Braxmaguptas interpolatsiyasi formulasi - Brahmaguptas interpolation formula - Wikipedia

Braxmaguptaning interpolatsiya formulasi ikkinchi darajali polinom interpolatsiya formulasi tomonidan ishlab chiqilgan Hind matematik va astronom Braxmagupta (598–668 Idoralar ) 7-asrning boshlarida Idoralar. The Sanskritcha formulasini tavsiflovchi kupletni qo'shimcha qismida topish mumkin Xandakadyaka asari Braxmagupta 665 yilda yakunlangan.^[1] Xuddi shu juftlik Braxmaguptaning avvalgisida ham uchraydi Dhyana-graha-adhikara, ehtimol bu "milodning VII asrining ikkinchi choragining boshlarida, ilgari bo'lmasa ham" yozilgan.^[1] Braxmagupta birinchilardan bo'lib uni tasvirlab bergan va ishlatgan interpolatsiya formulasi ikkinchi darajadan foydalanish farqlar.^[2]^[3]

Braxmagupaning interpolatsiya formulasi zamonaviy ikkinchi darajali Nyuton-Stirlingga teng interpolatsiya formulasi.

Dastlabki bosqichlar

Funksiyaning jadval qiymatlari to'plami berilgan $f (x)$ quyidagi jadvalda, ning qiymatini hisoblash talab etilsin $f (a)$ , $x r < a < x r +1$ .

$x$	$x 1$	$x 2$	...	$x r$	$x r +1$	$x r +2$	...	$x n$
$f (x r)$	$f 1$	$f 2$	...	$f r$	$f r +1$	$f r +2$	...	$f n$

Ning ketma-ket jadvallangan qiymatlari deb faraz qilsak $x$ ning umumiy oralig'i bilan teng ravishda joylashtirilgan $h$ , Aryabhata funktsiya qiymatlari jadvalining birinchi farqlar jadvalini ko'rib chiqqan edi. Yozish

{ displaystyle D_ {r} = f_ {r + 1} -f_ {r}}

quyidagi jadval tuzilishi mumkin:

$x$	$x 2$	...	$x r$	$x r +1$	...	$x n$
Farqi	$D. 1$	...	$D. r$	$D. r +1$	...	$D. n$

Brahmaguptadan oldin matematiklar oddiy usuldan foydalanganlar chiziqli interpolatsiya formula. Hisoblash uchun chiziqli interpolatsiya formulasi $f (a)$ bu

{ displaystyle f (a) = f_ {r} + tD_ {r}}

qayerda

{ displaystyle t = { frac {a-x_ {r}} {h}}}

.

Hisoblash uchun $f (a)$ , Brahmagupta o'rnini egallaydi $D. r$ aniqroq qiymatlarni beradigan va ikkinchi darajali interpolatsiya formulasidan foydalanadigan boshqa bir ifoda bilan.

Braxmagupta sxemasining tavsifi

Braxmagupta terminologiyasida farq $D. r$ bo'ladi gataxanda, ma'no o'tmishdagi farq yoki kesib o'tgan farq, farq $D. r +1$ bo'ladi bhogyakhanda qaysi hali farq yo'q. Vikala bu biz interpolatsiya qilmoqchi bo'lgan vaqt oralig'ida bosib o'tgan daqiqalardagi miqdor. Hozirgi yozuvlarda $a - x r$ . Uning o'rnini bosadigan yangi ibora $f r +1 - f r$ deyiladi sfuta-bhogyaxanda. Tavsifi sfuta-bhogyaxanda quyidagi sanskritcha juftlikda mavjud (Dhyana-Graha-Upadesa-Adxaya, 17 yosh; Xandaka Xadyaka, IX, 8):^[1]

Devanagari.jpg-da Brahmagupas interpolatsiya formulasi ^{[tushuntirish kerak (matn kerak)]}

Bu Bhattolpalaning (milodiy 10-asr) sharhi yordamida quyidagicha tarjima qilingan:^[1]^[4]

Ni ko'paytiring vikala ning farqi yarmiga gataxanda va bhogyakhanda va mahsulotni 900 ga bo'ling. Natijada yig'indining yarmiga natijani qo'shing gataxanda va bhogyakhanda agar ularning yarim yig'indisi kamroq bo'lsa bhogyakhanda, kattaroq bo'lsa olib tashlang. (Har bir holatda natija sfuta-bhogyaxanda to'g'ri jadval farqi.)

Dastlab ushbu formula sinus funktsiyasining qiymatlarini hisoblash uchun bayon qilingan edi, ular uchun asosiy tayanch jadvalidagi umumiy interval 900 minut yoki 15 darajani tashkil etdi. Shunday qilib, 900 ga havola aslida umumiy intervalga havola $h$ .

Zamonaviy notatsiyada

Braxmagupta usulini hisoblash shutabhogyakhanda zamonaviy yozuvlarda quyidagicha shakllantirilishi mumkin:

sfuta-bhogyaxanda

{ displaystyle displaystyle = { frac {D_ {r} + D_ {r-1}} {2}} pm t { frac {| D_ {r} -D_ {r-1} |} {2} }.}

The ± belgisiga qarab olinishi kerak $.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px;white-space:nowrap} 1 / 2 (D. r + D. r +1)$ dan kichik yoki kattaroqdir $D. r +1$ yoki shunga o'xshash ravishda, shunga qarab $D. r < D. r +1$ yoki $D. r > D. r +1$ . Braxmagupta ifodasini quyidagi shaklda ifodalash mumkin:

sfuta-bhogyaxanda

{ displaystyle displaystyle = { frac {D_ {r} + D_ {r-1}} {2}} + t { frac {D_ {r} -D_ {r-1}} {2}}.}

Ushbu tuzatish koeffitsienti uchun quyidagi taxminiy qiymatni beradi $f (a)$ :

{ displaystyle { begin {aligned} f (a) & = f_ {r} + t times { text {sphuta-bhogyakhanda}} & = f_ {r} + t { frac {D_ {r} + D_ {r-1}} {2}} + t ^ {2} { frac {D_ {r} -D_ {r-1}} {2}}. End {hizalangan}}}

Bu Stirlingniki interpolatsiya formulasi ikkinchi darajali farqlarda kesilgan.^[5]^[6] Braxmagupta o'zining interpolatsiya formulasiga qanday etib kelgani noma'lum.^[1] Brahmagupta mustaqil o'zgaruvchining qiymatlari teng ravishda intervalgacha bo'lmagan holat uchun alohida formulani keltirdi.

Shuningdek qarang

Adabiyotlar

^ ^a ^b ^v ^d ^e Gupta, R. C. "XV asrgacha bo'lgan hind matematikasidagi ikkinchi darajali interpolatsiya". Hindiston tarixi fanlari jurnali. 4 (1 & 2): 86–98.
^ Van Brummelen, Glen (2009). Osmonlar va Yer matematikasi: trigonometriyaning dastlabki tarixi. Prinston universiteti matbuoti. p. 329. ISBN 9780691129730. (1111-bet)
^ Meijering, Erik (2002 yil mart). "Qadimgi astronomiyadan zamonaviy signal va tasvirni qayta ishlashgacha bo'lgan interpolatsiya xronologiyasi". IEEE ish yuritish. 90 (3): 319–321. doi:10.1109/5.993400.
^ Raju, C K (2007). Matematikaning madaniy asoslari: matematik isbotning tabiati va hisob-kitoblarni XVI asrda Hindistondan Evropaga etkazish. Idoralar. Pearson Education India. 138-140 betlar. ISBN 9788131708712.
^ Milne-Tomson, Lui Melvill (2000). Sonli farqlarning hisobi. AMS Chelsi nashriyoti. 67-68 betlar. ISBN 9780821821077.
^ Xildebrand, Frensis Begnaud (1987). Raqamli tahlilga kirish. Courier Dover nashrlari. pp.138–139. ISBN 9780486653631.

[Gupta-1] v ^d ^e Gupta, R. C. "XV asrgacha bo'lgan hind matematikasidagi ikkinchi darajali interpolatsiya". Hindiston tarixi fanlari jurnali. 4 (1 & 2): 86–98.

[2] Van Brummelen, Glen (2009). Osmonlar va Yer matematikasi: trigonometriyaning dastlabki tarixi. Prinston universiteti matbuoti. p. 329. ISBN 9780691129730. (1111-bet)

[3] Meijering, Erik (2002 yil mart). "Qadimgi astronomiyadan zamonaviy signal va tasvirni qayta ishlashgacha bo'lgan interpolatsiya xronologiyasi". IEEE ish yuritish. 90 (3): 319–321. doi:10.1109/5.993400.

[Raju-4] Raju, C K (2007). Matematikaning madaniy asoslari: matematik isbotning tabiati va hisob-kitoblarni XVI asrda Hindistondan Evropaga etkazish. Idoralar. Pearson Education India. 138-140 betlar. ISBN 9788131708712.

[5] Milne-Tomson, Lui Melvill (2000). Sonli farqlarning hisobi. AMS Chelsi nashriyoti. 67-68 betlar. ISBN 9780821821077.

[6] Xildebrand, Frensis Begnaud (1987). Raqamli tahlilga kirish. Courier Dover nashrlari. pp.138–139. ISBN 9780486653631.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]