar O_K ning K identifikatsiya elementi bilan arifmetik yarim guruhni tashkil qiladi O_K va ideal normasi Men uzukning asosiy kuchi bilan berilgan O_K/Men. Bunday holda, asosiy sonlar teoremasining tegishli umumlashtirilishi Landau bosh ideal teoremasi ideallarning asimptotik taqsimlanishini tavsiflaydi O_K.

• Turli xil arifmetik toifalar Krull-Shmidt tipidagi teoremani qondiradigan masalalarni ko'rib chiqish mumkin. Ushbu holatlarning barchasida G tegishli izomorfizm sinflari toifasi va P ning barcha izomorfizm sinflaridan iborat ajralmas ob'ektlar, ya'ni nolga teng bo'lmagan narsalarning to'g'ridan-to'g'ri mahsuloti sifatida ajralishi mumkin bo'lmagan narsalar. Ba'zi odatiy misollar quyidagilar.
  • Hammaning toifasi cheklangan abeliy guruhlari odatdagi to'g'ridan-to'g'ri mahsulot ishlashi va me'yor xaritasi ostida ${ displaystyle | A | = operator nomi {karta} (A).}$ Ajralib bo'lmaydigan ob'ektlar tsiklik guruhlar asosiy kuch buyurtmasi.
  • Hammaning toifasi ixcham oddiy bog'langan global nosimmetrik Riemann manifoldlar Riemann mahsuloti ostida manifoldlar va normalarni xaritalash ${ displaystyle | M | = c ^ { dim M},}$ qayerda v > 1 aniq va xira M ning ko'p qirrali o'lchovini bildiradi M. Ajralmas ob'ektlar ixchamgina bog'langan qisqartirilmaydi nosimmetrik bo'shliqlar.
  • Hammaning toifasi pseudometrisable cheklangan topologik bo'shliqlar ostida topologik summa va normalarni xaritalash ${ displaystyle | X | = 2 ^ { operator nomi {card} (X)}.}$ Ajralib bo'lmaydigan narsalar bog'langan bo'shliqlar.

Usullari va usullari

Dan foydalanish arifmetik funktsiyalar va zeta funktsiyalari juda keng. Maqsad klassik analitik sonlar nazariyasidagi arifmetik funktsiyalar va zeta funktsiyalarining turli xil argumentlari va texnikalarini bir yoki bir nechta qo'shimcha aksiomalarni qondirishi mumkin bo'lgan o'zboshimchalik bilan arifmetik yarim guruh tarkibiga etkazishdir. Bunday tipik aksioma adabiyotda odatda "Aksioma A" deb nomlangan quyidagilar:

• Aksioma A. Ijobiy barqarorlar mavjud A va ${ displaystyle delta}$va doimiy ${ displaystyle nu}$ bilan ${ displaystyle 0 leq nu < delta}$, shu kabi ${ displaystyle N_ {G} (x) = Ax ^ { delta} + O (x ^ { nu}) { mbox {as}} x rightarrow infty.}$^[5]

Aksiomani qondiradigan har qanday arifmetik yarim guruh uchun A, bizda quyidagilar mavjud mavhum tub sonlar teoremasi:^[6]

${ displaystyle pi _ {G} (x) sim { frac {x ^ { delta}} { delta log x}} { mbox {as}} x rightarrow infty}$

qaerda π_G(x) = elementlarning umumiy soni p yilda P norma |p| ≤ x.

Arifmetik shakllanish

Tushunchasi arifmetik shakllanish ning umumlashtirilishini ta'minlaydi ideal sinf guruhi yilda algebraik sonlar nazariyasi va cheklovlar ostida mavhum asimptotik taqsimot natijalariga imkon beradi. Masalan, raqam maydonlari bo'lsa, bu shunday Chebotarev zichligi teoremasi. Arifmetik shakllanish bu arifmetik yarim guruhdir G ekvivalentsiya munosabati bilan ≡ shunday, bu kvant G/ ≡ cheklangan abeliya guruhidir A. Ushbu miqdor sinf guruhi shakllantirish va ekvivalentlik sinflari umumlashtirilgan arifmetik progressiyalar yoki umumlashtirilgan ideal sinflardir. Agar $ a $ bo'lsa belgi ning A unda biz a ni aniqlay olamiz Dirichlet seriyasi

${ displaystyle sum _ {g in G} chi ([g]) | g | ^ {- s}}$

arifmetik yarim guruh uchun zeta funktsiyasi tushunchasini beradi.^[7]

Shuningdek qarang

• Aksioma A, dinamik tizimlarning xususiyati
• Beurling zeta funktsiyasi

Adabiyotlar

• Burris, Stenli N. (2001). Sonlarning nazariy zichligi va mantiqiy chegara qonunlari. Matematik tadqiqotlar va monografiyalar. 86. Providence, RI: Amerika matematik jamiyati. ISBN  0-8218-2666-2. Zbl  0995.11001.
• Knopfmacher, Jon (1990) [1975]. Abstrakt sonlar nazariyasi nazariyasi (2-nashr). Nyu-York, NY: Dover Publishing. ISBN  0-486-66344-2. Zbl  0743.11002.
• Montgomeri, Xyu L.; Vaughan, Robert C. (2007). Multiplikativ sonlar nazariyasi I. Klassik nazariya. Kembrij ilg'or matematikada o'qiydi. 97. p. 278. ISBN  0-521-84903-9. Zbl  1142.11001.