Ulangan joy - Connected space

Ning ulangan va uzilgan pastki bo'shliqlari R²

Yuqoridan pastgacha: qizil bo'shliq A, pushti bo'shliq B, sariq bo'shliq C va to'q sariq bo'shliq D. hammasi ulangan, yashil maydon esa E (yasalgan pastki to'plamlar E1, E.₂, E₃va E₄) uzilgan. Bundan tashqari, A va B shuningdek oddiygina ulangan (tur 0), esa C va D. emas: C 1 va jinslarga ega D. 4-turga ega.

Yilda topologiya va tegishli tarmoqlari matematika, a ulangan bo'shliq a topologik makon deb ifodalanishi mumkin emas birlashma ikki yoki undan ko'p ajratish bo'sh emas ochiq pastki to'plamlar. Ulanish - bu asosiy narsalardan biri topologik xususiyatlar topologik bo'shliqlarni ajratish uchun ishlatiladi.

Topologik makonning kichik qismi X a ulangan to'plam agar u a sifatida qaralganda bog'langan bo'shliq bo'lsa subspace ning X.

Ba'zi bir bog'liq, ammo kuchliroq shartlar yo'l ulangan, oddiygina ulangan va n-ulangan. Boshqa tegishli tushuncha mahalliy ulangan, bu na bog'liqlikni anglatmaydi va na undan kelib chiqadi.

Rasmiy ta'rif

A topologik makon X deb aytilgan uzilgan agar bu ikkita bo'linmagan bo'sh bo'lmagan ochiq to'plamlarning birlashishi bo'lsa. Aks holda, X deb aytilgan ulangan. A kichik to'plam topologik makonning subspace topologiyasi ostida bog'langan bo'lsa, bog'langan deyiladi. Ba'zi mualliflar bo'sh to'plam (o'ziga xos topologiyasi bilan) bog'langan makon sifatida, ammo ushbu maqola ushbu amaliyotga amal qilmaydi.

Topologik makon uchun X quyidagi shartlar teng:

X ulangan, ya'ni uni ikkita bo'linmagan bo'sh bo'lmagan ochiq to'plamlarga bo'lish mumkin emas.
X bo'sh bo'lmagan ikkita bo'linishga bo'lish mumkin emas yopiq to'plamlar.
Ning yagona kichik to'plamlari X ham ochiq, ham yopiq (klopen to'plamlari ) bor X va bo'sh to'plam.
Ning yagona kichik to'plamlari X bo'sh bilan chegara bor X va bo'sh to'plam.
X ikkitasini bo'sh bo'lmagan birlashma deb yozib bo'lmaydi ajratilgan to'plamlar (har biri boshqasining yopilishidan ajralib turadigan to'plamlar).
Hammasi davomiy funktsiyalari X to {0,1} gacha doimiy, bu erda {0,1} - diskret topologiya bilan ta'minlangan ikki nuqtali bo'shliq.

Tarixiy jihatdan bu bog'liqlik tushunchasining zamonaviy formulasi (hech qanday bo'linmaslik nuqtai nazaridan X ikkita ajratilgan to'plamga) birinchi bo'lib (mustaqil ravishda) N.J.Lennes bilan paydo bo'ldi, Frigyes Riesz va Feliks Xausdorff 20-asrning boshlarida. Qarang ^[1] tafsilotlar uchun.

Bog'langan komponentlar

The maksimal ulangan pastki to'plamlar (buyurtma bo'yicha qo'shilish ) bo'sh bo'lmagan topologik bo'shliqqa ulangan komponentlar Har qanday topologik makonning tarkibiy qismlari X shakl bo'lim ningX: ular ajratish, bo'sh emas va ularning birlashishi butun makondir. Har bir komponent a yopiq ichki qism asl makon. Bundan kelib chiqadiki, agar ularning soni cheklangan bo'lsa, har bir komponent ham ochiq kichik to'plamdir. Ammo, agar ularning soni cheksiz bo'lsa, bunday bo'lmasligi mumkin; masalan, to'plamining bog'langan tarkibiy qismlari ratsional sonlar bitta nuqtali to'plamlar (singletonlar ), ular ochiq emas.

Ruxsat bering ${displaystyle Gamma _ {x}}$ ning bog'langan komponenti bo'ling x topologik makonda Xva ${displaystyle Gamma _ {x} '}$ barchaning chorrahasi bo'ling klopen o'z ichiga olgan to'plamlar x (deb nomlangan yarim komponent ning x.) Keyin ${displaystyle Gamma _ {x} subset Gamma '_ {x}}$ agar tenglik qaerda bo'lsa X ixcham Hausdorff yoki mahalliy aloqada.

Ajratilgan joylar

Barcha komponentlar bitta nuqtali to'plamlar bo'lgan bo'shliq deyiladi butunlay uzilib qoldi. Ushbu xususiyat bilan bog'liq bo'lgan joy X deyiladi butunlay ajratilgan agar har qanday ikkita alohida element uchun x va y ning X, kelishmovchilik mavjud ochiq to'plamlar U o'z ichiga olgan x va V o'z ichiga olgan y shu kabi X ning birlashmasi U va V. Shubhasiz, har qanday to'liq ajratilgan bo'shliq butunlay uzilib qolgan, ammo aksincha emas. Masalan, ratsional sonlarning ikki nusxasini oling Qva ularni noldan tashqari har bir nuqtada aniqlang. Olingan bo'shliq, topologiyani topologiyasi bilan, butunlay uzilib qolgan. Biroq, nolning ikkita nusxasini ko'rib chiqib, bo'shliq umuman ajratilmaganligini ko'radi. Aslida, bu hatto emas Hausdorff va umuman ajralib qolish sharti Xausdorff bo'lish shartidan qat'iyan kuchliroqdir.

Misollar

Yopiq oraliq $[0, 2]$ ichida standart subspace topologiyasi ulangan; garchi u, masalan, ittifoqi sifatida yozilishi mumkin $[0, 1)$ va $[1, 2]$ , tanlangan topologiyada ikkinchi to'plam ochiq emas $[0, 2]$ .
Ning birlashmasi $[0, 1)$ va $(1, 2]$ uzilib qolgan; bu ikkala interval ham standart topologik makonda ochiq $[0, 1) \cup (1, 2]$ .
$(0, 1) \cup {3}$ uzilgan.
A konveks pastki to'plami ning Rⁿ ulangan; bu aslida oddiygina ulangan.
A Evklid samolyoti (0, 0) kelib chiqishini hisobga olmaganda, ulanadi, lekin shunchaki bog'lanmaydi. Kelib chiqishi bo'lmagan uch o'lchovli Evklid fazosi bir-biriga bog'langan va hattoki oddiygina bog'langan. Aksincha, kelib chiqishi bo'lmagan bir o'lchovli Evklid fazosi bog'liq emas.
To'g'ri chiziq olib tashlangan Evklid tekisligi ulanmagan, chunki u ikkita yarim tekislikdan iborat.
ℝ, ning maydoni haqiqiy raqamlar odatdagi topologiya bilan bog'liq.
Agar $ Delta $ dan bitta nuqta ham olib tashlansa, qolgan qismi uzilib qoladi. Ammo, agar hisoblab chiqiladigan cheksiz chegara ham olib tashlansa ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ , qayerda $n \geq 2$ , qolgan qismi ulangan. Agar $n \geq 3$ , keyin ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ juda ko'p nuqtalarni olib tashlaganidan keyin oddiygina bog'langan bo'lib qoladi.
Har qanday topologik vektor maydoni, masalan. har qanday Hilbert maydoni yoki Banach maydoni, bog'langan maydon orqali (masalan ${displaystyle mathbb {R}}$ yoki ${displaystyle mathbb {C}}$ ), shunchaki bog'langan.
Har bir diskret topologik makon kamida ikkita element ajratilgan bo'lsa, aslida bunday bo'shliq butunlay uzilib qoldi. Eng oddiy misol diskret ikki nuqtali bo'shliq.^[2]
Boshqa tomondan, cheklangan to'plam ulanishi mumkin. Masalan, a spektri diskret baholash rishtasi ikki nuqtadan iborat va bir-biriga bog'langan. Bu misol Sierpiński maydoni.
The Kantor o'rnatilgan butunlay uzilib qolgan; chunki to'plam hisoblab bo'lmaydigan darajada ko'p nuqtalarni o'z ichiga oladi, shuning uchun u juda ko'p tarkibiy qismlarga ega.
Agar bo'sh joy bo'lsa X bu homotopiya ekvivalenti ulangan maydonga, keyin X o'zi bog'liqdir.
The topologning sinus egri chizig'i ulangan, ammo na yo'l bog'langan va na mahalliy bog'langan to'plamning misoli.
The umumiy chiziqli guruh ${displaystyle operator nomi {GL} (n, mathbf {R})}$ (ya'ni. guruhi n-by-n haqiqiy, qaytariladigan matritsalar) ikkita bog'langan tarkibiy qismdan iborat: biri ijobiy determinant matritsasi bilan, ikkinchisi esa salbiy determinant. Xususan, u ulanmagan. Farqli o'laroq, ${displaystyle operator nomi {GL} (n, mathbf {C})}$ ulangan. Umuman olganda, murakkab Hilbert fazosidagi qaytariladigan chegaralangan operatorlar to'plami ulangan.
Kommutativ spektrlar mahalliy halqa va integral domenlar bir-biriga bog'langan. Umuman olganda, quyidagilar tengdir^[3]
1. Kommutativ halqa spektri R ulangan
2. Har bir yakuniy proektsion modul ustida R doimiy darajaga ega.
3. R yo'q idempotent ${displaystyle eq 0,1}$ (ya'ni, R noan'anaviy tarzda ikkita halqaning hosilasi emas).

Bog'lanmagan fazoning misoli, undan cheksiz chiziq o'chirilgan tekislik. O'chirilgan bo'shliqlarning boshqa misollariga (ya'ni, bog'lanmagan bo'shliqlar) an bilan tekislik kiradi halqa olib tashlandi, shuningdek ikkala birlashma yopildi disklar, bu erda ushbu xatboshining barcha misollari keltirilgan subspace topologiyasi ikki o'lchovli Evklid fazosi tomonidan qo'zg'atilgan.

Yo'lning ulanishi

Ushbu subspace R² yo'l bilan bog'langan, chunki bo'shliqdagi istalgan ikki nuqta o'rtasida yo'l chizish mumkin.

A yo'l bilan bog'langan bo'shliq a tuzilishini talab qiladigan kuchli bog'liqlik tushunchasidir yo'l. A yo'l bir nuqtadan x bir nuqtaga y a topologik makon X doimiy funktsiya ƒ dan birlik oralig'i [0,1] dan X bilan ƒ(0) = x va ƒ(1) = y. A yo'l komponentasi ning X bu ekvivalentlik sinfi ning X ostida ekvivalentlik munosabati qiladi x ga teng y agar yo'l bo'lsa x ga y. Bo'sh joy X deb aytilgan yo'l bilan bog'langan (yoki yo'l bo'ylab ulangan yoki 0 ulangan) aynan bitta yo'l komponentasi bo'lsa, ya'ni har qanday ikkita nuqtani birlashtiradigan yo'l bo'lsa X. Shunga qaramay, ko'plab mualliflar bo'sh joyni istisno qiladilar (shu bilan birga, ushbu bo'shliqqa bo'shliq yo'l bilan bog'lanmagan, chunki u nol yo'l komponentlariga ega; bo'sh to'plamda nol ekvivalentlik sinflariga ega bo'lgan noyob ekvivalentlik munosabati mavjud).

Har qanday yo'l bilan bog'langan bo'shliq ulanadi. Buning teskari tomoni har doim ham to'g'ri kelmaydi: yo'l bilan bog'lanmagan bog'langan bo'shliqlarning misollariga kengaytirilgan kiradi uzun chiziq L* va topologning sinus egri chizig'i.

Ning kichik to'plamlari haqiqiy chiziq R ulangan agar va faqat agar ular yo'l bilan bog'langan; bu kichik to'plamlar intervallar ning R.Shuningdek, ning pastki to'plamlari Rⁿ yoki Cⁿ agar ular faqat yo'lga bog'langan bo'lsa, ulanadi.Qo'shimcha ravishda, ulanish va yo'l bilan bog'liqlik bir xil bo'ladi cheklangan topologik bo'shliqlar.

Arkning ulanishi

Bo'sh joy X deb aytilgan boshq bilan bog'langan yoki yoy bilan bog'langan agar har qanday ikkita aniq nuqta an bilan qo'shilishi mumkin bo'lsa yoy, bu yo'l ƒ bu gomeomorfizm birlik oralig'i [0, 1] va uning orasidagi rasm ƒ([0, 1]). Buni har birida ko'rsatish mumkin Hausdorff maydoni yo'l bilan bog'langan, shuningdek, boshq bilan bog'langan. Yo'l bilan bog'langan, ammo kamonga ulanmagan bo'shliqning misoli [0, ∞) haqiqiy bo'lmagan sonlarga 0 'ning ikkinchi nusxasini qo'shish orqali keltirilgan. Ulardan biri ushbu to'plamni a bilan ta'minlaydi qisman buyurtma 0 'a har qanday ijobiy raqam uchun a, lekin 0 va 0 'ni solishtirib bo'lmaydi. Keyin bittasi ushbu to'plamni buyurtma topologiyasi. Ya'ni, ochiq oraliqlarni oladi (a, b) = {x | a < x < b} va yarim ochiq intervallar [0,a) = {x | 0 ≤ x <a}, [0', a) = {x | 0' ≤ x < a} kabi tayanch topologiya uchun. Olingan bo'shliq a T₁ bo'sh joy, lekin a Hausdorff maydoni. Shubhasiz 0 va 0 'yo'l bilan bog'lanishi mumkin, ammo bu bo'shliqda yoy bilan emas.

Mahalliy ulanish

Topologik makon deyiladi mahalliy ulangan bir nuqtada x agar har bir mahalla x bog'langan ochiq mahallani o'z ichiga oladi. Bu mahalliy ulangan agar u bo'lsa tayanch ulangan to'plamlarning. Bu bo'sh joy ekanligini ko'rsatish mumkin X agar har bir ochiq to'plamning har bir tarkibiy qismi bo'lsa, mahalliy darajada bog'langan X ochiq.

Xuddi shunday, topologik makon deyiladi mahalliy yo'l bilan bog'liq agar u yo'l bilan bog'langan to'plamlar bazasiga ega bo'lsa.Mahalliy yo'l bilan bog'langan bo'shliqning ochiq pastki qismi, agar u faqat yo'lga ulangan bo'lsa, ulanadi.Bu avvalgi bayonotni umumlashtiradi Rⁿ va Cⁿ, ularning har biri mahalliy yo'l bilan bog'langan. Umuman olganda, har qanday topologik manifold mahalliy yo'l bilan bog'langan.

Topologning sinus egri chizig'i bog'langan, ammo u mahalliy darajada bog'liq emas

Mahalliy ulangan ulangan degani emas, shuningdek, mahalliy yo'l bilan bog'langan degani emas. Bog'lanmagan (yoki yo'l bilan bog'langan) lokal ravishda bog'langan (va mahalliy yo'l bilan bog'langan) makonning oddiy misoli bu ikkitaning birlashishi ajratilgan intervallar ${displaystyle mathbb {R}}$ , kabi ${displaystyle (0,1) stakan (2,3)}$ .

Mahalliy ravishda bog'lanmagan bog'langan makonning klassik namunasi deyiladi topologning sinus egri chizig'i sifatida belgilanadi ${displaystyle T = {(0,0)} stakan {(x, sin chap ({frac {1} {x}} ight)): xin (0,1]}}$ , bilan Evklid topologiyasi induktsiya qilingan tarkibiga kiritish orqali ${displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$ .

Amallarni o'rnating

Bog'langan to'plamlarning birlashishi va kesishmalariga misollar

The kesishish ulangan to'plamlarning ulanishi shart emas.

The birlashma ulangan to'plamlarning bir-biriga bog'lanishi shart emas, buni ko'rib chiqish orqali ko'rish mumkin ${displaystyle X = (0,1) stakan (1,2)}$ .

Har bir ellips bog'langan to'plamdir, lekin birlashma ulanmagan, chunki uni ikkita ajratilgan ochiq to'plamga bo'lish mumkin ${displaystyle U}$ va ${displaystyle V}$ .

Bu degani, agar birlashma bo'lsa ${displaystyle X}$ ajratilgan, keyin to'plam ${displaystyle {X_ {i}}}$ ikkita to'plamga bo'linishi mumkin, masalan, quyi kollektsiyalar kasaba uyushmalari birlashtirilgan va ochiq ${displaystyle X}$ (rasmga qarang). Bu shuni anglatadiki, bir nechta hollarda, bog'langan to'plamlarning birlashishi bu majburiy ravishda bog'langan. Jumladan:

Agar barcha to'plamlarning umumiy kesishishi bo'sh bo'lmasa ( ${extstyle igcap X_ {i} eq emptyset}$ ), keyin ular to'plamlarga bo'linishi mumkin emas kasaba uyushmalarini ajratish. Shuning uchun bo'sh bo'lmagan kesishgan ulangan to'plamlarning birlashishi ulanadi.
Agar har bir juft to'plamning kesishishi bo'sh bo'lmasa ( ${displaystyle forall i, j: X_ {i} cap X_ {j} eq emptyset}$ ) keyin yana ularni birlashmagan kasaba uyushmalari bilan to'plamlarga ajratish mumkin emas, shuning uchun ularning birlashmasi bog'langan bo'lishi kerak.
Agar to'plamlarni "bog'langan zanjir" sifatida buyurtma qilish mumkin bo'lsa, ya'ni butun indekslar bilan indekslangan va ${displaystyle forall i: X_ {i} cap X_ {i + 1} eq emptyset}$ , keyin yana ularning birlashishi ulanishi kerak.
Agar to'plamlar juftlik bilan ajratilgan bo'lsa va bo'sh joy ${displaystyle X / {X_ {i}}}$ ulanadi, keyin $X$ ulangan bo'lishi kerak. Aks holda, agar ${displaystyle Ucup V}$ ning ajralishi $X$ keyin ${displaystyle q (U) stakan q (V)}$ - bu bo'shliqning ajratilishi (beri ${displaystyle q (U), q (V)}$ ajratilgan va bo'shliqda ochiq).^[4]

Farqi ulanmagan ikkita bog'langan to'plam

The farqni o'rnating ulangan to'plamlarning ulanishi shart emas. Ammo, agar ${displaystyle Xsupseteq Y}$ va ularning farqi ${displaystyle Xsetminus Y}$ uzilgan (va shu tariqa ikkita ochiq to'plamning birlashmasi sifatida yozilishi mumkin ${displaystyle X_ {1}}$ va ${displaystyle X_ {2}}$ ), keyin ${displaystyle Y}$ har bir bunday komponent ulangan (ya'ni ${displaystyle Ycup X_ {i}}$ hamma uchun ulangan ${displaystyle i}$ ).

Isbot:^[5] Qarama-qarshilik bilan, deylik ${displaystyle Ycup X_ {1}}$ ulanmagan. Shunday qilib, uni ikkita bo'linmagan ochiq to'plamlarning birlashishi sifatida yozish mumkin, masalan. ${displaystyle Ycup X_ {1} = Z_ {1} stakan Z_ {2}}$ . Chunki ${displaystyle Y}$ ulangan bo'lsa, u to'liq ushbu tarkibiy qismlardan birida bo'lishi kerak, aytaylik ${displaystyle Z_ {1}}$ va shunday qilib ${displaystyle Z_ {2}}$ tarkibida mavjud ${displaystyle X_ {1}}$ . Endi biz buni bilamiz:

{displaystyle X = chap (Ycup X_ {1} ight) chashka X_ {2} = chap (Z_ {1} stakan Z_ {2} ight) stakan X_ {2} = chap (Z_ {1} stakan X_ {2} kech ) chashka qoldi (Z_ {2} shapka X_ {1} tun)}

Oxirgi ittifoqdagi ikkita to'plam bir-biridan ajratilgan va ochiq ${displaystyle X}$ , shuning uchun ajratish mavjud ${displaystyle X}$ , bu haqiqatga zid keladi ${displaystyle X}$ ulangan.

Teoremalar

Ulanishning asosiy teoremasi: Ruxsat bering X va Y topologik bo'shliqlar bo'lsin ƒ : X → Y doimiy funktsiya bo'lishi. Agar X ulanadi (yo'l-) keyin tasvir ƒ(X) (yo'l-) ulangan. Ushbu natijani .ning umumlashtirilishi deb hisoblash mumkin oraliq qiymat teoremasi.
Har qanday yo'l bilan bog'langan bo'shliq ulanadi.
Har qanday mahalliy yo'l bilan bog'langan joy mahalliy darajada bog'langan.
Mahalliy yo'l bilan bog'langan bo'shliq, agar u bog'langan bo'lsa, faqatgina yo'l bilan bog'lanadi.
The yopilish ulangan kichik to'plam ulangan. Bundan tashqari, ulangan ichki qism va uning yopilishi orasidagi har qanday kichik qism ulanadi.
Bog'langan komponentlar har doim yopiq (lekin umuman ochiq emas)
Mahalliy ravishda bog'langan makonning bog'langan tarkibiy qismlari ham ochiq.
Bo'shliqning bog'langan tarkibiy qismlari - bu yo'l bilan bog'langan tarkibiy qismlarning birlashtirilmagan birlashmalari (umuman olganda ham ochiq, ham yopiq emas).
Har bir miqdor ulangan (lokal ravishda bog'langan, yo'l bilan bog'langan, mahalliy yo'l bilan bog'langan) bo'shliq ulangan (mahalliy. bog'langan, yo'l bilan bog'langan, mahalliy yo'l bilan bog'langan).
Har bir mahsulot bog'langan (resp. yo'lga bog'langan) bo'shliqlar oilasining bog'langan (resp. yo'lga bog'langan).
Mahalliy ravishda bog'langan (mahalliy. Yo'l bilan bog'langan) bo'shliqning har bir ochiq to'plami mahalliy ravishda bog'langan (mahalliy yo'l bilan bog'langan).
Har bir ko'p qirrali mahalliy yo'l bilan bog'langan.
Ark bilan bog'langan fazo - bu yo'l bilan bog'langan, ammo yo'l bilan bog'langan kosmik boshq bilan bog'lanmagan bo'lishi mumkin
Yoyli bog'langan to'plamning doimiy tasviri boshq bilan bog'langan.

Graflar

Graflar yo'l bilan bog'langan pastki to'plamlarga, ya'ni har bir juft nuqta ularni birlashtiruvchi qirralarning yo'liga ega bo'lgan kichik to'plamlarga ega, ammo bir xil bog'langan to'plamlarni keltirib chiqaradigan nuqtalar to'plamida topologiyani topish har doim ham mumkin emas. The 5 tsikl grafik (va har qanday n- bilan velosiped n > 3 toq) - bu shunday misollardan biri.

Natijada, ulanish tushunchasi kosmosdagi topologiyadan mustaqil ravishda shakllantirilishi mumkin. Aql-idrok uchun, ulanish aksiomalarini qondiradigan, bog'langan pastki to'plamlar to'plamlari bo'lgan to'plamlardan iborat biriktiruvchi bo'shliqlar toifasi mavjud; ularning morfizmlari - bu bog'langan to'plamlarga bog'langan to'plamlarni xaritalaydigan funktsiyalar (Muskat va Buhagiar 2006 yil ). Topologik bo'shliqlar va grafikalar biriktiruvchi bo'shliqlarning alohida holatlari; Darhaqiqat, cheklangan biriktiruvchi bo'shliqlar aniq cheklangan grafikalardir.

Biroq, vertikallarni birlik oralig'ining nusxalari sifatida nuqtalarni va qirralarni ko'rib chiqish orqali har bir grafani kanonik ravishda topologik makonga aylantirish mumkin (qarang. topologik grafik nazariyasi # Grafiklar topologik bo'shliq sifatida ). Shunda grafaning topologik bo'shliq sifatida bog'langan taqdirdagina (grafik nazariy ma'noda) bog'langanligini ko'rsatish mumkin.

Bog'lanishning yanada kuchli shakllari

Uchun ulanishning yanada kuchli shakllari mavjud topologik bo'shliqlar, masalan; misol uchun:

Agar topologik bo'shliqda ikkita bo'linmagan bo'sh bo'lmagan ochiq to'plam bo'lmasa, X, X ulangan bo'lishi kerak va shunday qilib giper bog'langan bo'shliqlar ham bog'langan.
A shunchaki bog'langan bo'shliq ta'rifi bo'yicha, shuningdek, yo'lga ulangan bo'lishi kerak, har qanday oddiy bog'langan maydon ham ulanadi. Shunga qaramay, agar "ulanish yo'li" talabi oddiy ulanish ta'rifidan tushib qolsa, shunchaki bog'langan maydonni ulash zarur emas.
Aloqaning yanada kuchli versiyalariga a tushunchasi kiradi shartnoma maydoni. Har qanday qisqaradigan bo'shliq yo'l bilan bog'langan va shu bilan ham bog'langan.

Umuman olganda, har qanday yo'lga ulangan bo'shliq ulanishi kerakligini unutmang, lekin ular bilan bog'lanmagan bo'shliqlar mavjud. The o'chirilgan taroq maydoni yuqorida aytib o'tilganidek, bunday misol keltiradi topologning sinus egri chizig'i.

Shuningdek qarang

Adabiyotlar

^ Uaylder, R.L. (1978). "Topologik kontseptsiya evolyutsiyasi" ulangan"". Amerika matematikasi. Oylik. 85 (9): 720–726. doi:10.2307/2321676.
^ Jorj F. Simmons (1968). Topologiya va zamonaviy tahlilga kirish. McGraw Hill Book Company. p. 144. ISBN 0-89874-551-9.
^ Charlz Vaybel, K-kitob: algebraik K-nazariyasiga kirish
^ Brandsma, Xenno (2013 yil 13 fevral). "Keltirilgan xaritalar va bog'lanishni o'z ichiga olgan ushbu natijani qanday isbotlash mumkin?". Stack Exchange.
^ Marek (2013 yil 13-fevral). "Ushbu natijani ulanish to'g'risida qanday isbotlash mumkin?". Stack Exchange.

Qo'shimcha o'qish

Munkres, Jeyms R. (2000). Topologiya, ikkinchi nashr. Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.
Vayshteyn, Erik V. "Ulangan to'plam". MathWorld.
V. I. Malyxin (2001) [1994], "Bog'langan joy", Matematika entsiklopediyasi, EMS Press
Maskat, J; Buhagiar, D (2006). "Bog'lanish joylari" (PDF). Mem. Yuz. Ilmiy ish. Ing. Shimane Univ., B seriyasi: Matematik. Sc. 39: 1-13. Arxivlandi asl nusxasi (PDF) 2016-03-04 da. Olingan 2010-05-17.CS1 maint: ref = harv (havola).

[1] Uaylder, R.L. (1978). "Topologik kontseptsiya evolyutsiyasi" ulangan"". Amerika matematikasi. Oylik. 85 (9): 720–726. doi:10.2307/2321676.

[2] Jorj F. Simmons (1968). Topologiya va zamonaviy tahlilga kirish. McGraw Hill Book Company. p. 144. ISBN 0-89874-551-9.

[3] Charlz Vaybel, K-kitob: algebraik K-nazariyasiga kirish

[4] Brandsma, Xenno (2013 yil 13 fevral). "Keltirilgan xaritalar va bog'lanishni o'z ichiga olgan ushbu natijani qanday isbotlash mumkin?". Stack Exchange.

[5] Marek (2013 yil 13-fevral). "Ushbu natijani ulanish to'g'risida qanday isbotlash mumkin?". Stack Exchange.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]