Borel subalgebra - Borel subalgebra

Matematikada, xususan vakillik nazariyasi, a Borel subalgebra a Yolg'on algebra ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ maksimal hisoblanadi hal etiladigan subalgebra.^[1] Tushunchaga nom berilgan Armand Borel.

Agar yolg'on algebra bo'lsa ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ a ning Lie algebrasi murakkab Yolg'on guruhi, keyin Borel subalgebra a ning Lie algebraidir Borel kichik guruhi.

Bayroq bilan bog'langan Borel subalgebra

Ruxsat bering ${ displaystyle { mathfrak {g}} = { mathfrak {gl}} (V)}$ cheklangan o'lchovli vektor fazasining endomorfizmlari Lie algebrasi bo'ling V murakkab sonlar ustida. Keyin Borel subalgebra-ni belgilang ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ a miqdorini belgilash uchun bayroq ning V; bayroq berilgan ${ displaystyle V = V_ {0} supset V_ {1} supset cdots supset V_ {n} = 0}$ , pastki bo'shliq ${ displaystyle { mathfrak {b}} = {x in { mathfrak {g}} | x (V_ {i}) subset V_ {i}, 1 leq i leq n }}$ bu Borel subalgebra,^[2] va aksincha, har bir Borel subalgebra shu shaklda Yolg'on teoremasi. Demak, Borel subalgebralari bayroqning xilma-xilligi ning V.

Ildiz tizimining asosiga nisbatan Borel subalgebra

Ruxsat bering ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ murakkab bo'lmoq yarim semple Lie algebra, ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ a Cartan subalgebra va R The ildiz tizimi ular bilan bog'liq. Bazasini tanlash R ijobiy ildizlar tushunchasini beradi. Keyin ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ parchalanishga ega ${ displaystyle { mathfrak {g}} = { mathfrak {n}} ^ {-} oplus { mathfrak {h}} oplus { mathfrak {n}} ^ {+}}$ qayerda ${ displaystyle { mathfrak {n}} ^ { pm} = sum _ { alpha> 0} { mathfrak {g}} _ { pm alpha}}$ . Keyin ${ displaystyle { mathfrak {b}} = { mathfrak {h}} oplus { mathfrak {n}} ^ {+}}$ yuqoridagi o'rnatishga nisbatan Borel subalgebra.^[3] (Bu olingan algebradan beri hal qilinadi ${ displaystyle [{ mathfrak {b}}, { mathfrak {b}}]}$ nolpotent. Bu $ a $ tomonidan maksimal darajada hal qilinadi Borel-Morozov teoremasi eruvchan subalgebralarning konjugatsiyasi to'g'risida.^[4])

Berilgan ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ -modul V, a ibtidoiy element ning V (nolga teng bo'lmagan) vektor bo'lib, (1) og'irlik vektori hisoblanadi ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ va (2) tomonidan yo'q qilinadi ${ displaystyle { mathfrak {n}} ^ {+}}$ . Bu xuddi shu narsa ${ displaystyle { mathfrak {b}}}$ vaznli vektor (Isbot: agar ${ displaystyle h in { mathfrak {h}}}$ va ${ displaystyle e in { mathfrak {n}} ^ {+}}$ bilan ${ displaystyle [h, e] = 2e}$ va agar ${ displaystyle { mathfrak {b}} cdot v}$ bu chiziq ${ displaystyle 0 = [h, e] cdot v = 2e cdot v}$ .)