Keysi teoremasi - Caseys theorem - Wikipedia

Yilda matematika, Keysi teoremasi, shuningdek, umumlashtirilgan deb nomlanadi Ptolomey teoremasi, bu teorema Evklid geometriyasi irlandlar nomi bilan atalgan matematik Jon Keysi.

Teoremani shakllantirish

Ruxsat bering radius doirasi bo'ling . Ruxsat bering ichida joylashgan (shu tartibda) to'rtta kesishmaydigan aylana bo'ling va unga teginish. Belgilash tashqi umumiy uzunligi achchiq doiralar . Keyin:[1]

E'tibor bering, barcha to'rt doiralar nuqtalarga kamayadigan degeneratsiya holatida, bu aniq Ptolomey teoremasi.

Isbot

Quyidagi dalillarga tegishli[2] Zakariyaga.[3] Doira radiusini belgilang tomonidan va uning teginish nuqtasi aylana bilan tomonidan . Biz yozuvlardan foydalanamiz doiralar markazlari uchun Pifagor teoremasi,

Ushbu uzunlikni ballar nuqtai nazaridan ifoda etishga harakat qilamiz . Tomonidan kosinuslar qonuni uchburchakda ,

Davralardan beri bir-biriga teginish:

Ruxsat bering aylanada nuqta bo'ling . Ga ko'ra sinuslar qonuni uchburchakda :

Shuning uchun,

va yuqoridagi formulada ularni almashtirish:

Va nihoyat, biz izlayotgan uzunlik

Endi asl nusxa yordamida chap qo'lni baholashimiz mumkin Ptolomey teoremasi yozilganlarga qo'llaniladi to'rtburchak :

Keyinchalik umumlashtirish

Ko'rinib turibdiki, to'rtta doira katta doirada yotmasligi kerak. Aslida, ular unga tashqi tomondan ham ta'sir qilishi mumkin. Bunday holda, quyidagi o'zgartirish kiritilishi kerak:[4]

Agar ikkalasi ham xuddi shu tomondan tegishlidir (ikkalasi ham, ikkalasi ham), tashqi umumiy tangensning uzunligi.

Agar har xil tomondan tegib turadi (bittasi va bittasi), ichki umumiy tanjansning uzunligi.

Keysi teoremasining teskari tomoni ham to'g'ri.[4] Ya'ni, agar tenglik bo'lsa, doiralar umumiy doiraga tegishlidir.

Ilovalar

Keysi teoremasi va uning teskarisi yordamida turli xil fikrlarni isbotlash uchun foydalanish mumkin Evklid geometriyasi. Masalan, ma'lum bo'lgan eng qisqa dalil[1]:411 ning Feyerbax teoremasi teskari teoremadan foydalanadi.

Adabiyotlar

  1. ^ a b Keysi, J. (1866). "Tenglama va xususiyatlar to'g'risida: (1) tekislikdagi uchta doiraga tegadigan doiralar tizimi; (2) kosmosdagi to'rtta sohalarga tegadigan doiralar tizimi; (3) doiradagi uchta doiralarga tegadigan doiralar tizimi ; (4) konikka yozilgan koniklar tizimi va samolyotda uchta yozilgan konikka tegish ". Irlandiya Qirollik akademiyasining materiallari. 9: 396–423. JSTOR  20488927.
  2. ^ Bottema, O. (1944). Elementaire Meetkunde-dan foydalanishingiz mumkin. (Reinie Erné tomonidan "Elementary Geometry in Topics", "Springer 2008", "Epsilon-Uitgaven 1987" tomonidan nashr etilgan ikkinchi kengaytirilgan nashrining tarjimasi).
  3. ^ Zacharias, M. (1942). "Der Caseysche Satz". Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. 52: 79–89.
  4. ^ a b Jonson, Rojer A. (1929). Zamonaviy geometriya. Houghton Mifflin, Boston (Dover tomonidan 1960 yilda nashr etilgan faksimile, 2007 y., Evklid geometriyasi rivojlangan).

Tashqi havolalar