O toifasi - Category O

In vakillik nazariyasi ning semisimple Yolg'on algebralari, O toifasi (yoki toifasi ${ displaystyle { mathcal {O}}}$ ) a toifasi kimning ob'ektlar aniq vakolatxonalar a yarim oddiy Yolg'on algebra va morfizmlar bor homomorfizmlar vakolatxonalar.

Kirish

Buni taxmin qiling ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ bu (odatda murakkab ) semisimple A bilan algebra Cartan subalgebra ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ , ${ displaystyle Phi}$ a ildiz tizimi va ${ displaystyle Phi ^ {+}}$ tizimidir ijobiy ildizlar. Belgilash ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ { alpha}}$ The ildiz maydoni ildizga mos keladi ${ displaystyle alpha in Phi}$ va ${ displaystyle { mathfrak {n}}: = bigoplus _ { alpha in Phi ^ {+}} { mathfrak {g}} _ { alpha}}$ a nolpotent subalgebra.

Agar ${ displaystyle M}$ a ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ -modul va ${ displaystyle lambda in { mathfrak {h}} ^ {*}}$ , keyin ${ displaystyle M _ { lambda}}$ bo'ladi vazn maydoni

{ displaystyle M _ { lambda} = {v in M: forall h in { mathfrak {h}} , , h cdot v = lambda (h) v }.}

O toifasining ta'rifi

Kategoriya ob'ektlari ${ displaystyle { mathcal {O}}}$ bor ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ -modullar ${ displaystyle M}$ shu kabi

${ displaystyle M}$ nihoyatda hosil bo'ladi
${ displaystyle M = bigoplus _ { lambda in { mathfrak {h}} ^ {*}} M _ { lambda}}$
${ displaystyle M}$ mahalliy ${ displaystyle { mathfrak {n}}}$ - cheksiz. Ya'ni, har biri uchun ${ displaystyle v in M}$ , ${ displaystyle { mathfrak {n}}}$ tomonidan yaratilgan modul ${ displaystyle v}$ cheklangan o'lchovli.

Ushbu toifadagi morfizmlar ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ -bu modullarning homomorfizmlari.

Asosiy xususiyatlar

O toifasidagi har bir modul cheklangan o'lchovga ega vazn oraliqlari.
O toifasidagi har bir modul a Noetherian moduli.
O - bu abeliya toifasi
O bor etarlicha proektivlar va ukol.
O yopiq submodullar, kvotalar va cheklangan to'g'ridan-to'g'ri yig'indilar
O-dagi ob'ektlar ${ displaystyle Z ({ mathfrak {g}})}$ -finite, ya'ni agar ${ displaystyle M}$ ob'ekt va ${ displaystyle v in M}$ , keyin pastki bo'shliq ${ displaystyle Z ({ mathfrak {g}}) v subseteq M}$ tomonidan yaratilgan ${ displaystyle v}$ harakati ostida markaz ning universal qoplovchi algebra, cheklangan o'lchovli.

Misollar

Hammasi cheklangan o'lchovli ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ -modullar va ularning ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ -omomorfizmlar O toifasiga kiradi.
Verma modullari va umumlashtirilgan Verma modullari va ularning ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ -omomorfizmlar O toifasiga kiradi.

Shuningdek qarang

Adabiyotlar

Hamfreyz, Jeyms E. (2008), BGG toifasidagi yarim yarim Lie algebralarining vakolatxonalari (PDF), AMS, ISBN 978-0-8218-4678-0, dan arxivlangan asl nusxasi (PDF) 2012-03-21