Cramers boshqaradi - Cramers rule - Wikipedia

Yilda chiziqli algebra, Kramer qoidasi a yechimi uchun aniq formuladir chiziqli tenglamalar tizimi Tizim noyob echimga ega bo'lganida amal qiladigan noma'lum bo'lgan tenglamalar bilan. Bu yechimni determinantlar (kvadrat) koeffitsienti matritsa va undan bitta matritsani tenglamalarning o'ng tomonlari ustun vektori bilan almashtirish orqali olingan matritsalar. Uning nomi berilgan Gabriel Kramer 1750 yilda noma'lum miqdordagi o'zboshimchalik qoidasini e'lon qilgan (1704–1752),[1][2] bo'lsa-da Kolin Maklaurin shuningdek, 1748 yilda ushbu qoidalarning maxsus holatlarini nashr etdi[3] (va ehtimol bu haqda 1729 yildayoq bilgan).[4][5][6]

Kramerning sodda tarzda qo'llanilgan qoidasi ikki yoki uchta tenglamadan ko'proq tizimlar uchun hisoblash samarasizdir.[7] Bo'lgan holatda n tenglamalar n noma'lum, bu hisoblashni talab qiladi n + 1 determinantlar esa Gaussni yo'q qilish xuddi shu bilan natijani keltirib chiqaradi hisoblash murakkabligi bitta determinantni hisoblash sifatida.[8][9][tekshirish kerak ] Kramerning qoidasi ham bo'lishi mumkin son jihatdan beqaror hatto 2 × 2 tizimlar uchun ham.[10] Ammo yaqinda Kramer qoidasini O (n3) vaqt,[11] kabi chiziqli tenglamalar tizimini echishning keng tarqalgan usullari bilan solishtirish mumkin Gaussni yo'q qilish (barcha matritsa o'lchamlari uchun doimiy ravishda 2,5 barobar ko'proq arifmetik operatsiyalarni talab qilish), aksariyat hollarda taqqoslanadigan raqamli barqarorlikni namoyish etish.

Umumiy ish

Tizimini ko'rib chiqing n uchun chiziqli tenglamalar n matritsalarni ko'paytirish shaklida quyidagicha ko'rsatilgan noma'lum:

qaerda n × n matritsa A nolga teng bo'lmagan aniqlovchi va vektorga ega o'zgaruvchilarning ustun vektori. Keyin teorema, bu holda tizim noyob echimga ega ekanligini ta'kidlaydi, uning noma'lumlar uchun individual qiymatlari quyidagicha:

qayerda ni almashtirish orqali hosil bo'lgan matritsa men- ustun A ustunli vektor bo'yicha b.

Kramer qoidasining umumiy versiyasi[12] matritsa tenglamasini ko'rib chiqadi

qaerda n × n matritsa A nolga teng bo'lmagan determinantga ega va X, B bor n × m matritsalar. Berilgan ketma-ketliklar va , ruxsat bering bo'lishi k × k submatrix X qatorlar bilan va ustunlar . Ruxsat bering bo'lishi n × n o'rniga qo'yish natijasida hosil bo'lgan matritsa ustuni A tomonidan ustuni B, Barcha uchun . Keyin

Bunday holda , bu odatdagi Kramer qoidasiga qadar kamayadi.

Qoida koeffitsientli va hech birida noma'lum bo'lgan tenglamalar tizimida qo'llaniladi maydon, nafaqat haqiqiy raqamlar.

Isbot

Kramer qoidasining isboti quyidagilardan foydalanadi determinantlarning xususiyatlari: har qanday berilgan ustunga nisbatan lineerlik va ikkita ustun tenglashganda aniqlovchining nolga teng bo'lishi, bu agar siz ikkita ustunni almashtirsangiz, determinant belgisi siljiydi degan xususiyatni anglatadi.

Indeksni tuzating j ustunning. Lineerlik degani, agar biz faqat ustunni hisobga olsak j o'zgaruvchan sifatida (boshqalarni o'zboshimchalik bilan tuzatish), natijada paydo bo'ladigan funktsiya RnR (agar matritsa yozuvlari mavjud bo'lsa R) matritsa bilan berilishi mumkin, bitta qator bilan va n ustun ustida ishlaydigan ustunlar j. Aslida bu aniq Laplas kengayishi qiladi, yozadi det (A) = C1a1,j + ... + Cnan, j ma'lum koeffitsientlar uchun C1, ..., Cn ustunlariga bog'liq A ustundan tashqari j (bularning aniq ifodasi kofaktorlar bu erda muhim emas). Qiymat det (A) keyin bir qatorli matritsani qo'llash natijasidir L(j) = (C1 C2 ... Cn) ustunga j ning A. Agar L(j) har qanday biriga qo'llaniladi boshqa ustun k ning A, keyin natija olingan matritsaning determinantidir A ustunni almashtirish orqali j ustun nusxasi bilan k, shuning uchun hosil bo'lgan determinant 0 ga teng (ikkita teng ustun holati).

Endi sistemasini ko'rib chiqing n chiziqli tenglamalar n noma'lum , uning koeffitsient matritsasi A, det bilan (A) nolga teng deb taxmin qilingan:

Agar kimdir ushbu tenglamalarni olish yo'li bilan birlashtirsa C1 birinchi tenglama, ortiqcha C2 ikkinchisi marta va shunga o'xshash narsalar Cn oxirgi marta, so'ngra koeffitsienti xj bo'ladi C1a1, j + ... + Cnan, j = det (A), qolgan barcha noma'lumlarning koeffitsientlari 0 ga teng bo'lganda; chap tomon oddiy det (A)xj. O'ng tomoni C1b1 + ... + Cnbn, bu L(j) ustun vektoriga qo'llaniladi b o'ng tomonning bmen. Aslida bu erda bajarilgan narsa matritsa tenglamasini ko'paytiradi Ax = b chap tomonda L(j). Nolga teng bo'lmagan raqamga bo'lish (A) tizimni qondirish uchun zarur bo'lgan quyidagi tenglamani topadi:

Ammo qurish orqali numerator - olingan matritsaning determinantidir A ustunni almashtirish orqali j tomonidan b, shuning uchun biz hal qilish uchun zarur shart sifatida Kramer qoidasining ifodasini olamiz. Xuddi shu protsedura ning boshqa qiymatlari uchun ham takrorlanishi mumkin j boshqa noma'lumlar uchun qiymatlarni topish.

Isbotlash uchun yagona nuqta - bu noma'lumlar uchun mumkin bo'lgan yagona qiymatlar haqiqatan ham birgalikda echim hosil qilishidir. Ammo agar matritsa A teskari bilan teskari A−1, keyin x = A−1b echim bo'ladi, shu bilan uning mavjudligini namoyish etadi. Buni ko'rish uchun A det (qaytarilganda)A) nolga teng, deb hisoblang n × n matritsa M bir qatorli matritsalarni stakalash orqali olingan L(j) uchun bir-birining ustiga j = 1, ..., n (bu. beradi yordamchi matritsa uchun A). Bu ko'rsatildi L(j)A = (0 ... 0 det (A) 0 ... 0) qayerda det (A) holatida paydo bo'ladi j; bundan kelib chiqadiki MA = det (A)Menn. Shuning uchun,

dalilni to'ldirish.

Boshqa dalillar uchun qarang quyida.

Teskari matritsani topish

Ruxsat bering A bo'lish n × n matritsa. Keyin

qaerda adj (A) belgisini bildiradi yordamchi matritsa ning A, det (A) aniqlovchidir va Men bo'ladi identifikatsiya matritsasi. Agar det (A) invertatsiya qilinadi R, keyin ning teskari matritsasi A bu

Agar R a maydon (masalan, haqiqiy sonlar maydoni), keyin bu teskari uchun formulani beradi A, taqdim etilgan det (A) ≠ 0. Aslida, bu formula har doim ishlaydi R a komutativ uzuk, ushbu det (A) a birlik. Agar det (A) birlik emas A qaytarib berilmaydi.

Ilovalar

Kichik tizimlar uchun aniq formulalar

Lineer tizimni ko'rib chiqing

bu matritsa formatida

Faraz qiling a1b2b1a2 nolga teng bo'lmagan. Keyin, yordami bilan determinantlar, x va y Kramer qoidasi bilan topish mumkin

Uchun qoidalar 3 × 3 matritsalar o'xshash. Berilgan

bu matritsa formatida

Keyin qiymatlari x, y va z quyidagicha topish mumkin:

Differentsial geometriya

Ricci hisob-kitobi

Da Kramer qoidasi ishlatiladi Ricci hisob-kitobi bilan bog'liq turli xil hisob-kitoblarda Christoffel ramzlari birinchi va ikkinchi turdagi.[13]

Xususan, Kramer qoidasi yordamida Riemann manifoldidagi divergentsiya operatori koordinatalarning o'zgarishiga nisbatan o'zgarmas ekanligini isbotlash mumkin. Biz Christoffel ramzlarining rolini bostirgan holda to'g'ridan-to'g'ri dalil keltiramiz bo'lishi a Riemann manifoldu bilan jihozlangan mahalliy koordinatalar . Ruxsat bering bo'lishi a vektor maydoni. Biz ishlatamiz yig'ilish konvensiyasi davomida.

Teorema.
The kelishmovchilik ning ,
koordinatalarning o'zgarishi ostida o'zgarmasdir.
Isbot

Ruxsat bering bo'lishi a koordinatali transformatsiya bilan yagona bo'lmagan Jacobian. Keyin klassik transformatsiya qonunlari shuni nazarda tutadi qayerda . Xuddi shunday, agar , keyin . Ushbu o'zgartirish qonunini matritsalar bo'yicha yozish , bu shuni anglatadiki .

Endi bittasi hisoblaydi

Buning tengligini ko'rsatish uchun , buni ko'rsatish uchun zarur va etarli

ga teng bo'lgan

Chap tomonda farqlashni amalga oshirib, quyidagilarni olamiz:

qayerda dan olingan matritsani bildiradi o'chirish orqali th qator va ustun, ammo Kramerning qoidasida shunday deyilgan

bo'ladi matritsaning kiritilishi .Shunday qilib

dalilni to'ldirish.

Hisoblash hosilalari bilvosita

Ikkala tenglamani ko'rib chiqing va . Qachon siz va v mustaqil o'zgaruvchilar, biz aniqlay olamiz va

Uchun tenglama Kramer qoidasini qo'llash orqali topish mumkin.

Hisoblash

Birinchidan, ning birinchi hosilalarini hisoblang F, G, xva y:

O'zgartirish dx, dy ichiga dF va dG, bizda ... bor:

Beri siz, v ikkalasi ham mustaqil, ning koeffitsientlari du, dv nol bo'lishi kerak. Shunday qilib, biz koeffitsientlar uchun tenglamalarni yozishimiz mumkin:

Endi, Kramer qoidalariga ko'ra, biz buni ko'ramiz:

Bu endi ikkitadan formuladir Yakobiyaliklar:

Shunga o'xshash formulalar uchun olinishi mumkin

Butun sonli dasturlash

Kramer qoidasidan an ekanligini isbotlash uchun foydalanish mumkin butun sonli dasturlash cheklov matritsasi bo'lgan muammo umuman unimodular va o'ng tomoni butun son bo'lib, butun sonli asosiy echimlarga ega. Bu butun sonli dasturni hal qilishni ancha osonlashtiradi.

Oddiy differensial tenglamalar

Kramer qoidasi bir xil bo'lmagan chiziqli differentsial tenglamaning umumiy echimini quyidagi usulda olish uchun ishlatiladi: parametrlarning o'zgarishi.

Geometrik talqin

Kramer qoidasining geometrik talqini. Ikkinchi va uchinchi soyali parallelogrammalarning maydonlari bir xil, ikkinchisi esa birinchi marta. Ushbu tenglikdan Kramer qoidasi kelib chiqadi.

Kramerning qoidasi geometrik izohga ega bo'lib, uni dalil deb hisoblash mumkin yoki uning geometrik mohiyati to'g'risida tushuncha berish. Ushbu geometrik argumentlar umuman bu erda keltirilgan ikkita noma'lum bo'lgan ikkita tenglamada emas, balki umuman ishlaydi.

Tenglamalar tizimi berilgan

uni vektorlar orasidagi tenglama deb hisoblash mumkin

Parallelogramma maydoni quyidagicha aniqlanadi va tenglamalar tizimining determinanti tomonidan berilgan:

Umuman olganda, o'zgaruvchilar va tenglamalar ko'proq bo'lganda, ning determinanti n uzunlik vektorlari n beradi hajmi ning parallelepiped vektorlari bilan belgilanadi n- o'lchovli Evklid fazosi.

Shuning uchun parallelogramma maydoni quyidagicha aniqlanadi va bo'lishi kerak tomonlardan biridan beri birinchisining maydoni bu koeffitsientga ko'paytirildi. Endi, bu oxirgi parallelogramma, tomonidan Kavalyerining printsipi, tomonidan aniqlangan parallelogramma bilan bir xil maydonga ega va

Bu oxirgi va ikkinchi parallelogramm maydonlarini tenglashtirish tenglamani beradi

undan Kramer qoidasi kelib chiqadi.

Boshqa dalillar

Abstrakt chiziqli algebra bilan isbot

Bu yuqoridagi dalilni mavhum tilda qayta ko'rib chiqish.

Xaritani ko'rib chiqing qayerda bu matritsa bilan bilan almashtirilgan Kramer qoidalaridagi kabi th ustun. Har bir ustunda determinantning chiziqliligi sababli ushbu xarita chiziqli. Yuborganiga e'tibor bering ning ustuni uchun th vektor (1 bilan Uchinchi o'rin), chunki takrorlangan ustunli matritsaning determinanti 0 ga teng, shuning uchun bizda teskari bilan mos keladigan chiziqli xarita mavjud ustun oralig'ida; shuning uchun u rozi ustun oralig'i oralig'ida. Beri o'zgaruvchan, ustun vektorlari hammasini qamrab oladi , shuning uchun bizning xaritamiz haqiqatan ham teskari . Kramerning qoidasi amal qiladi.

Qisqa dalil

Kramer hukmronligining qisqa isboti [14] buni sezish orqali berilishi mumkin matritsaning determinantidir

Boshqa tomondan, bizning asl matritsamiz A o'zgaruvchan, bu matritsa ustunlari bor , qayerda bo'ladi n- matritsaning uchinchi ustuni A. Eslatib o'tamiz, matritsa ustunlari bor va shuning uchun . Demak, ikkita matritsa ko'paytmasining determinanti determinantlarning ko'paytmasi ekanligidan foydalanib, bizda

Boshqalar uchun dalil o'xshash.

Foydalanish isboti Klifford algebra

Uchta noma'lum skalardagi uchta skaler tenglamalar tizimini ko'rib chiqing

va ortonormal vektor asosini tayinlang uchun kabi

Vektorlarga ruxsat bering

Tenglamalar tizimini qo'shsak, bu ko'rinib turibdi

Dan foydalanish tashqi mahsulot, har bir noma'lum skalar sifatida hal qilinishi mumkin

Uchun n tenglamalar n noma'lum, uchun echim k- noma'lum uchun umumlashtiradi

Agar ak chiziqli mustaqil, keyin kabi Kramer qoidasi bilan bir xil bo'lgan determinant shaklida ifodalanishi mumkin

qayerda (v)k vektorni almashtirishni bildiradi ak vektor bilan v ichida k- numerator pozitsiyasi.

Mos kelmaydigan va noaniq holatlar

Tenglamalar tizimi mos kelmaydigan yoki deyiladi nomuvofiq echimlar bo'lmaganida va u deyiladi noaniq bir nechta echim bo'lsa. Chiziqli tenglamalar uchun noaniq tizim cheksiz ko'p echimga ega bo'ladi (agar u cheksiz maydon ustida bo'lsa), chunki echimlarni ixtiyoriy qiymatlarni qabul qilishi mumkin bo'lgan bir yoki bir nechta parametrlar bilan ifodalash mumkin.

Kramer qoidasi koeffitsient determinanti nolga teng bo'lgan holatga nisbatan qo'llaniladi. 2 × 2 holatda, agar koeffitsient determinanti nolga teng bo'lsa, unda numerator aniqlovchilari nolga teng bo'lsa, tizim aniqlanmaydi, agar aniqlovchilar nolga teng bo'lsa, aniqlanmaydi.

3 × 3 va undan yuqori tizimlar uchun koeffitsient determinanti nolga teng bo'lganda, bitta narsa aytish mumkin, agar har qanday numerator determinantlari nolga teng bo'lsa, u holda tizim mos kelmasligi kerak. Biroq, barcha determinantlarning nolga ega bo'lishi tizimning noaniqligini anglatmaydi. Barcha aniqlovchilar yo'q bo'lib ketadigan (ammo nolga teng), ammo tizim hali ham mos kelmaydigan oddiy misol bu 3 × 3 tizim x + y + z = 1, x + y + z = 2, x + y + z = 3.

Adabiyotlar

  1. ^ Kramer, Gabriel (1750). "Kirish à l'Analyse des lignes Courbes algébriques" (frantsuz tilida). Jeneva: Europeana. 656–659 betlar. Olingan 2012-05-18.
  2. ^ Kosinski, A. A. (2001). "Kramerning qoidasi Kramerga tegishli". Matematika jurnali. 74: 310–312. doi:10.2307/2691101.
  3. ^ MakLaurin, Kolin (1748). Algebra risolasi, uch qismdan iborat.
  4. ^ Boyer, Karl B. (1968). Matematika tarixi (2-nashr). Vili. p. 431.
  5. ^ Katz, Viktor (2004). Matematika tarixi (Qisqa tahrir). Pearson ta'limi. 378-379 betlar.
  6. ^ Hedman, Bryus A. (1999). "Kramer qoidasi uchun" oldingi sana"" (PDF). Tarix matematikasi. 26 (4): 365–368. doi:10.1006 / hmat.1999.2247.
  7. ^ Devid Puul (2014). Chiziqli algebra: zamonaviy kirish. O'qishni to'xtatish. p. 276. ISBN  978-1-285-98283-0.
  8. ^ Jou D. Xofman; Stiven Frankel (2001). Muhandislar va olimlar uchun raqamli usullar, ikkinchi nashr,. CRC Press. p. 30. ISBN  978-0-8247-0443-8.
  9. ^ Tomas S. Shores (2007). Amaliy chiziqli algebra va matritsa tahlili. Springer Science & Business Media. p. 132. ISBN  978-0-387-48947-6.
  10. ^ Nicholas J. Higham (2002). Raqamli algoritmlarning aniqligi va barqarorligi: Ikkinchi nashr. SIAM. p. 13. ISBN  978-0-89871-521-7.
  11. ^ Ken Xabgud; Itamar Arel (2012). "Keng ko'lamli chiziqli tizimlarni echish uchun Kramer qoidasini kondensatsiyalash asosida qo'llash" (PDF). Diskret algoritmlar jurnali. 10: 98–109. doi:10.1016 / j.jda.2011.06.007.
  12. ^ Chiming Gong; M. Aldin; L. Elsner (2002). "Kramerning umumiy qoidalari to'g'risida eslatma". Chiziqli algebra va uning qo'llanilishi. 340: 253–254. doi:10.1016 / S0024-3795 (01) 00469-4.
  13. ^ Levi-Civita, Tullio (1926). Mutlaq differentsial hisob (Tensorlar hisobi). Dover. 111-112 betlar. ISBN  9780486634012.
  14. ^ Robinson, Stiven M. (1970). "Kramer hukmronligining qisqa isboti". Matematika jurnali. 43: 94–95.

Tashqi havolalar