Bosh qator - Chief series

Yilda mavhum algebra, a bosh qator maksimal hisoblanadi normal seriyali a guruh.

Bu o'xshash kompozitsiyalar seriyasi, garchi ikkala tushuncha umuman farq qilsa ham: asosiy qator maksimal hisoblanadi normal seriyali, kompozitsion qator esa maksimal normal bo'lmagan seriyali.

Bosh qatorlarni guruhni unchalik murakkab bo'lmagan qismlarga ajratish deb hisoblash mumkin, bu guruhning turli xil fazilatlarini tavsiflash uchun ishlatilishi mumkin.

Ta'rif

Bosh qator - bu guruh uchun maksimal normal qator. Bunga teng ravishda, bosh qator - bu guruhning kompozitsion seriyasidir G harakati ostida ichki avtomorfizmlar.

Batafsil, agar G a guruh, keyin a bosh qator ning G ning cheklangan to'plamidir oddiy kichik guruhlar N_men ⊆ G,

${ displaystyle 1 = N_ {0} subseteq N_ {1} subseteq N_ {2} subseteq cdots subseteq N_ {n} = G,}$

shunday qilib har biri kvant guruhi N_men+1/N_men, uchun men = 1, 2,..., n - 1, a minimal normal kichik guruh ning G/N_men. Bunga teng ravishda biron bir kichik guruh mavjud emas A normal G shu kabi N_men < A < N_men+1 har qanday kishi uchun men. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, bosh seriyani "to'liq" deb hisoblash mumkin, chunki u hech qanday oddiy kichik guruhga ega emas G unga qo'shilishi mumkin.

Faktor guruhlari N_men+1/N_men bosh qatorda the deyiladi asosiy omillar ketma-ketligi. Aksincha kompozitsion omillar, asosiy omillar shart emas oddiy. Ya'ni, kichik guruh mavjud bo'lishi mumkin A normal N_men+1 bilan N_men < A < N_men+1, lekin A normal emas G. Biroq, asosiy omillar har doim xarakterli oddiy, ya'ni ularning tegishli nontriviallari yo'q xarakterli kichik guruhlar. Xususan, cheklangan asosiy omil - bu to'g'ridan-to'g'ri mahsulot izomorfik oddiy guruhlar.

Xususiyatlari

Mavjudlik

Sonlu guruhlar har doim bosh qatorga ega, ammo cheksiz guruhlarda bosh qator bo'lishi shart emas. Masalan, butun sonlar guruhi Z operatsiya bosh seriyasiga ega emasligi sababli qo'shimcha ravishda. Buni ko'rish uchun e'tibor bering Z bu tsiklik va abeliya va shuning uchun uning barcha kichik guruhlari odatiy va davriydir. U erda asosiy qator mavjud deb taxmin qiling N_men ziddiyatga olib keladi: N₁ davriydir va shuning uchun ba'zi bir butun son hosil bo'ladi aBiroq, 2 tomonidan yaratilgan kichik guruha tarkibiga to'g'ri kiritilgan noan'anaviy oddiy kichik guruh kiradi N₁, bosh qator ta'rifiga zid keladi.

O'ziga xoslik

Agar guruh uchun asosiy seriyalar mavjud bo'lsa, bu odatda noyob emas. Biroq, ning bir shakli Iordaniya-Xolder teoremasi guruhning asosiy omillari izomorfizmga xos bo'lib, ular tuzilgan ma'lum bir qatorlardan mustaqil. Xususan, asosiy omillar soni o'zgarmas guruhning G, shuningdek izomorfizm sinflari asosiy omillar va ularning ko'pligi.

Boshqa xususiyatlar

Abeliya guruhlarida bosh seriyalar va kompozitsiyalar seriyalari bir xil, chunki barcha kichik guruhlar normaldir.

Har qanday normal kichik guruh berilgan N ⊆ G, har doim bosh qatorni topish mumkin N elementlardan biridir (uchun asosiy qatorni nazarda tutgan holda G birinchi navbatda mavjud.) Shuningdek, agar G bosh seriyasiga ega va N normaldir G, keyin ikkalasi ham N va G/N bosh seriyalarga ega. Aksincha, shuningdek: agar N normaldir G va ikkalasi ham N va G/N bosh seriyalarga ega, G shuningdek, bosh seriyasiga ega.

Adabiyotlar

• Isaaks, I. Martin (1994). Algebra: Bitiruv kursi. Bruks / Koul. ISBN  0-534-19002-2.