Doimiy chiziqli operator - Continuous linear operator

Yilda funktsional tahlil va tegishli sohalari matematika, a uzluksiz chiziqli operator yoki uzluksiz chiziqli xaritalash a davomiy chiziqli transformatsiya o'rtasida topologik vektor bo'shliqlari.

Ikkala operator normalangan bo'shliqlar a chegaralangan chiziqli operator agar va u uzluksiz chiziqli operator bo'lsa.

Doimiy chiziqli operatorlar

Uzluksizlikning xarakteristikalari

Shuningdek qarang: Chegaralangan operator

Aytaylik F : X → Y ikkitasi orasidagi chiziqli operator topologik vektor bo'shliqlari (TVS). Quyidagilar teng:

  1. F 0 dyuymda uzluksiz X.
  2. F bir nuqtada doimiydir x0 ∈ X.
  3. F hamma joyda doimiy X

va agar Y bu mahalliy konveks keyin biz ushbu ro'yxatga qo'shishimiz mumkin:

  1. har bir doimiy uchun seminar q kuni Y, doimiy seminar mavjud p kuni X shu kabi q ∘ F ≤ p.[1]

va agar X va Y ikkalasi ham mahalliy konusning bo'shliqlari, shuning uchun biz ushbu ro'yxatga quyidagilarni qo'shishimiz mumkin:

  1. F bu zaif uzluksiz va uning ko'chirish tF : Y' → X' xaritalar tengdoshli kichik guruhlari Y' ning teng qismli kichik to'plamlariga X'.

va agar X bu pseudometrizable (ya'ni agar u hisoblash mumkin bo'lsa) mahalla asoslari kelib chiqishi), keyin biz ushbu ro'yxatga quyidagilarni qo'shishimiz mumkin:

  1. F a Chegaralangan chiziqli operator (ya'ni cheklangan kichik to'plamlarni xaritada aks ettiradi X ning cheklangan kichik qismlariga Y).[2]

va agar X va Y seminarlar o'tkaziladigan joylar, shunda biz ushbu ro'yxatga quyidagilarni qo'shishimiz mumkin:

  1. har bir kishi uchun ε> 0 mavjud a δ> 0 shu kabi ||x - y|| <δ nazarda tutadi ||Fx - Xayriyat|| <ε;

va agar Y bu mahalliy chegaradosh keyin biz ushbu ro'yxatga qo'shishimiz mumkin:

  1. F 0 ning ba'zi mahallalarini chegaralangan kichik qismiga xaritalar Y.[3]

va agar X va Y bilan Hausdorff mahalliy konveks televizorlari mavjud Y cheklangan o'lchovli bo'lsa, biz ushbu ro'yxatga quyidagilarni qo'shishimiz mumkin:

  1. ning grafigi F yopiq X × Y.[4]

Uzluksizlik uchun etarli shartlar

Aytaylik F : X → Y ikkita televizor orasidagi chiziqli operator.

  • Agar mahalla bo'lsa U 0 ning X shu kabi F(U) ning cheklangan kichik to'plami Y, keyin F uzluksiz.[2]
  • Agar X a psevdometrizatsiya qilinadigan televizorlar va F chegaralangan kichik to'plamlarini xaritalari X ning cheklangan kichik qismlariga Y, keyin F uzluksiz.[2]

Uzluksiz chiziqli operatorlarning xususiyatlari

A mahalliy konveks o'lchovli televizorlar bu normal va agar undagi har bir chiziqli funktsional uzluksiz bo'lsa.

Doimiy chiziqli operator xaritalari cheklangan to'plamlar cheklangan to'plamlarga.

Dalilda topologik bo'shliqdagi ochiq to'plamning tarjimasi yana ochiq to'plam ekanligi va tenglik

F −1(D.) + x0 = F −1(D. + F(x0))}}

har qanday kichik to'plam uchun D. ning Y va har qanday x0 ∈ X, bu qo'shimchalar tufayli to'g'ri keladi F.

Doimiy chiziqli funktsionalliklar

Televizorda har qanday chiziqli funktsional chiziqli operator hisoblanadi, shuning uchun doimiy chiziqli operatorlar uchun yuqorida tavsiflangan barcha xususiyatlar ularga tegishli. Biroq, ularning ixtisoslashgan xususiyati tufayli biz uzluksiz chiziqli funktsionalliklar haqida ko'proq umumiy uzluksiz chiziqli operatorlarga qaraganda ko'proq gapirishimiz mumkin.

Uzluksiz chiziqli funktsional xususiyatlarni tavsiflash

Ruxsat bering X bo'lishi a topologik vektor maydoni (TVS) (biz buni taxmin qilmaymiz X Hausdorff yoki mahalliy konveks ) va ruxsat bering f bo'lishi a chiziqli funktsional kuni X. Quyidagilar teng:[1]

  1. f uzluksiz.
  2. f kelib chiqishida doimiydir.
  3. f nuqtasida uzluksiz bo'ladi X.
  4. f bir xilda uzluksiz X.
  5. Ba'zi mahalla mavjud U kelib chiqishi shunday f(U) chegaralangan.[2]
  6. Ning yadrosi f yopiq X.[2]
  7. Yoki f = 0 yoki boshqa yadrosi f bu emas zich X.[2]
  8. Qayta f doimiy, qaerda Qayta f ning haqiqiy qismini bildiradi f.
  9. Doimiy seminar mavjud p kuni X shu kabi |f| ≤ p.
  10. Ning grafigi f yopiq.[5]

va agar X bu pseudometrizable (ya'ni agar u hisoblash mumkin bo'lsa) mahalla asoslari kelib chiqishi), keyin biz ushbu ro'yxatga quyidagilarni qo'shishimiz mumkin:

  1. f bu mahalliy chegaradosh (ya'ni cheklangan pastki to'plamlarni chegaralangan pastki qismlarga xaritada aks ettiradi).[2]

va agar qo'shimcha ravishda X - ustidagi vektor maydoni haqiqiy raqamlar (xususan, shuni anglatadiki f haqiqiy qiymatga ega), keyin biz ushbu ro'yxatga quyidagilarni qo'shishimiz mumkin:

  1. Doimiy seminar mavjud p kuni X shu kabi f ≤ p.[1]
  2. Ba'zilar uchun haqiqiy r, yarim bo'shliq { x ∈ X : f(x) ≤ r} yopiq.
  3. Yuqoridagi bayonot, ammo "ba'zi" so'zlari bilan "har qanday" bilan almashtirilgan.[6]

va agar X kompleks topologik vektor maydoni (TVS), keyin biz ushbu ro'yxatga quyidagilarni qo'shishimiz mumkin:

  1. Ning xayoliy qismi f uzluksiz.

Shunday qilib, agar X bu uchalasining ham kompleksidir f, Qayta fva Im f bor davomiy (resp. chegaralangan ), aks holda uchalasi ham uzluksiz (hurmat cheklanmagan).

Uzluksiz chiziqli funktsionallar uchun etarli shartlar

  • Sonli o'lchovli Hausdorff topologik vektor fazosidagi har qanday chiziqli funktsiya uzluksizdir.
  • Agar X bu televizor, keyin har bir cheklangan chiziqli funktsional X doimiy va faqat har birida bo'lsa chegaralangan pastki qismi X cheklangan o'lchovli vektor pastki maydonida joylashgan.[7]

Uzluksiz chiziqli funktsional xususiyatlar

Agar X kompleks normalangan bo'shliq va f chiziqli funktsionaldir X, keyin ||f|| = ||Qayta f||[8] (bu erda, xususan, bitta tomon cheksiz bo'lsa va boshqa tomon cheksiz bo'lsa).

Televizorda har qanday ahamiyatsiz doimiy chiziqli funktsional X bu xaritani oching.[1] E'tibor bering, agar X bu haqiqiy vektor maydoni, f chiziqli funktsionaldir Xva p bo'yicha seminar X, keyin |f| ≤ p agar va faqat agar f ≤ p.[1]

Shuningdek qarang

Adabiyotlar

  1. ^ a b v d e Narici va Bekenshteyn 2011 yil, 126-128-betlar.
  2. ^ a b v d e f g Narici va Bekenshteyn 2011 yil, 156-175-betlar.
  3. ^ Wilansky 2013 yil, p. 54.
  4. ^ Narici va Bekenshteyn 2011 yil, p. 476.
  5. ^ Wilansky 2013 yil, p. 63.
  6. ^ Narici va Bekenshteyn 2011 yil, 225-273-betlar.
  7. ^ Wilansky 2013 yil, p. 50.
  8. ^ Narici va Bekenshteyn 2011 yil, p. 128.
  • Adasch, Norbert; Ernst, Bruno; Keym, Diter (1978). Topologik vektor bo'shliqlari: Qavariqliksiz nazariya. Matematikadan ma'ruza matnlari. 639. Berlin Nyu-York: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-08662-8. OCLC  297140003.
  • Berberian, Sterling K. (1974). Funktsional tahlil va operator nazariyasidagi ma'ruzalar. Matematikadan aspirantura matnlari. 15. Nyu-York: Springer. ISBN  978-0-387-90081-0. OCLC  878109401.
  • Burbaki, Nikolas (1987) [1981]. Topologik vektor bo'shliqlari: 1-5 boblar [Sur sertifikatlari vektorlar topologiqalarini himoya qiladi]. Annales de l'Institut Fourier. Éléments de mathématique. 2. Tarjima Eggleston, H.G.; Madan, S. Berlin, Nyu-York: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-42338-6. OCLC  17499190.
  • Konvey, Jon (1990). Funktsional tahlil kursi. Matematikadan aspirantura matnlari. 96 (2-nashr). Nyu York: Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-97245-9. OCLC  21195908.
  • Dunford, Nelson (1988). Lineer operatorlar (Rumin tilida). Nyu-York: Interscience Publishers. ISBN  0-471-60848-3. OCLC  18412261.
  • Edvards, Robert E. (1995). Funktsional tahlil: nazariya va qo'llanmalar. Nyu-York: Dover nashrlari. ISBN  978-0-486-68143-6. OCLC  30593138.
  • Grothendieck, Aleksandr (1973). Topologik vektor bo'shliqlari. Chaljub, Orlando tomonidan tarjima qilingan. Nyu-York: Gordon va Breach Science Publishers. ISBN  978-0-677-30020-7. OCLC  886098.
  • Jarxov, Xans (1981). Mahalliy konveks bo'shliqlari. Shtutgart: B.G. Teubner. ISBN  978-3-519-02224-4. OCLC  8210342.
  • Kote, Gotfrid (1969). Topologik vektor bo'shliqlari I. Grundlehren derhematischen Wissenschaften. 159. Garling tomonidan tarjima qilingan, D.J.H. Nyu-York: Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-642-64988-2. JANOB  0248498. OCLC  840293704.
  • Narici, Lourens; Bekenshteyn, Edvard (2011). Topologik vektor bo'shliqlari. Sof va amaliy matematik (Ikkinchi nashr). Boka Raton, FL: CRC Press. ISBN  978-1584888666. OCLC  144216834.
  • Rudin, Valter (1991 yil yanvar). Funktsional tahlil. McGraw-Hill fan / muhandislik / matematika. ISBN  978-0-07-054236-5.
  • Shefer, Helmut H.; Volf, Manfred P. (1999). Topologik vektor bo'shliqlari. GTM. 8 (Ikkinchi nashr). Nyu-York, NY: Springer Nyu-York Imprint Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
  • Svarts, Charlz (1992). Funktsional tahlilga kirish. Nyu-York: M. Dekker. ISBN  978-0-8247-8643-4. OCLC  24909067.
  • Triv, Fransua (2006) [1967]. Topologik vektor bo'shliqlari, tarqalishi va yadrolari. Mineola, N.Y .: Dover nashrlari. ISBN  978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.
  • Vilanskiy, Albert (2013). Topologik vektor bo'shliqlarida zamonaviy usullar. Mineola, Nyu-York: Dover Publications, Inc. ISBN  978-0-486-49353-4. OCLC  849801114.