Cartan subalgebra - Cartan subalgebra - Wikipedia

Yilda matematika, a Cartan subalgebra, ko'pincha qisqartirilgan CSA, a nolpotent subalgebra ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ a Yolg'on algebra ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ anavi o'z-o'zini normallashtirish (agar ${ displaystyle [X, Y] in { mathfrak {h}}}$ Barcha uchun ${ displaystyle X in { mathfrak {h}}}$ , keyin ${ displaystyle Y {{mathfrak {h}}} da$ ). Ular tomonidan tanishtirildi Élie Cartan doktorlik dissertatsiyasida. Bu boshqaradi yarim oddiy Lie algebrasining vakillik nazariyasi ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ xarakterli maydon bo'yicha ${ displaystyle 0}$ .

Cheklangan o'lchovli yarim semizda algebraik yopiq maydon xarakterli nolga nisbatan algebra (masalan, ${ displaystyle mathbb {C}}$ ), Cartan subalgebra - bu elementlardan tashkil topgan maksimal abeliya subalgebra bilan bir xil narsa x shunday qo'shma endomorfizm ${ displaystyle operatorname {ad} (x): { mathfrak {g}} to { mathfrak {g}}}$ bu yarim oddiy (ya'ni, diagonalizatsiya qilinadigan ). Ba'zan bu tavsif shunchaki Cartan subalgebra ta'rifi sifatida qabul qilinadi.^[1]^{pg 231}.

Umuman olganda, subalgebra deyiladi toral agar u yarim oddiy elementlardan iborat bo'lsa. Algebraik yopiq maydonda toral subalgebra avtomatik ravishda abelianga aylanadi. Shunday qilib, algebraik yopiq xarakterli nol maydonida Cartan subalgebra maksimal toral subalgebra sifatida ham belgilanishi mumkin.

Kac-Moody algebralari va umumlashtirilgan Kac-Moody algebralari yarim semple Lie algebrasining Cartan subalgebra uchun bir xil rol o'ynaydigan subalgebralarga ega (xarakterli nol maydonida).

Mavjudlik va o'ziga xoslik

Cartan subalgebralari cheklangan o'lchovli Lie algebralari uchun asos bo'lganda har doim mavjud maydon cheksizdir. Cartan subalgebra qurishning bir usuli bu a muntazam element. Cheklangan maydonda mavjudlik masalasi hali ham ochiq.^{[iqtibos kerak ]}

Cheklangan o'lchovli yarim simli Lie algebra uchun ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ algebraik yopiq xarakterli nol maydonida oddiyroq yondashuv mavjud: ta'rifi bo'yicha a toral subalgebra ning subalgebra hisoblanadi ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ yarim semple elementlardan tashkil topgan (agar element yarim semple hisoblanadi qo'shma endomorfizm u bilan bog'liq diagonalizatsiya qilinadigan ). Ning Cartan subalgebra ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ u holda maksimal toral subalgebra bilan bir xil narsa va maksimal toral subalgebra mavjudligini ko'rish oson.

Xarakterli nolning algebraik yopiq maydonidagi cheklangan o'lchovli Lie algebrasida barcha Cartan subalgebralari ostida birlashtirilgan avtomorfizmlar algebra, xususan, barchasi izomorfik. Karton subalgebrasining umumiy o'lchovi keyinchalik deyiladi daraja algebra.

Sonli o'lchovli murakkab yarim yarim Lie algebra uchun Cartan subalgebra mavjudligini ixcham haqiqiy shakl mavjudligini nazarda tutgan holda o'rnatish ancha soddadir.^[2] Shunday bo'lgan taqdirda, ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ a ning Lie algebrasining murakkablashishi sifatida qabul qilinishi mumkin maksimal torus ixcham guruh.

Agar ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ a chiziqli Lie algebra (chekli o'lchovli vektor makonining endomorfizmlari Lie algebrasining Lie subalgebrasi V) algebraik yopiq maydon ustida, keyin har qanday Cartan subalgebra ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ bo'ladi markazlashtiruvchi maksimal toral subalgebra ning ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ .^{[iqtibos kerak ]} Agar ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ yarim yarim va maydon xarakterli nolga ega, keyin maksimal toral subalgebra o'zini normallashtiradi va shu bilan bog'liq Cartan subalgebrasiga teng bo'ladi. Agar qo'shimcha ravishda ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ yarim sodda, keyin the qo'shma vakillik sovg'alar ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ chiziqli Lie algebra sifatida, shuning uchun ning subalgebra ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ agar u maksimal toral subalgebra bo'lsa, Cartan hisoblanadi.

Misollar

Har qanday nolpotent Lie algebrasi o'zining Cartan subalgebra hisoblanadi.
Kartonli subalgebra gl_n, ning algebra n×n matritsalar maydon bo'ylab, barcha diagonali matritsalarning algebrasi.^{[iqtibos kerak ]}
Izsizlarning maxsus Lie algebrasi uchun ${ displaystyle n times n}$ matritsalar ${ displaystyle { mathfrak {sl}} _ {n} ( mathbb {C})}$ , unda Cartan subalgebra mavjud
${ displaystyle { mathfrak {h}} = {d (a_ {1}, ldots, a_ {n}) | a_ {i} in mathbb {C} { text {and}} sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} = 0 }}$
qayerda
${ displaystyle d (a_ {1}, ldots, a_ {n}) = { begin {pmatrix} a_ {1} & 0 & cdots & 0 0 & ddots && 0 vdots && ddots & vdots 0 & cdots & cdots & a_ {n} end {pmatrix}}}$
Masalan, ichida ${ displaystyle { mathfrak {sl}} _ {2} ( mathbb {C})}$ Cartan subalgebra - matritsalarning subalgebra
${ displaystyle { mathfrak {h}} = chap {{ begin {pmatrix} a & 0 0 & -a end {pmatrix}}: a in mathbb {C} right }}$
matritsa kommutatori tomonidan berilgan yolg'on qavs bilan.
Lie algebra sl₂(R) 0 dan 2 dan 2 gacha bo'lgan matritsada ikkita konjuge bo'lmagan Cartan subalgebralari mavjud.^{[iqtibos kerak ]}
Cartan subalgebra o'lchovi umuman abeliya subalgebrasining maksimal o'lchovi emas, hattoki murakkab oddiy Lie algebralari uchun ham. Masalan, Yolg'on algebra sl_2n(C) ning 2n 2 tomonidann 0 iz matritsalari 2 darajali karton subalgebrasiga egan-1, lekin maksimal abelian subalgebrasiga ega n² shaklning barcha matritsalaridan iborat ${ displaystyle {0 A select 0 0}}$ bilan A har qanday n tomonidan n matritsa. Ushbu abeliya subalgebrasi karton subalgebrasi emasligini bevosita ko'rish mumkin, chunki u qat'iy yuqori uchburchak matritsalarning nilpotent algebrasida mavjud (yoki diagonal matritsalar bilan normallashtirilganligi sababli).

Lie algebralarining karton subalgebralari

Sonlu o'lchovli uchun yarim semple Lie algebra ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ ustidan algebraik yopiq maydon xarakterli 0, Cartan subalgebra ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ quyidagi xususiyatlarga ega:

${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ bu abeliya,
Qo'shma vakillik uchun ${ displaystyle operatorname {ad}: { mathfrak {g}} to { mathfrak {gl}} ({ mathfrak {g}})}$ , rasm ${ displaystyle operatorname {ad} ({ mathfrak {h}})}$ yarim sodda operatorlardan iborat (ya'ni diagonalizatsiya qilinadigan matritsalar).

(Yuqorida ta'kidlab o'tilganidek, Cartan subalgebra aslida yuqoridagi ikkita xususiyatga ega bo'lganlar orasida maksimal bo'lgan subalgebra sifatida tavsiflanishi mumkin.)

Ushbu ikkita xususiyat, operatorlarning ${ displaystyle operatorname {ad} ({ mathfrak {h}})}$ bir vaqtning o'zida diagonalizatsiya qilinadi va to'g'ridan-to'g'ri yig'indisi parchalanishi mavjud ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ kabi

{ displaystyle { mathfrak {g}} = bigoplus _ { lambda in { mathfrak {h}} ^ {*}} { mathfrak {g}} _ { lambda}}

qayerda

{ displaystyle { mathfrak {g}} _ { lambda} = {x in { mathfrak {g}}: { text {ad}} (h) x = lambda (h) x, { {for}} h in { mathfrak {h}} }} matni

.

Ruxsat bering ${ displaystyle Phi = { lambda in { mathfrak {h}} ^ {*} - 0 | { mathfrak {g}} _ { lambda} neq 0 }}$ . Keyin ${ displaystyle Phi}$ a ildiz tizimi va bundan tashqari, ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {0} = { mathfrak {h}}}$ ; ya'ni markazlashtiruvchi ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ bilan mos keladi ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ . Keyin yuqoridagi dekompozitsiyani quyidagicha yozish mumkin:

{ displaystyle { mathfrak {g}} = { mathfrak {h}} oplus left ( bigoplus _ { lambda in Delta} {{mathfrak {g}} _ { lambda} right)}

Ma'lum bo'lishicha, har biri uchun ${ displaystyle lambda in Phi}$ , ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ { lambda}}$ bir o'lchamga ega va shunga o'xshash:

{ displaystyle dim { mathfrak {g}} = dim { mathfrak {h}} + # Phi}

.

Shuningdek qarang Semisimple_Lie algebra # Tuzilishi qo'shimcha ma'lumot olish uchun.

Ikkita Cartan subalgebra bilan tasvirlarni dekompozitsiya qilish

Yolg'on algebra berilgan ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ xarakterli maydon bo'yicha ${ displaystyle 0}$ ,^{[tushuntirish kerak ]} va a Yolg'on algebra

${ displaystyle sigma: { mathfrak {g}} dan { mathfrak {gl}} (V)} gacha$

Lie algebrasining Cartan subalgebrasidan ajralishi bilan bog'liq parchalanish mavjud. Agar biz o'rnatgan bo'lsak

${ displaystyle V _ { lambda} = {v in V: ( sigma (h)) (v) = lambda (h) v { text {for}} h in { mathfrak {h}} }}$

bilan ${ displaystyle lambda in { mathfrak {h}}}$ , deb nomlangan vazn uchun vazn maydoni ${ displaystyle lambda}$ , ushbu vazn bo'shliqlari bo'yicha vakillikning dekompozitsiyasi mavjud

${ displaystyle V = bigoplus _ { lambda in { mathfrak {h}} ^ {*}} V _ { lambda}}$

Bundan tashqari, har doim ${ displaystyle V _ { lambda} neq {0 }}$ biz qo'ng'iroq qilamiz ${ displaystyle lambda}$ a vazn ning ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ - vakillik ${ displaystyle V}$ .

Og'irliklar yordamida kamaytirilmaydigan tasavvurlarning tasnifi

Ammo, bu og'irliklar Lie algebrasining qisqartirilmaydigan tasavvurlarini tasniflash uchun ishlatilishi mumkin ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ . Cheklangan o'lchovli qisqartirilmaydigan uchun ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ - vakillik ${ displaystyle V}$ , noyob vazn mavjud ${ displaystyle lambda in Delta}$ Qisman buyurtma bo'yicha ${ displaystyle { mathfrak {h}} ^ {*}}$ . Bundan tashqari, berilgan ${ displaystyle lambda in Delta}$ shu kabi ${ displaystyle langle alpha, lambda rangle in mathbb {N}}$ har bir ijobiy ildiz uchun ${ displaystyle alpha in Delta ^ {+}}$ , noyob noyob qisqartirish mavjud ${ displaystyle L ^ {+} ( lambda)}$ . Bu ildiz tizimini anglatadi ${ displaystyle Delta}$ ning nazariya nazariyasi haqidagi barcha ma'lumotlarni o'z ichiga oladi ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ ^[1]^{pg 240}.

Kartan subalgebrasini ajratish

Algebraik bo'lmagan yopiq maydonlarda Cartan subalgebralarining hammasi ham konjuge emas. Muhim sinf Cartan subalgebralarini ajratish: agar yolg'on algebra bo'linadigan Cartan subalgebrasini tan olsa ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ keyin u deyiladi bo'linadigan, va juftlik ${ displaystyle ({ mathfrak {g}}, { mathfrak {h}})}$ deyiladi a Split Lie algebra; algebraik yopiq maydon ustida har yarim semple Lie algebra bo'linishi mumkin. Har qanday ikkiga bo'linadigan Cartan algebralari konjugatdir va ular algebraik ravishda yopiq maydonlar bo'yicha yarim yarim Lie algebralaridagi Cartan algebralariga o'xshash funktsiyani bajaradilar, shuning uchun ikkiga bo'lingan yarim yarim Lie algebralari (chindan ham, split reduktiv Lie algebralari) algebraik yopiq maydonlar bo'yicha yarim fazali Lie algebralari bilan juda ko'p xususiyatlarga ega. .

Algebraik bo'lmagan yopiq maydonda har bir yarim yarim Lie algebra bo'linib ketmaydi.

Shuningdek qarang

Adabiyotlar

^ ^a ^b Xotta, R. (Ryoshi) (2008). D-modullar, buzuq chiziqlar va vakillik nazariyasi. Takeuchi, Kiyoshi, 1967-, Tanisaki, Toshiyuki, 1955- (inglizcha nashr). Boston: Birkxauzer. ISBN 978-0-8176-4363-8. OCLC 316693861.
^ Zal 2015 7-bob

Izohlar

Malumot

Borel, Armand (1991), Chiziqli algebraik guruhlar, Matematikadan aspirantura matnlari, 126 (2-nashr), Berlin, Nyu-York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97370-8, JANOB 1102012
Jeykobson, Natan (1979), Yolg'on algebralar, Nyu York: Dover nashrlari, ISBN 978-0-486-63832-4, JANOB 0559927
Hamfreyz, Jeyms E. (1972), Yolg'on algebralari va vakillik nazariyasiga kirish, Berlin, Nyu-York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90053-7
Popov, V.L. (2001) [1994], "Cartan subalgebra", Matematika entsiklopediyasi, EMS Press

[:0-1] Xotta, R. (Ryoshi) (2008). D-modullar, buzuq chiziqlar va vakillik nazariyasi. Takeuchi, Kiyoshi, 1967-, Tanisaki, Toshiyuki, 1955- (inglizcha nashr). Boston: Birkxauzer. ISBN 978-0-8176-4363-8. OCLC 316693861.

[2] Zal 2015 7-bob

[1]

[2]