Oddiy kichik guruh - Normal subgroup

Yilda mavhum algebra, a oddiy kichik guruh (shuningdek, o'zgarmas kichik guruh yoki o'zini o'zi birlashtirgan kichik guruh)^[1] a kichik guruh ostida o'zgarmasdir konjugatsiya a'zolari tomonidan guruh uning bir qismi. Boshqacha qilib aytganda, kichik guruh $N$ guruhning $G$ normaldir $G$ agar va faqat agar $gng -1 \in N$ Barcha uchun $g \in G$ va $n \in N$ . Ushbu munosabat uchun odatiy yozuv ${displaystyle N riangleleft G}$ .

Oddiy kichik guruhlar muhimdir, chunki ular (va faqat ular) qurish uchun ishlatilishi mumkin kvant guruhlari berilgan guruh. Bundan tashqari, ning normal kichik guruhlari $G$ aniq yadrolari ning guruh homomorfizmlari domen bilan $G$ , demak, ular o'sha homomorfizmlarni ichki tasniflash uchun ishlatilishi mumkin.

Évariste Galois birinchi bo'lib normal kichik guruhlar mavjudligining ahamiyatini angladi.^[2]

Ta'riflar

A kichik guruh $N$ guruhning $G$ deyiladi a oddiy kichik guruh ning $G$ agar u o'zgarmas bo'lsa konjugatsiya; ya'ni elementining konjugatsiyasi $N$ elementi tomonidan $G$ har doim ichida $N$ .^[3] Ushbu munosabat uchun odatiy yozuv ${displaystyle N riangleleft G}$ .

Ekvivalent shartlar

Har qanday kichik guruh uchun $N$ ning $G$ , quyidagi shartlar mavjud teng ga $N$ ning oddiy kichik guruhi bo'lish $G$ . Shuning uchun ulardan har qanday birini ta'rif sifatida qabul qilish mumkin:

Ning konjugatsiyasi tasviri $N$ ning har qanday elementi tomonidan $G$ ning pastki qismi $N$ .^[4]'
Ning konjugatsiyasi tasviri $N$ ning har qanday elementi tomonidan $G$ ga teng $N$ .^[4]
Barcha uchun $g$ yilda $G$ , chap va o'ng kosetalar $gN$ va $Ng$ tengdir.^[4]
Chap va o'ng to'plamlari kosets ning $N$ yilda $G$ mos keladi.^[4]
Ning chap kosetasi elementining hosilasi $N$ munosabat bilan $g$ va chap koset elementi $N$ munosabat bilan $h$ ning chap kosetasining elementidir $N$ munosabat bilan $gh$ : $\forall x, y, g, h \in G$ , agar $x \in gN$ va $y \in hN$ keyin $xy \in (gh) N$ .
$N$ a birlashma ning konjugatsiya darslari ning $G$ .^[2]
$N$ tomonidan saqlanib qolgan ichki avtomorfizmlar ning $G$ .^[5]
Ba'zi birlari bor guruh homomorfizmi $G \to H$ kimning yadro bu $N$ .^[2]
Barcha uchun ${displaystyle nin N}$ va ${displaystyle jin G}$ , komutator ${displaystyle [n, g] = n ^ {- 1} g ^ {- 1} ng}$ ichida $N$ .^{[iqtibos kerak ]}
Oddiy kichik guruh a'zoligiga oid har qanday ikkita element qatnov: $\forall g, h \in G, gh \in N \Leftrightarrow hg \in N$ .^{[iqtibos kerak ]}

Misollar

Arzimagan kichik guruh ${e}$ ning faqat identifikator elementidan iborat $G$ va $G$ o'zi har doim normal kichik guruhlardir $G$ . Agar bu oddiy oddiy kichik guruhlar bo'lsa, unda $G$ deb aytilgan oddiy.^[6]
Har bir kichik guruh $N$ ning abeliy guruhi $G$ normal, chunki ${displaystyle gN = {gn} _ {nin N} = {ng} _ {nin N} = Ng.}$ Abeliya bo'lmagan, ammo har bir kichik guruh normal bo'lgan guruh a deb ataladi Hamilton guruhi.^[7]
The guruhning markazi bu oddiy kichik guruh.^[8]
Umuman olganda, har qanday xarakterli kichik guruh normaldir, chunki konjugatsiya har doim an avtomorfizm.^[9]
The kommutatorning kichik guruhi ${displaystyle [G, G]}$ ning oddiy kichik guruhidir ${displaystyle G}$ .^[10]
The tarjima guruhi ning normal kichik guruhi Evklid guruhi har qanday o'lchovda.^[11] Bu shuni anglatadiki: qattiq transformatsiyani, so'ngra tarjimani va keyin teskari qattiq transformatsiyani qo'llash bitta tarjima bilan bir xil ta'sirga ega (garchi odatda biz ilgari ishlatganimizdan farq qilsa ham). Aksincha, barchaning kichik guruhi aylanishlar kelib chiqishi haqida emas Evklid guruhining normal kichik guruhi, agar o'lcham kamida 2 ga teng bo'lsa: avval tarjima qilish, keyin kelib chiqishi atrofida aylantirish va keyin orqaga tarjima qilish odatda kelib chiqishni tuzatmaydi va shuning uchun taxminan bitta aylanish bilan bir xil ta'sirga ega bo'lmaydi. kelib chiqishi.
In Rubik kubigi guruhi, faqat burchak qismlari yoki chekka qismlarining yo'nalishlariga ta'sir qiladigan operatsiyalardan iborat kichik guruhlar normaldir.^[12]

Xususiyatlari

Agar $H$ ning oddiy kichik guruhidir $G$ va $K$ ning kichik guruhidir $G$ o'z ichiga olgan $H$ , keyin $H$ ning oddiy kichik guruhidir $K$ .^[13]
Guruhning normal kichik guruhining normal kichik guruhi guruhda normal bo'lmasligi kerak. Ya'ni normal holat a emas o'tish munosabati. Ushbu hodisani namoyish etadigan eng kichik guruh bu dihedral guruh 8-tartib.^[14] Biroq, a xarakterli kichik guruh normal kichik guruh normal hisoblanadi.^[15] Normallik o'tkinchi bo'lgan guruh a deb ataladi T guruhi.^[16]
Ikki guruh $G$ va $H$ ularning normal kichik guruhlari to'g'ridan-to'g'ri mahsulot $G \times H$ .
Agar guruh bo'lsa $G$ a yarim yo'nalishli mahsulot ${displaystyle G = Ntimes H,}$ , keyin $N$ normaldir $G$ , Garchi $H$ normal bo'lishi shart emas $G$ .
Normativlik sur'ektiv gomomorfizmlar ostida saqlanib qoladi,^[17] ya'ni agar $G \to H$ bu surjectiv guruh gomomorfizmi va $N$ normaldir $G$ , keyin rasm $f (N)$ normaldir $H$ .
Normallik qabul qilish orqali saqlanib qoladi teskari tasvirlar,^[17] ya'ni agar $G \to H$ guruh gomomorfizmi va $N$ normaldir $H$ , keyin teskari rasm $f -1 (N)$ normaldir $G$ .
Qabul qilishda odatiylik saqlanib qoladi to'g'ridan-to'g'ri mahsulotlar,^[18] ya'ni agar ${displaystyle N_ {1} riangleleft G_ {1}}$ va ${displaystyle N_ {2} riangleleft G_ {2}}$ , keyin ${displaystyle N_ {1} imes N_ {2}; riangleleft; G_ {1} imes G_ {2}}$ .
Ning har bir kichik guruhi indeks 2 normal. Umuman olganda, kichik guruh, $H$ , cheklangan indeks, $n$ , yilda $G$ kichik guruhni o'z ichiga oladi, $K$ , normal $G$ va indekslarni ajratish $n!$ deb nomlangan normal yadro. Xususan, agar $p$ tartibini ajratuvchi eng kichik tub son $G$ , keyin indeksning har bir kichik guruhi $p$ normal holat.^[19]
Ning oddiy kichik guruhlari $G$ aniqlangan guruh homomorfizmlarining yadrolari G oddiy kichik guruhlarning ba'zi muhimligini hisobga oladi; ular guruhda aniqlangan barcha homomorfizmlarni ichki tasniflash usuli. Masalan, noaniq sonli guruh oddiy agar u faqat o'ziga xos bo'lmagan barcha homomorfik tasvirlar uchun izomorf bo'lsa,^[20] cheklangan guruh mukammal agar u oddiy boshlang'ich kichik guruhlari bo'lmasa indeks, va bir guruh nomukammal agar va faqat olingan kichik guruh har qanday to'g'ri normal kichik guruh bilan to'ldirilmaydi.

Oddiy kichik guruhlarning panjarasi

Ikki oddiy kichik guruhni hisobga olgan holda, $N$ va $M$ , ning $G$ , ularning kesishishi ${displaystyle Ncap M}$ va ularning mahsuloti ${displaystyle NM = {nmmid nin N; {ext {and}}; min M}}$ ning oddiy kichik guruhlari ham mavjud $G$ .

Ning normal kichik guruhlari $G$ shakl panjara ostida kichik to'plamni kiritish bilan eng kichik element, ${e}$ va eng katta element, $G$ . The uchrashmoq ikkita oddiy kichik guruhdan, $N$ va $M$ , bu panjarada ularning kesishishi va qo'shilish ularning mahsulotidir.

Panjara to'liq va modulli.^[18]

Oddiy kichik guruhlar, kvant guruhlar va homomorfizmlar

Agar $N$ oddiy kichik guruh, biz kosetsda ko'paytmani quyidagicha aniqlashimiz mumkin:

{displaystyle (a_ {1} N) (a_ {2} N): = (a_ {1} a_ {2}) N.}

Ushbu munosabatlar xaritalashni belgilaydi

{displaystyle G / N imes G / N o G / N}

. Ushbu xaritalash aniq belgilanganligini ko'rsatish uchun vakillik elementlarini tanlashni isbotlash kerak

{displaystyle a_ {1}, a_ {2}}

natijaga ta'sir qilmaydi. Shu maqsadda ba'zi boshqa vakillik elementlarini ko'rib chiqing

{displaystyle a_ {1} 'a_ {1} N, a_ {2}' a_ {2} N}

. Keyin bor

{displaystyle n_ {1}, n_ {2} - N}

shu kabi

{displaystyle a_ {1} '= a_ {1} n_ {1}, a_ {2}' = a_ {2} n_ {2}}

. Bundan kelib chiqadiki

{displaystyle a_ {1} 'a_ {2}' N = a_ {1} n_ {1} a_ {2} n_ {2} N = a_ {1} a_ {2} n_ {1} 'n_ {2} N = a_ {1} a_ {2} N,}

bu erda biz ham haqiqatdan foydalanganmiz

{displaystyle N}

a normal kichik guruh va shuning uchun ham mavjud

{displaystyle n_ {1} 'Nda

shu kabi

{displaystyle n_ {1} a_ {2} = a_ {2} n_ {1} '}

. Bu mahsulot kosetlar o'rtasida aniq belgilangan xaritalash ekanligini isbotlaydi.

Ushbu operatsiya bilan kosetalar to'plami o'zi deb nomlangan guruhdir kvant guruhi va bilan belgilanadi $G / N$ . Tabiiy narsa bor homomorfizm, $f : G \to G / N$ , tomonidan berilgan $f (a) = a$ . Ushbu homomorfizm xaritalari ${displaystyle N}$ ning identifikatsiya elementiga $G / N$ , bu koset $eN = N$ ,^[21] anavi, ${displaystyle ker (f) = N}$ .

Umuman olganda, guruh homomorfizmi, $f : G \to H$ ning kichik guruhlarini yuboradi $G$ ning kichik guruhlariga $H$ . Bundan tashqari, har qanday kichik guruhning ustunligi $H$ ning kichik guruhidir $G$ . Biz ahamiyatsiz guruhning ustunligini chaqiramiz ${e}$ yilda $H$ The yadro gomomorfizm va uni belgilang $ker (f)$ . Ma'lum bo'lishicha, yadro har doim normal va tasviridir $G$ , $f (G)$ , har doim izomorfik ga $G / ker (f)$ (the birinchi izomorfizm teoremasi ).^[22] Darhaqiqat, bu yozishmalar $ ning barcha kvant guruhlari to'plami orasidagi biektsiya $G$ , $G / N$ , va barcha homomorfik tasvirlar to'plami $G$ (qadar izomorfizm).^[23] Shuningdek, xaritaning yadrosi, $f : G \to G / N$ , bo'ladi $N$ o'zi, shuning uchun oddiy kichik guruhlar aniq homomorfizmlarning yadrolari domen $G$ .^[24]

Shuningdek qarang

Kichik guruhlarni kichik guruhlarga olib boradigan operatsiyalar

Kichik guruh xususiyatlari normal holatga qo'shimcha (yoki qarama-qarshi)

Kichik guruh xususiyatlari odatdagidan kuchliroq

Kichik guruh xususiyatlari odatdagidan zaifroq

Algebra bilan bog'liq tushunchalar

Ideal (halqa nazariyasi)

Izohlar

^ Bredli 2010 yil, p. 12.
^ ^a ^b ^v Cantrell 2000 yil, p. 160.
^ Dummit & Foote 2004 yil.
^ ^a ^b ^v ^d Hungerford 2003 yil, p. 41.
^ Fraleigh 2003 yil, p. 141.
^ Robinson 1996 yil, p. 16.
^ Zal 1999, p. 190.
^ Hungerford 2003 yil, p. 45.
^ Zal 1999, p. 32.
^ Zal 1999, p. 138.
^ Thurston 1997 yil, p. 218.
^ Bergval va boshq. 2010 yil, p. 96.
^ Hungerford 2003 yil, p. 42.
^ Robinson 1996 yil, p. 17.
^ Robinson 1996 yil, p. 28.
^ Robinson 1996 yil, p. 402.
^ ^a ^b Zal 1999, p. 29.
^ ^a ^b Hungerford 2003 yil, p. 46.
^ Robinson 1996 yil, p. 36.
^ Dmõsi & Nehaniv 2004 yil, p. 7.
^ Hungerford 2003 yil, 42-43 bet.
^ Hungerford 2003 yil, p. 44.
^ Robinson 1996 yil, p. 20.
^ Zal 1999, p. 27.

Adabiyotlar

Bergval, Olof; Xaynning, Elin; Xedberg, Mikael; Mikelin, Joel; Masawe, Patrik (2010 yil 16-may). "Rubik kubikida" (PDF). KTH. Iqtibos jurnali talab qiladi | jurnal = (Yordam bering)CS1 maint: ref = harv (havola)
Cantrell, C.D. (2000). Fiziklar va muhandislar uchun zamonaviy matematik usullar. Kembrij universiteti matbuoti. ISBN 978-0-521-59180-5.CS1 maint: ref = harv (havola)
Dmomsi, Pal; Nehaniv, Xristofor L. (2004). Avtomatlashtirilgan tarmoqlarning algebraik nazariyasi. Diskret matematika va amaliy dasturlar bo'yicha SIAM monografiyalari. SIAM.CS1 maint: ref = harv (havola)
Dammit, Devid S.; Fut, Richard M. (2004). Mavhum algebra (3-nashr). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-43334-9.CS1 maint: ref = harv (havola)
Fraley, Jon B. (2003). Abstrakt algebra bo'yicha birinchi kurs (7-nashr). Addison-Uesli. ISBN 978-0-321-15608-2.CS1 maint: ref = harv (havola)
Hall, Marshall (1999). Guruhlar nazariyasi. Dalil: Chelsi nashriyoti. ISBN 978-0-8218-1967-8.CS1 maint: ref = harv (havola)
Hungerford, Tomas (2003). Algebra. Matematikadan aspirantura matnlari. Springer.CS1 maint: ref = harv (havola)
Robinson, Derek J. S. (1996). Guruhlar nazariyasi kursi. Matematikadan aspirantura matnlari. 80 (2-nashr). Springer-Verlag. ISBN 978-1-4612-6443-9. Zbl 0836.20001.CS1 maint: ref = harv (havola)
Thurston, Uilyam (1997). Levi, Silvio (tahrir). Uch o'lchovli geometriya va topologiya, jild. 1. Prinston matematik seriyasi. Prinston universiteti matbuoti. ISBN 978-0-691-08304-9.CS1 maint: ref = harv (havola)
Bredli, J. J. (2010). Qattiq jismlarda simmetriyaning matematik nazariyasi: nuqta guruhlari va kosmik guruhlar uchun vakillik nazariyasi. Oksford Nyu-York: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-958258-7. OCLC 859155300.

Qo'shimcha o'qish

I. N. Gershteyn, Algebradagi mavzular. Ikkinchi nashr. Xerox College Publishing, Leksington, Mass-Toronto, Ont., 1975. xi + 388 pp.

Tashqi havolalar

[FOOTNOTEBradley201012-1] Bredli 2010 yil, p. 12.

[FOOTNOTECantrell2000160-2] v Cantrell 2000 yil, p. 160.

[FOOTNOTEDummitFoote2004-3] Dummit & Foote 2004 yil.

[FOOTNOTEHungerford200341-4] v ^d Hungerford 2003 yil, p. 41.

[FOOTNOTEFraleigh2003141-5] Fraleigh 2003 yil, p. 141.

[FOOTNOTERobinson199616-6] Robinson 1996 yil, p. 16.

[FOOTNOTEHall1999190-7] Zal 1999, p. 190.

[FOOTNOTEHungerford200345-8] Hungerford 2003 yil, p. 45.

[FOOTNOTEHall199932-9] Zal 1999, p. 32.

[FOOTNOTEHall1999138-10] Zal 1999, p. 138.

[FOOTNOTEThurston1997218-11] Thurston 1997 yil, p. 218.

[FOOTNOTEBergvallHynningHedbergMickelin201096-12] Bergval va boshq. 2010 yil, p. 96.

[FOOTNOTEHungerford200342-13] Hungerford 2003 yil, p. 42.

[FOOTNOTERobinson199617-14] Robinson 1996 yil, p. 17.

[FOOTNOTERobinson199628-15] Robinson 1996 yil, p. 28.

[FOOTNOTERobinson1996402-16] Robinson 1996 yil, p. 402.

[FOOTNOTEHall199929-17] Zal 1999, p. 29.

[FOOTNOTEHungerford200346-18] Hungerford 2003 yil, p. 46.

[FOOTNOTERobinson199636-19] Robinson 1996 yil, p. 36.

[FOOTNOTEDõmõsiNehaniv20047-20] Dmõsi & Nehaniv 2004 yil, p. 7.

[FOOTNOTEHungerford200342–43-21] Hungerford 2003 yil, 42-43 bet.

[FOOTNOTEHungerford200344-22] Hungerford 2003 yil, p. 44.

[FOOTNOTERobinson199620-23] Robinson 1996 yil, p. 20.

[FOOTNOTEHall199927-24] Zal 1999, p. 27.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]