Birlik (halqa nazariyasi) - Unit (ring theory)

Yilda halqa nazariyasi, a birlik a uzuk ${ displaystyle R}$ har qanday element ${ displaystyle u in R}$ ko'paytma teskari ega ${ displaystyle R}$ : element ${ displaystyle v in R}$ shu kabi

{ displaystyle vu = uv = 1_ {R}}

,

qayerda ${ displaystyle 1_ {R}}$ bo'ladi multiplikativ identifikatsiya.^[1]^[2] Birlik to'plami ${ displaystyle U (R)}$ uzuk a hosil qiladi guruh ko'paytirish ostida, chunki u ostida yopiladi ko'paytirish. (Ikki birlikning hosilasi yana birlikdir.) Unda hech qachon element 0 (holatidan tashqari nol uzuk ), va shuning uchun qo'shimcha bilan yopilmaydi; uning to'ldiruvchi ammo qo'shilish ostida bir guruh bo'lishi mumkin, agar bu halqa a bo'lsa, sodir bo'ladi mahalliy halqa.

Atama birlik identifikatsiya elementiga murojaat qilish uchun ham ishlatiladi $1 R$ kabi ifodalarda halqaning birligi bilan uzuk yoki birlik halqasi va, masalan, "birlik" matritsasi. Shu sababli ba'zi mualliflar qo'ng'iroq qilishadi $1 R$ "birlik" yoki "o'zlik", va buni ayting $R$ "birlik bilan uzuk" emas, balki "birlik bilan uzuk" yoki "o'ziga xoslik bilan uzuk".

Multiplikativ identifikatsiya $1 R$ va uning qo'shimchasi teskari $-1 R$ har doim birliklardir. Demak, juftliklar qo'shimchali teskari elementlar^[a] $x$ va $- x$ har doim bog'liq.

Misollar

1 - har qanday halqadagi birlik. Umuman olganda, har qanday birlikning ildizi uzukda R birlikdir: agar $r n = 1$ , keyin $r n - 1$ ning multiplikativ teskari tomoni r.Boshqa tomondan, 0 hech qachon birlik bo'lmaydi (nol halqadan tashqari). Uzuk R deyiladi a qiyshiq maydon (yoki bo'linish halqasi) agar $U (R) = R - {0}$ qaerda U (R) ning birliklari guruhidir R (pastga qarang). Kommutativ skew-maydon deyiladi maydon. Masalan, ning birliklari haqiqiy raqamlar $R$ bor $R - {0$ }.

Butun sonlar

Ning halqasida butun sonlar $Z$ , faqat birliklar $+1$ va $-1$ .

Butun sonlarning uzuklari ${ displaystyle R = { mathfrak {O}} _ {F}}$ a raqam maydoni F umuman olganda ko'proq birliklarga ega. Masalan,

(\sqrt 5 + 2)(\sqrt 5 - 2) = 1

ringda $Z [1 + \sqrt 5 / 2]$ , va aslida bu halqaning birlik guruhi cheksizdir.

Aslini olib qaraganda, Dirichletning birlik teoremasi tuzilishini tavsiflaydi $U (R)$ aniq: bu shakl guruhi uchun izomorfdir

{ displaystyle mathbf {Z} ^ {n} oplus mu _ {R}}

qayerda ${ displaystyle mu _ {R}}$ - bu birlik ildizlarining (chekli, tsiklik) guruhidir R va n, daraja birlik guruhi

{ displaystyle n = r_ {1} + r_ {2} -1,}

qayerda ${ displaystyle r_ {1}, r_ {2}}$ haqiqiy ko'milishlar soni va kompleks ko'milgan juftliklar soni Fnavbati bilan.

Bu yuqoridagi misolni tiklaydi: birlik guruhi (ning butun sonlari halqasi) a haqiqiy kvadrat maydon beri 1 daraja cheksizdir ${ displaystyle r_ {1} = 2, r_ {2} = 0}$ .

Ringda $Z / n Z$ ning butun sonlar modul $n$ , birliklar muvofiqlik sinflari $(mod n)$ butun sonlar bilan ifodalangan koprime ga $n$ . Ular multiplikativ butun sonli guruh moduli $n$ .

Polinomlar va kuchlar qatori

Kommutativ uzuk uchun R, ning birliklari polinom halqasi R[x] aynan o'sha polinomlardir

{ displaystyle p (x) = a_ {0} + a_ {1} x + nuqtalar a_ {n} x ^ {n}}

shu kabi ${ displaystyle a_ {0}}$ ning birligi Rva qolgan koeffitsientlar ${ displaystyle a_ {1}, dots, a_ {n}}$ bor nolpotent elementlar, ya'ni qondirish ${ displaystyle a_ {i} ^ {N} = 0}$ kimdir uchun N.^[3]Xususan, agar R a domen (yo'q nol bo'luvchilar ), keyin birliklari R[x] bilan bo'lgan narsalarga qo'shilaman R.Ning birliklari quvvat seriyali uzuk ${ displaystyle R [[x]]}$ aynan shu quvvat seriyasidir

{ displaystyle p (x) = sum _ {i = 0} ^ { infty} a_ {i} x ^ {i}}

shu kabi ${ displaystyle a_ {0}}$ ning birligi R.^[4]

Matritsa uzuklari

Ringning birlik guruhi $M n (R)$ ning $n \times n$ matritsalar ustidan komutativ uzuk $R$ (masalan, a maydon ) guruhdir $GL n (R)$ ning teskari matritsalar.

Matritsa halqasining elementi ${ displaystyle operatorname {M} _ {n} (R)}$ agar shunday bo'lsa, qaytarib olinadi aniqlovchi element invertatsiya qilinadi R, teskari tomonidan aniq berilgan Kramer qoidasi.

Umuman

Ruxsat bering ${ displaystyle R}$ uzuk bo'ling. Har qanday kishi uchun ${ displaystyle x, y}$ yilda ${ displaystyle R}$ , agar ${ displaystyle 1-xy}$ teskari, keyin ${ displaystyle 1-yx}$ teskari bilan teskari ${ displaystyle 1 + y (1-xy) ^ {- 1} x}$ .^[5] Teskari formulani quyidagicha topish mumkin: rasmiy fikrlash, taxmin qiling ${ displaystyle 1-yx}$ teskari va teskari geometrik qator bilan berilgan: ${ displaystyle (1-yx) ^ {- 1} = sum _ {0} ^ { infty} (yx) ^ {n}}$ . Keyin, uni rasmiy ravishda manipulyatsiya qilish,

{ displaystyle (1-yx) ^ {- 1} = 1 + y chap ( sum _ {0} ^ { infty} (xy) ^ {n} right) x = 1 + y (1-xy) ) {{- 1} x.}

Shuningdek qarang Xua kimligi shunga o'xshash natijalar uchun.

Birlik guruhi

Halqa birliklari $R$ shakl guruh $U (R)$ ko'paytma ostida birliklar guruhi ning $R$ .

Uchun boshqa keng tarqalgan yozuvlar $U (R)$ bor $R *$ , $R \times$ va $E (R)$ (nemischa atamadan Eynxayt ).

A komutativ uzuk a mahalliy halqa agar $R - U (R)$ a maksimal ideal.

Ma'lum bo'lishicha, agar $R - U (R)$ idealdir, demak u albatta maksimal ideal va R bu mahalliy a maksimal ideal dan ajratilgan $U (R)$ .

Agar $R$ a cheklangan maydon, keyin $U (R)$ a tsiklik guruh tartib ${ displaystyle | R | -1}$ .

Birlik guruhini shakllantirish a ni aniqlaydi funktsiya $U$ dan halqalar toifasi uchun guruhlar toifasi:

har bir halqa gomomorfizmi $f : R \to S$ undaydi a guruh homomorfizmi $U (f): U (R) \to U (S)$ , beri $f$ birliklarni birliklarga xaritalar.

Ushbu funktsiya a ga ega chap qo'shma bu ajralmas hisoblanadi guruh halqasi qurilish.

Assotsiatsiya

Kommutativ unital halqada $R$ , birliklar guruhi $U (R)$ harakat qiladi kuni $R$ ko'paytirish orqali. The orbitalar Ushbu amalning to'plamlari deyiladi sheriklar; boshqacha qilib aytganda ekvivalentlik munosabati ∼ yoqilgan $R$ deb nomlangan bog'liqlik shu kabi

r \sim s

birlik mavjudligini anglatadi $siz$ bilan $r = Biz$ .

In ajralmas domen The kardinallik assotsiatsiyalarning ekvivalentlik sinfining sinfiga o'xshaydi $U (R)$ .

Shuningdek qarang

Izohlar

^ Ringda nolga teng bo'lmagan elementning teskari qo'shimchasi elementning o'zi bilan tenglashishi mumkin.

Iqtiboslar

^ Dummit & Foote 2004 yil.
^ Til 2002 yil.
^ Uotkins (2007), Teorema 11.1)
^ Uotkins (2007), Teorema 12.1)
^ Jeykobson 2009 yil, § 2.2. Mashq 4.

Manbalar

Dammit, Devid S.; Fut, Richard M. (2004). Mavhum algebra (3-nashr). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-43334-9.
Jeykobson, Natan (2009). Asosiy algebra 1 (2-nashr). Dover. ISBN 978-0-486-47189-1.
Lang, Serj (2002). Algebra. Matematikadan aspirantura matnlari. Springer. ISBN 0-387-95385-X.
Uotkins, Jon J. (2007), Kommutativ halqa nazariyasidagi mavzular, Prinston universiteti matbuoti, ISBN 978-0-691-12748-4, JANOB 2330411

[3] Ringda nolga teng bo'lmagan elementning teskari qo'shimchasi elementning o'zi bilan tenglashishi mumkin.

[FOOTNOTEDummitFoote2004-1] Dummit & Foote 2004 yil.

[FOOTNOTELang2002-2] Til 2002 yil.

[4] Uotkins (2007), Teorema 11.1)

[5] Uotkins (2007), Teorema 12.1)

[FOOTNOTEJacobson2009§_2.2._Exercise_4-6] Jeykobson 2009 yil, § 2.2. Mashq 4.

[1]

[2]

[a]

[3]

[4]

[5]