Uyali homologiya - Cellular homology

Yilda matematika, uyali homologiya yilda algebraik topologiya a gomologiya nazariyasi toifasi uchun CW komplekslari. Bu bilan rozi singular homologiya va homologiya modullarini hisoblashning samarali vositasini taqdim etishi mumkin.

Ta'rif

Agar ${ displaystyle X}$ bilan ishlaydigan CW kompleksidir n- skelet ${ displaystyle X_ {n}}$, uyali-gomologik modullar homologiya guruhlari H_men uyali aloqa zanjirli kompleks

${ displaystyle cdots dan {C_ {n + 1}} gacha (X_ {n + 1}, X_ {n}) dan {C_ {n}} gacha (X_ {n}, X_ {n-1}) {C_ {n-1}} gacha (X_ {n-1}, X_ {n-2}) to cdots,}$

qayerda ${ displaystyle X _ {- 1}}$ bo'sh to'plam sifatida qabul qilinadi.

Guruh

${ displaystyle {C_ {n}} (X_ {n}, X_ {n-1})}$

bu bepul abeliya, bilan aniqlanishi mumkin bo'lgan generatorlar bilan ${ displaystyle n}$-hujayralari ${ displaystyle X}$. Ruxsat bering ${ displaystyle e_ {n} ^ { alpha}}$ bo'lish ${ displaystyle n}$-cell ${ displaystyle X}$va ruxsat bering ${ displaystyle chi _ {n n ^ ^ alfa}: qisman e_ {n} ^ { alfa} cong mathbb {S} ^ {n-1} dan X_ {n-1}} gacha$ ilova xaritasi bo'ling. Keyin kompozitsiyani ko'rib chiqing

${ displaystyle chi _ {n} ^ { alpha beta}: mathbb {S} ^ {n-1} , { stackrel { cong} { longrightarrow}} , qismli e_ {n} ^ { alpha} , { stackrel { chi _ {n} ^ { alpha}} { longrightarrow}} , X_ {n-1} , { stackrel {q} { longrightarrow}}} , X_ {n-1} / chap (X_ {n-1} setminus e_ {n-1} ^ { beta} o'ng) , { stackrel { cong} { longrightarrow}} , mathbb {S} ^ {n-1},}$

bu erda birinchi xarita aniqlanadi ${ displaystyle mathbb {S} ^ {n-1}}$ bilan ${ displaystyle kısmi e_ {n} ^ { alfa}}$ xarakterli xarita orqali ${ displaystyle Phi _ {n} ^ { alpha}}$ ning ${ displaystyle e_ {n} ^ { alpha}}$, ob'ekt ${ displaystyle e_ {n-1} ^ { beta}}$ bu ${ displaystyle (n-1)}$-cell X, uchinchi xarita ${ displaystyle q}$ qulab tushadigan kvota xaritasi ${ displaystyle X_ {n-1} setminus e_ {n-1} ^ { beta}}$ bir nuqtaga (shunday qilib o'rash) ${ displaystyle e_ {n-1} ^ { beta}}$ sharga ${ displaystyle mathbb {S} ^ {n-1}}$) va oxirgi xarita aniqlanadi ${ displaystyle X_ {n-1} / chap (X_ {n-1} setminus e_ {n-1} ^ { beta} o'ng)}$ bilan ${ displaystyle mathbb {S} ^ {n-1}}$ xarakterli xarita orqali ${ displaystyle Phi _ {n-1} ^ { beta}}$ ning ${ displaystyle e_ {n-1} ^ { beta}}$.

The chegara xaritasi

${ displaystyle kısalt _ {n}: {C_ {n}} (X_ {n}, X_ {n-1}) dan {C_ {n-1}} gacha (X_ {n-1}, X_ {n -2})}$

keyin formula bilan beriladi

${ displaystyle { kısalt _ {n}} (e_ {n} ^ { alfa}) = sum _ { beta} deg chap ( chi _ {n} ^ { alpha beta} o'ng ) e_ {n-1} ^ { beta},}$

qayerda ${ displaystyle deg chap ( chi _ {n} ^ { alpha beta} right)}$ bo'ladi daraja ning ${ displaystyle chi _ {n} ^ { alpha beta}}$ va yig'indisi hammasi ustidan olinadi ${ displaystyle (n-1)}$-hujayralari ${ displaystyle X}$, ning generatorlari sifatida qaraladi ${ displaystyle {C_ {n-1}} (X_ {n-1}, X_ {n-2})}$.

Misol

The no'lchovli soha Sⁿ ikkita hujayrali, biri 0 hujayrali va bittasi bo'lgan CW tuzilishini tan oladi n-cell. Mana n-cell doimiy xaritalash orqali biriktiriladi ${ displaystyle S ^ {n-1}}$ 0-katakka. Uyali zanjir guruhlari generatorlaridan beri ${ displaystyle {C_ {k}} (S_ {k} ^ {n}, S_ {k-1} ^ {n})}$ bilan aniqlanishi mumkin k-hujayralari Sⁿ, bizda shunday ${ displaystyle {C_ {k}} (S_ {k} ^ {n}, S_ {k-1} ^ {n}) = mathbb {Z}}$ uchun ${ displaystyle k = 0, n,}$ va boshqacha ahamiyatga ega emas.

Shuning uchun ${ displaystyle n> 1}$, natijada hosil bo'lgan zanjir kompleksi

${ displaystyle dotsb { overset { kısalt _ {n + 2}} { longrightarrow ,}} 0 { overset { kısalt _ {n + 1}} { longrightarrow ,}} mathbb {Z } { overset { kısalt _ {n}} { longrightarrow ,}} 0 { overset { kısalt _ {n-1}} { longrightarrow ,}} dotsb { overset { qismli _ { 2}} { longrightarrow ,}} 0 { overset { kısalt _ {1}} { longrightarrow ,}} mathbb {Z} { longrightarrow ,} 0,}$

ammo keyin barcha chegara xaritalari ahamiyatsiz guruhlarga yoki ulardan bo'lganligi sababli, ularning barchasi nolga teng bo'lishi kerak, ya'ni uyali homologiya guruhlari tengdir

${ displaystyle H_ {k} (S ^ {n}) = { begin {case} mathbb {Z} & k = 0, n {0 } & { text {aks holda.}} end { holatlar}}}$

Qachon ${ displaystyle n = 1}$, chegara xaritasini tekshirish juda qiyin emas ${ displaystyle kısalt _ {1}}$ nolga teng, ya'ni yuqoridagi formulaning barchasi ijobiy tomonga to'g'ri keladi ${ displaystyle n}$.

Ushbu misoldan ko'rinib turibdiki, uyali homologiya bilan qilingan hisob-kitoblar ko'pincha singular homologiyadan foydalangan holda hisoblagandan ko'ra samaraliroq bo'ladi.

Boshqa xususiyatlar

Uyali zanjir majmuasidan ${ displaystyle n}$-skeleton barcha quyi o'lchovli homologiya modullarini aniqlaydi:

${ displaystyle {H_ {k}} (X) cong {H_ {k}} (X_ {n})}$

uchun ${ displaystyle k$.

Ushbu uyali istiqbolning muhim natijasi shundaki, agar CW kompleksida ketma-ket o'lchamdagi hujayralar bo'lmasa, unda uning barcha homologik modullari bepul. Masalan, murakkab proektsion makon ${ displaystyle mathbb {CP} ^ {n}}$ har bir juft o'lchovda bitta katakka ega bo'lgan hujayra tuzilishiga ega; bundan kelib chiqadiki ${ displaystyle 0 leq k leq n}$,

${ displaystyle {H_ {2k}} ( mathbb {CP} ^ {n}; mathbb {Z}) cong mathbb {Z}}$

va

${ displaystyle {H_ {2k + 1}} ( mathbb {CP} ^ {n}; mathbb {Z}) = 0.}$

Umumlashtirish

The Atiya - Xirzebrux spektral ketma-ketligi o'zboshimchalik uchun CW kompleksining (co) gomologiyasini hisoblashning o'xshash usuli favqulodda (birgalikda) gomologiya nazariyasi.

Eyler xarakteristikasi

Uyali kompleks uchun ${ displaystyle X}$, ruxsat bering ${ displaystyle X_ {j}}$ uning bo'lishi ${ displaystyle j}$- skelet, va ${ displaystyle c_ {j}}$ soni bo'lishi kerak ${ displaystyle j}$-celllar, ya'ni bepul modulning darajasi ${ displaystyle {C_ {j}} (X_ {j}, X_ {j-1})}$. The Eyler xarakteristikasi ning ${ displaystyle X}$ keyin tomonidan belgilanadi

${ displaystyle chi (X) = sum _ {j = 0} ^ {n} (- 1) ^ {j} c_ {j}.}$

Eyler xarakteristikasi gomotopiya invariantidir. Aslida, jihatidan Betti raqamlari ning ${ displaystyle X}$,

${ displaystyle chi (X) = sum _ {j = 0} ^ {n} (- 1) ^ {j} operator nomi {Rank} ({H_ {j}} (X)).}$

Buni quyidagicha asoslash mumkin. Ning uzun aniq ketma-ketligini ko'rib chiqing nisbiy homologiya uchlik uchun ${ displaystyle (X_ {n}, X_ {n-1}, varnothing)}$:

${ displaystyle cdots to {H_ {i}} (X_ {n-1}, varnothing) to {H_ {i}} (X_ {n}, varnothing) to {H_ {i}} ( X_ {n}, X_ {n-1}) to cdots.}$

Ketma-ketlik orqali aniqlikni ta'qib qilish beradi

${ displaystyle sum _ {i = 0} ^ {n} (- 1) ^ {i} operatorname {Rank} ({H_ {i}} (X_ {n}, varnothing)) = sum _ { i = 0} ^ {n} (- 1) ^ {i} operator nomi {Rank} ({H_ {i}} (X_ {n}, X_ {n-1})) + + sum _ {i = 0 } ^ {n} (- 1) ^ {i} operator nomi {Rank} ({H_ {i}} (X_ {n-1}, varnothing)).}$

Xuddi shu hisoblash uch baravarga ham tegishli ${ displaystyle (X_ {n-1}, X_ {n-2}, varnothing)}$, ${ displaystyle (X_ {n-2}, X_ {n-3}, varnothing)}$va boshqalar induksiya bo'yicha,

${ displaystyle sum _ {i = 0} ^ {n} (- 1) ^ {i} ; operator nomi {Rank} ({H_ {i}} (X_ {n}, varnothing)) = sum _ {j = 0} ^ {n} sum _ {i = 0} ^ {j} (- 1) ^ {i} operator nomi {Rank} ({H_ {i}} (X_ {j}, X_ {) j-1})) = sum _ {j = 0} ^ {n} (- 1) ^ {j} c_ {j}.}$

Adabiyotlar

• Albrecht Dold: Algebraik topologiya bo'yicha ma'ruzalar, Springer ISBN  3-540-58660-1.
• Allen Xetcher: Algebraik topologiya, Kembrij universiteti matbuoti ISBN  978-0-521-79540-1. Bepul elektron versiyasi mavjud muallifning bosh sahifasi.