Navier - Stoks tenglamalarini keltirib chiqarish - Derivation of the Navier–Stokes equations

Ushbu maqolaning maqsadi - ning muhim nuqtalarini ta'kidlash hosilasi Navier - Stoks tenglamalari shuningdek, uni turli xil oilalar uchun qo'llash va shakllantirish suyuqliklar.

Asosiy taxminlar

Navier-Stoks tenglamalari, foizlar miqyosida suyuqlik a doimiylik - diskret zarralar o'rniga doimiy modda. Yana bir zarur taxmin - bu hamma dalalar qiziqish, shu jumladan bosim, oqim tezligi, zichlik va harorat bor farqlanadigan, kamida zaif.

Tenglamalar asosiy tamoyillaridan kelib chiqadi massaning davomiyligi, impuls va energiya. Ba'zan a deb nomlangan cheklangan ixtiyoriy hajmni ko'rib chiqish kerak bo'ladi ovoz balandligini boshqarish, ushbu printsiplarni qo'llash mumkin. Ushbu cheklangan hajm bilan belgilanadi Ω va uning chegara yuzasi ∂Ω. Boshqarish hajmi kosmosda saqlanib qolishi yoki suyuqlik bilan harakatlanishi mumkin.

Moddiy hosila

Harakatlanayotgan suyuqlik xossalarining o'zgarishini ikki xil usulda o'lchash mumkin. Suyuqlik zarralari o'tayotganda berilgan fazilatni kosmosdagi sobit nuqtada yoki uning bo'ylab suyuqlik uchastkasini kuzatib borish orqali o'lchash mumkin. tartibga solish. Maydonning fazoda sobit holatiga nisbatan hosilasi deyiladi Evleriya lotin, harakatlanuvchi posilkadan keyingi hosila esa advektiv yoki material (yoki Lagrangian^[1]) hosila

Moddiy hosila quyidagicha aniqlanadi chiziqli bo'lmagan operator:

${ displaystyle { frac {D} {Dt}} { stackrel { mathrm {def}} {=}} { frac { qismli} { qismli t}} + mathbf {u} cdot nabla}$

qayerda siz oqim tezligi. Tenglamaning o'ng tomonidagi birinchi had oddiy Eulerian lotinidir (sobit mos yozuvlar tizimidagi hosila, vaqtga nisbatan bir nuqtada o'zgarishlarni ifodalaydi), ikkinchi muddat esa miqdorning pozitsiyaga nisbatan o'zgarishini ifodalaydi ( qarang reklama ). Ushbu "maxsus" lotin aslida suyuqlik harakatidan keyingi yo'l bo'ylab ko'plab o'zgaruvchilar funktsiyasining oddiy hosilasi hisoblanadi; uni qo'llash orqali olinishi mumkin zanjir qoidasi bunda barcha mustaqil o'zgaruvchilar yo'l bo'ylab o'zgarishi tekshiriladi (ya'ni jami hosila ).

Masalan, shamol tezligining o'zgarishini o'lchash atmosfera yordami bilan olish mumkin anemometr ob-havo stantsiyasida yoki ob-havo sharining harakatini kuzatish orqali. Birinchi holda anemometr kosmosning sobit nuqtasi orqali o'tadigan barcha harakatlanuvchi zarrachalarning tezligini o'lchaydi, ikkinchi holatda asbob oqim bilan harakatlanayotganda tezlikning o'zgarishini o'lchaydi.

Uzluksizlik tenglamalari

Navier - Stoks tenglamasi maxsus hisoblanadi uzluksizlik tenglamasi. Uzluksizlik tenglamasidan kelib chiqishi mumkin muhofaza qilish tamoyillari ning:

• massa,
• impuls,
• energiya.

A uzluksizlik tenglamasi (yoki muhofaza qilish qonuni ) ba'zi bir integral xususiyatlarning o'zgarish tezligini bildiruvchi ajralmas munosabatdir φ nazorat hajmi bo'yicha aniqlangan Ω yo'qolgan yoki chegaralar orqali olingan miqdorga teng bo'lishi kerak Γ jildning hajmi va shu bilan birga manbalar tomonidan yaratilgan yoki iste'mol qilingan narsalar va jildning ichiga botganligi. Bu quyidagi integral uzluksizlik tenglamasi bilan ifodalanadi:

${ displaystyle { frac {d} {dt}} int _ { Omega} phi d Omega = - int _ { Gamma} phi mathbf {u cdot n} d Gamma - int _ { Omega} s d Omega}$

qayerda siz suyuqlikning oqim tezligi, n tashqi vektor birligi normal vektor va s chig'anoqlarni ijobiy deb qabul qilib, oqimdagi manbalarni va cho'kmalarni ifodalaydi.

The divergensiya teoremasi ga qo'llanilishi mumkin sirt integral, uni a ga o'zgartiring hajm integral:

${ displaystyle { frac {d} {dt}} int _ { Omega} phi d Omega = - int _ { Omega} nabla cdot ( phi mathbf {u}) d Omega - int _ { Omega} s d Omega.}$

Qo'llash Reynolds transport teoremasini chapdagi integralga va keyin butun integrallarni birlashtirgan:

${ displaystyle int _ { Omega} { frac { qismli phi} { qismli t}} d Omega = - int _ { Omega} nabla cdot ( phi mathbf {u} ) d Omega - int _ { Omega} s d Omega quad Rightarrow quad int _ { Omega} chap ({ frac { kısmi phi} { qisman t}} + nabla cdot ( phi mathbf {u}) + s right) d Omega = 0.}$

Uchun integral nolga teng bo'lishi kerak har qanday nazorat hajmi; bu faqat integralning o'zi nolga teng bo'lsa, shunday bo'lishi mumkin:

${ displaystyle { frac { kısmi phi} { qismli t}} + nabla cdot ( phi mathbf {u}) + s = 0.}$

Ushbu qimmatli aloqadan (juda umumiy) uzluksizlik tenglamasi ), uchta muhim tushunchani qisqacha yozish mumkin: massani saqlash, impulsni saqlash va energiyani tejash. Agar amal qilish muddati saqlanib qolsa φ bu vektor, bu holda vektor-vektor ko'paytmasi ikkinchi davrda a bo'ladi dyad.

Impulsning saqlanishi

Saqlanish munosabati impulsga qo'llanganda umumiy momentum tenglamasi olinadi. Qachon intensiv mulk φ deb hisoblanadi ommaviy oqim (shuningdek momentum zichligi), ya'ni hosilasi massa zichligi va oqim tezligi rsiz, umumiy doimiy tenglamaga almashtirish orqali:

${ displaystyle { frac { qismli} { qismli t}} ( rho mathbf {u}) + nabla cdot ( rho mathbf {u} otimes mathbf {u}) = mathbf { s}}$

qayerda siz ⊗ siz a dyad, maxsus holat tensor mahsuloti, bu ikkinchi darajali tensorga olib keladi; The kelishmovchilik ikkinchi darajali tensor yana vektor (birinchi darajali tensor).^[2]

Diyad divergensiyasi formulasidan foydalanib,

${ displaystyle nabla cdot ( mathbf {a} otimes mathbf {b}) = ( nabla cdot mathbf {a}) mathbf {b} + mathbf {a} cdot nabla mathbf {b}}$

bizda bor

${ displaystyle mathbf {u} { frac { qismli rho} { qismli t}} + rho { frac { qismli mathbf {u}} { qismli t}} + mathbf {u} mathbf {u} cdot nabla rho + rho mathbf {u} cdot nabla mathbf {u} + rho mathbf {u} nabla cdot mathbf {u} = mathbf {s }}$

E'tibor bering gradient vektorning maxsus holatidir kovariant hosilasi, operatsiya ikkinchi darajali tensorlarga olib keladi;^[2] dekart koordinatalaridan tashqari, bu shunchaki element gradienti bo'yicha element emasligini tushunish muhimdir. Buni qayta tartibga solish va tan olish siz ⋅ ∇r + r∇ ⋅ siz = ∇ ⋅ (rsiz):

${ displaystyle { begin {aligned} mathbf {u} left ({ frac { kısmi rho} { qismli t}} + mathbf {u} cdot nabla rho + rho nabla cdot mathbf {u} o'ng) + rho chap ({ frac { qismli mathbf {u}} { qisman t}} + mathbf {u} cdot nabla mathbf {u} o'ng ) & = mathbf {s} [6px] mathbf {u} chap ({ frac { kısalt rho} { qisman t}} + nabla cdot ( rho mathbf {u}) o'ng) + rho chap ({ frac { qismli mathbf {u}} { qismli t}} + mathbf {u} cdot nabla mathbf {u} o'ng) & = mathbf { s} end {hizalangan}}}$

Qavslar ichiga kiritilgan chap tomondagi ifoda, massa doimiyligi bo'yicha (bir lahzada ko'rsatilgan), nolga teng. Tenglamaning chap tomonida qolgan narsa oqim tezligining moddiy hosilasi ekanligini ta'kidlab:

${ displaystyle rho { frac {D mathbf {u}} {Dt}} = rho chap ({ frac { qismli mathbf {u}} { qismli t}} + mathbf {u} cdot nabla mathbf {u} right) = mathbf {s}}$

Bu shunchaki ning ifodasi bo'lib ko'rinadi Nyutonning ikkinchi qonuni (F = ma) xususida tana kuchlari nuqta kuchlari o'rniga. Navier-Stoks tenglamalarining har qanday holatidagi har bir atama tana kuchidir. Ushbu natijaga erishishning qisqa, ammo unchalik qat'iy bo'lmagan usuli bu bo'lishi mumkin zanjir qoidasi tezlashtirishga:

${ displaystyle { begin {aligned} rho { frac {d} {dt}} { bigl (} mathbf {u} (x, y, z, t) { bigr)} = = mathbf {s } quad & Rightarrow & rho chap ({ frac { qismli mathbf {u}} { qisman t}} + { frac { qismli mathbf {u}} { qisman x}} { frac {dx} {dt}} + { frac { qismli mathbf {u}} { qismli y}} { frac {dy} {dt}} + { frac { qismli mathbf {u} } { qismli z}} { frac {dz} {dt}} o'ng) & = mathbf {s} quad & Rightarrow & rho chap ({ frac { qismli mathbf {u }} { qismli t}} + u { frac { qismli mathbf {u}} { qismli x}} + v { frac { qismli mathbf {u}} { qismli y}} + w { frac { kısalt mathbf {u}} { qismli z}} o'ng) & = mathbf {s} quad & Rightarrow & rho chap ({ frac { qismli mathbf { u}} { kısmi t}} + mathbf {u} cdot nabla mathbf {u} right) & = mathbf {s} end {hizalanmış}}}$

qayerda siz = (siz, v, w). Buning "unchalik qattiq emasligi" ning sababi shundaki, biz buni tanlaganimizni ko'rsatmadik

${ displaystyle mathbf {u} = chap ({ frac {dx} {dt}}, { frac {dy} {dt}}, { frac {dz} {dt}} o'ng)}$

to'g'ri; Biroq, bu mantiqiy ma'noga ega, chunki lotin yo'lni tanlash bilan suyuq "zarracha" ga "ergashadi" va buning uchun Nyutonning ikkinchi qonuni ishlash uchun kuchlar zarrachadan keyin to'planishi kerak. Shu sababli konvektiv hosila zarracha hosilasi sifatida ham tanilgan.

Massaning saqlanishi

Massani ham hisobga olish mumkin. Qachon intensiv mulk φ umumiy davomiy tenglamaga almashtirish va olish orqali massa sifatida qaraladi s = 0 (ommaviy manbalar yoki lavabolar yo'q):

${ displaystyle { frac { kısalt rho} { qismli t}} + nabla cdot ( rho mathbf {u}) = 0}$

qayerda r bo'ladi massa zichligi (birlik hajmiga massa) va siz oqim tezligi. Ushbu tenglama deyiladi ommaviy uzluksizlik tenglamasiyoki oddiygina The uzluksizlik tenglamasi. Ushbu tenglama odatda Navier-Stoks tenglamasiga hamroh bo'ladi.

Agar vaziyatda siqilmaydigan suyuqlik, R/Dt = 0 (suyuqlik elementi yurgan zichlik doimiy) va tenglama quyidagicha kamayadi:

${ displaystyle nabla cdot mathbf {u} = 0}$

bu aslida hajmning saqlanishiga oid bayonot.

Koshi momentum tenglamasi

Impuls manbaining umumiy zichligi s ilgari ko'rilgan narsa avval ichki stresslarni tavsiflovchi va tortishish kuchi kabi tashqi kuchlarni ikkita yangi atamaga ajratish orqali aniqlanadi. Suyuqlikdagi kichik kubga ta'sir etuvchi kuchlarni tekshirib, shuni ko'rsatishi mumkin

${ displaystyle rho { frac {D mathbf {u}} {Dt}} = nabla cdot { boldsymbol { sigma}} + mathbf {f}}$

qayerda σ bo'ladi Koshi kuchlanish tensori va f mavjud bo'lgan tana kuchlarini hisobga oladi. Ushbu tenglama deyiladi Koshi momentum tenglamasi va relyativistik bo'lmagan momentum saqlanishini tavsiflaydi har qanday massani saqlaydigan doimiylik. σ uning kovariant komponentlari tomonidan berilgan ikki darajali nosimmetrik tenzordir. Uch o'lchamdagi ortogonal koordinatalarda u 3 × 3 sifatida ifodalanadi matritsa:

${ displaystyle sigma _ {ij} = { begin {pmatrix} sigma _ {xx} & tau _ {xy} & tau _ {xz} tau _ {yx} & sigma _ {yy } & tau _ {yz} tau _ {zx} & tau _ {zy} & sigma _ {zz} end {pmatrix}}}$

qaerda σ bor normal stresslar va τ siljish stresslari. Ushbu matritsa ikki atamaga bo'linadi:

${ displaystyle sigma _ {ij} = { begin {pmatrix} sigma _ {xx} & tau _ {xy} & tau _ {xz} tau _ {yx} & sigma _ {yy } & tau _ {yz} tau _ {zx} & tau _ {zy} & sigma _ {zz} end {pmatrix}} = - { begin {pmatrix} p & 0 & 0 0 & p & 0 0 & 0 & p end {pmatrix}} + { begin {pmatrix} sigma _ {xx} + p & tau _ {xy} & tau _ {xz} tau _ {yx} & sigma _ {yy} + p & tau _ {yz} tau _ {zx} & tau _ {zy} & sigma _ {zz} + p end {pmatrix}} = - p mathbf {I} + { boldsymbol { tau}}}$

qayerda Men bu 3 × 3 identifikatsiya matritsasi va τ bo'ladi deviatorik stress tensori. E'tibor bering, mexanik bosim p o'rtacha normal stressni minusga teng:^[3]

${ displaystyle p = - { tfrac {1} {3}} chap ( sigma _ {xx} + sigma _ {yy} + sigma _ {zz} o'ng).}$

Buning motivatsiyasi shundan iboratki, bosim odatda qiziqishning o'zgaruvchisidir, shuningdek, keyinchalik eng o'ng tensordan beri ma'lum suyuqlik oilalariga qo'llanilishini osonlashtiradi. τ yuqoridagi tenglamada tinch holatdagi suyuqlik uchun nol bo'lishi kerak. Yozib oling τ bu izsiz. Koshi tenglamasi endi aniqroq shaklda yozilishi mumkin:

${ displaystyle rho { frac {D mathbf {u}} {Dt}} = - nabla p + nabla cdot { boldsymbol { tau}} + mathbf {f}}$

Ushbu tenglama hali ham to'liq emas. Yakunlash uchun formalar bo'yicha farazlar qilish kerak τ va p, ya'ni o'ziga xos suyuqlik oilalari va bosim bo'yicha olinadigan stress tensori uchun konstitutsiyaviy qonunga ehtiyoj bor. Ushbu farazlarning ba'zilari Eyler tenglamalari (suyuqlik dinamikasi), boshqalari Navier-Stoks tenglamalariga olib keladi. Bundan tashqari, agar oqim siqilgan deb hisoblansa, davlatning tenglamasi talab qilinadi, bu esa energiya formulasini saqlashni talab qiladi.

Turli xil suyuqliklarga qo'llang

Harakat tenglamalarining umumiy shakli "foydalanishga tayyor" emas, kuchlanish tenzori hali ham noma'lum, shuning uchun ko'proq ma'lumot kerak bo'ladi; bu ma'lumot odatda suyuqlikning yopishqoq xatti-harakatlari to'g'risida ba'zi ma'lumotlarga ega. Suyuqlik oqimining har xil turlari uchun bu Navier-Stoks tenglamalarining o'ziga xos shakllarini keltirib chiqaradi.

Nyuton suyuqligi

Siqiladigan Nyuton suyuqligi

Nyuton suyuqliklarining formulasi kuzatuvdan kelib chiqadi Nyuton aksariyat suyuqliklar uchun,

${ displaystyle tau propto { frac { kısalt u} { qisman y}}}$

Buni Navier-Stoks tenglamalariga tatbiq etish uchun Stoks tomonidan uchta taxmin qilingan:

• Stress tenzori ning chiziqli funktsiyasi kuchlanish darajasi tensori yoki ekvivalent ravishda tezlik gradyenti.
• Suyuq izotropdir.
• Dam olish paytida suyuqlik uchun, ∇ ⋅ τ nol bo'lishi kerak (shunday qilib gidrostatik bosim natijalar).

Yuqoridagi ro'yxatda klassik argument ko'rsatilgan^[4] siljish kuchi tezligi tensori (tezlik gradyanining (nosimmetrik) kesish qismi) sof siljish tensori ekanligi va hech qanday kirish / chiqish qismini o'z ichiga olmaydi (har qanday siqish / kengaytirish qismi). Bu shuni anglatadiki, uning izi nolga teng va bunga ayirish orqali erishiladi ∇ ⋅ siz tenzorning diagonal elementlaridan nosimmetrik usulda. Viskoz stressga kompression hissa alohida diagonal tensor sifatida qo'shiladi.

Ushbu taxminlarni qo'llash quyidagilarga olib keladi:

${ displaystyle tau = mu chap ( nabla mathbf {u} + chap ( nabla mathbf {u} right) ^ { mathsf {T}} right) + lambda left ( nabla cdot mathbf {u} right) mathbf {I}}$

yoki tensor shaklida

${ displaystyle tau _ {ij} = mu chap ({ frac { u u {{i}} { qismli x_ {j}}} + { frac { qismli u_ {j}} { qisman x_ {i}}} o'ng) + delta _ {ij} lambda { frac { qisman u_ {k}} { qisman x_ {k}}}}$

Ya'ni deformatsiya tezligi tenzori deviatori kuchlanish tenzori deviatoriga, faktorgacha aniqlanadi m.^[5]

δ_ij bo'ladi Kronekker deltasi. m va λ stressning kuchlanishga bog'liqligi haqidagi taxmin bilan bog'liq mutanosiblik konstantalari; m ning birinchi koeffitsienti deyiladi yopishqoqlik yoki qaychi yopishqoqligi (odatda shunchaki "yopishqoqlik" deb nomlanadi) va λ yopishqoqlikning ikkinchi koeffitsienti yoki hajmi yopishqoqligi (va u bilan bog'liq ommaviy yopishqoqlik ). Ning qiymati λ, hajmning o'zgarishi bilan bog'liq bo'lgan yopishqoq ta'sirni keltirib chiqaradigan, uni aniqlash juda qiyin, hatto uning belgisi ham aniq ishonch bilan ma'lum emas. Siqiladigan oqimlarda ham, bu atama o'z ichiga oladi λ ko'pincha ahamiyatsiz; ammo ba'zida deyarli siqilib bo'lmaydigan oqimlarda ham muhim bo'lishi mumkin va bu tortishuvlarga sabab bo'ladi. Nolga teng bo'lmagan holda olinganida, eng keng tarqalgan taxminiy hisoblanadi λ ≈ −2/3m.^[6]

To'g'ridan-to'g'ri almashtirish τ_ij impulsning saqlanish tenglamasiga Navier - Stoks tenglamalarisiqilgan Nyuton suyuqligini tavsiflovchi:

${ displaystyle rho chap ({ frac { kısmi mathbf {u}} { qismli t}} + mathbf {u} cdot nabla mathbf {u} o'ng) = - nabla p + nabla cdot chap [ mu chap ( nabla mathbf {u} + chap ( nabla mathbf {u} right) ^ { mathsf {T}} right) right] + nabla cdot chap [ lambda chap ( nabla cdot mathbf {u} o'ng) mathbf {I} o'ng] + rho mathbf {g}}$

Tana kuchi zichlikka va tashqi tezlanishga ajraldi, ya'ni f = rg. Bog'langan massa uzluksizligi tenglamasi:

${ displaystyle { frac { kısalt rho} { qismli t}} + nabla cdot ( rho mathbf {u}) = 0}$

Ushbu tenglamaga qo'shimcha ravishda, an davlat tenglamasi va energiyani tejash uchun tenglama kerak. Foydalanish holati tenglamasi kontekstga bog'liq (ko'pincha ideal gaz qonuni ), energiyani tejash quyidagilarni o'qiydi:

${ displaystyle rho { frac {Dh} {Dt}} = { frac {Dp} {Dt}} + nabla cdot (k nabla T) + Phi}$

Bu yerda, h bo'ladi o'ziga xos entalpiya, T bo'ladi harorat va Φ yopishqoq ta'sir tufayli energiya tarqalishini ifodalovchi funktsiya:

${ displaystyle Phi = mu chap (2 chap ({ frac { qisman u} { qisman x}} o'ng) ^ {2} +2 chap ({ frac { qismli v} { qisman y}} o'ng) ^ {2} +2 chap ({ frac { qismli w} { qismli z}} o'ng) ^ {2} + chap ({ frac { qisman v} { qisman x}} + { frac { qisman u} { qismli y}} o'ng) ^ {2} + chap ({ frac { qisman w} { qismli y}} + { frac { qismli v} { qismli z}} o‘ng) ^ {2} + chap ({ frac { qisman u} { qisman z}} + { frac { qisman w} { qisman x} } o'ng) ^ {2} o'ng) + lambda ( nabla cdot mathbf {u}) ^ {2}.}$

Parametrlarning (masalan, yopishqoqlik) o'zgaruvchiga bog'liqligi uchun yaxshi holat va yaxshi funktsiyalar bilan ushbu tenglamalar tizimi ma'lum bo'lgan barcha gazlar va suyuqliklarning dinamikasini to'g'ri modellashtirishga o'xshaydi.

Siqilmaydigan Nyuton suyuqligi

Siqilmaydigan oqimning maxsus (lekin juda keng tarqalgan) holati uchun momentum tenglamalari sezilarli darajada soddalashtiriladi. Quyidagi taxminlardan foydalanish:

• Viskozite m endi doimiy bo'ladi
• Ikkinchi yopishqoqlik effekti λ = 0
• Soddalashtirilgan massa uzluksizligi tenglamasi ∇ ⋅ siz = 0

Bu beradi siqilmaydigan Navier Stoks tenglamalari, siqilmagan Nyuton suyuqligini tavsiflovchi:

${ displaystyle rho chap ({ frac { qismli mathbf {u}} { qismli t}} + mathbf {u} cdot nabla mathbf {u} o'ng) = - nabla p + nabla cdot chap [ mu chap ( nabla mathbf {u} + chap ( nabla mathbf {u} right) ^ { mathsf {T}} right) right] + rho mathbf {g}}$

keyin ning yopishqoq shartlariga qarab x masalan, biz momentum tenglamasi:

${ displaystyle { begin {aligned} & { frac { qismli} { qismli x}} chap (2 mu { frac { qisman u} { qisman x}} o'ng) + { frac { qismli} { qisman y}} chap ( mu chap ({ frac { qisman u} { qisman y}} + { frac { qisman v} { qisman x}} o'ng) o'ng) + { frac { qismli} { qismli z}} chap ( mu chap ({ frac { qismli u} { qismli z}} + { frac { qisman w} { qisman x}} o'ng) o'ng) [8px] & qquad = 2 mu { frac { qismli ^ {2} u} { qisman x ^ {2}}} + mu { frac { kısmi ^ {2} u} { qismli y ^ {2}}} + mu { frac { qismli ^ {2} v} { qismli y , qismli x}} + mu { frac { kısmi ^ {2} u} { qismli z ^ {2}}} + mu { frac { qismli ^ {2} w} { qismli z , qismli x}} [8px ] & qquad = mu { frac { qismli ^ {2} u} { qismli x ^ {2}}} + mu { frac { qismli ^ {2} u} { qismli y ^ { 2}}} + mu { frac { qismli ^ {2} u} { qismli z ^ {2}}} + mu { frac { qismli ^ {2} u} { qisman x ^ { 2}}} + mu { frac { qismli ^ {2} v} { qismli y , qismli x}} + mu { frac { qismli ^ {2} w} { qismli z , qismli x}} [8px] & qquad = mu nabla ^ {2} u + mu { frac { qismli} { qisman x}} { mumkin lto {0} { chapga ({ frac { qisman u} { qisman x}} + { frac { qisman v} { qisman y}} + { frac { qisman w} { qism z }} o'ng)}} [8px] & qquad = mu nabla ^ {2} u end {hizalanmış}} ,}$

Xuddi shunday y va z bizda bor yo'nalishlar m∇²v va m∇²w.

Yuqorida keltirilgan echim hosil qilishning kalitidir Navier - Stoks tenglamalari zichlik va yopishqoqlik doimiy bo'lganda suyuqlik dinamikasidagi harakat tenglamasidan.

Nyuton bo'lmagan suyuqliklar

Nyutonga tegishli bo'lmagan suyuqlik a suyuqlik ularning oqim xususiyatlari har qanday tarzda farq qiladi Nyuton suyuqliklari. Odatda yopishqoqlik Nyuton bo'lmagan suyuqliklarning funktsiyasi kesish tezligi yoki kesish tezligi tarixi. Shu bilan birga, kesishdan mustaqil viskoziteye ega bo'lgan ba'zi bir Nyutonga tegishli bo'lmagan suyuqliklar mavjud, ammo ular odatdagi stress-farqlarni yoki boshqa Nyutonik bo'lmagan xatti-harakatlarni namoyish etadi. Ko'pchilik tuz eritmalar va eritilgan polimerlar kabi ko'p uchraydigan moddalar kabi Nyuton suyuqligi ketchup, muhallabi, tish pastasi, kraxmalli suspenziyalar, bo'yamoq, qon va shampun. Nyuton suyuqligida, orasidagi bog'liqlik kesish stressi va kesish tezligi chiziqli bo'lib, kelib chiqishi orqali o'tadi, mutanosiblik konstantasi yopishqoqlik koeffitsientidir. Nyutonga tegishli bo'lmagan suyuqlikda siljish stressi va siljish tezligi o'rtasidagi bog'liqlik har xil va hatto vaqtga bog'liq bo'lishi mumkin. Nyuton bo'lmagan suyuqliklarni o'rganish odatda chaqiriladi reologiya. Bu erda bir nechta misollar keltirilgan.

Bingem suyuqligi

Bingem suyuqliklarida vaziyat biroz boshqacha:

${ displaystyle { frac { kısmi u} { qismli y}} = { boshlash {holatlar} 0, & tau < tau _ {0} [5px] { dfrac { tau - tau _ {0}} { mu}}, & tau geq tau _ {0} end {case}}}$

Ular oqishni boshlashdan oldin biroz qirqishga qodir suyuqlikdir. Ba'zi keng tarqalgan misollar tish pastasi va gil.

Qonun suyuqligi

Quvvat qonuni suyuqligi idealizatsiya qilingan suyuqlik buning uchun kesish stressi, τ, tomonidan berilgan

${ displaystyle tau = K chap ({ frac { qismli u} { qismli y}} o'ng) ^ {n}}$

Ushbu shakl har xil umumiy suyuqliklarni, shu jumladan qirqishni yupqalashni (masalan, lateks bo'yoq) va qirqishni qalinlashishini (masalan, makkajo'xori kraxmalli suv aralashmasi) yaqinlashtirish uchun foydalidir.

Oqim funktsiyasini shakllantirish

Oqim tahlilida ko'pincha tenglamalar va / yoki o'zgaruvchilar sonini kamaytirish maqsadga muvofiqdir. Massa uzluksizligi bilan siqib bo'lmaydigan Navier-Stoks tenglamasini (to'rtta noma'lumdagi to'rtta tenglama) 2D da bitta bog'liq o'zgaruvchiga ega bo'lgan bitta tenglamaga yoki 3D-da bitta vektor tenglamasiga kamaytirish mumkin. Bu ikkitasi tomonidan yoqilgan vektor hisobi identifikatorlari:

${ displaystyle { begin {aligned} nabla times ( nabla phi) & = 0 nabla cdot ( nabla times mathbf {A}) & = 0 end {aligned}}}$

har qanday farqlanadigan skalar uchun φ va vektor A. Birinchi o'ziga xoslik shuni anglatadiki, Navier-Stoks tenglamasidagi skalar gradyenti sifatida ifodalanishi mumkin bo'lgan har qanday atama burish tenglama olinadi. Odatda, bosim p va tashqi tezlashtirish g yo'q qilinadi, natijada (bu 2D va 3D formatida ham to'g'ri keladi):

${ displaystyle nabla times chap ({ frac { kısmi mathbf {u}} { qisman t}} + mathbf {u} cdot nabla mathbf {u} o'ng) = nu nabla times chap ( nabla ^ {2} mathbf {u} right)}$

bu erda barcha tana kuchlari gradyan sifatida tavsiflanadi (masalan, tortishish uchun to'g'ri) va zichlik bo'linib, yopishqoqlik hosil bo'ladi kinematik yopishqoqlik.

Yuqoridagi ikkinchi vektor hisobining identifikatori vektor maydonining burilishining divergentsiyasi nolga teng ekanligini ta'kidlaydi. (Siqilmaydigan) massa uzluksizligi tenglamasi oqim tezligining divergentsiyasini nolga tenglashtirganligi sababli, oqim tezligini ba'zi bir vektorning burmasi bilan almashtirishimiz mumkin. ψ shuning uchun ommaviy doimiylik doimo qondiriladi:

${ displaystyle nabla cdot mathbf {u} = 0 quad Rightarrow quad nabla cdot ( nabla times { boldsymbol { psi}}) = 0 quad Rightarrow quad 0 = 0}$

Shunday qilib, oqim tezligi orqali ifodalangan ekan siz = ∇ × ψ, ommaviy uzluksizlik shartsiz qondiriladi. Ushbu yangi bog'liq vektor o'zgaruvchisi bilan Navier-Stoks tenglamasi (yuqoridagi kabi burma olingan) to'rtinchi darajali vektor tenglamasiga aylanadi, endi noma'lum bosim o'zgaruvchisini o'z ichiga olmaydi va endi alohida massa uzluksizligi tenglamasiga bog'liq emas:

${ displaystyle nabla times left ({ frac { qismli} { qismli t}} ( nabla marta { boldsymbol { psi}}) + ( nabla times { boldsymbol { psi} }) cdot nabla ( nabla times { boldsymbol { psi}}) right) = nu nabla times left ( nabla ^ {2} ( nabla times { boldsymbol { psi) }}) o'ng)}$

To'rtinchi darajali hosilalarni o'z ichiga olgan holda, bu tenglama juda murakkab va shuning uchun kamdan-kam uchraydi. E'tibor bering, agar xoch differentsiatsiyasi qoldirilgan bo'lsa, natijada noma'lum vektor maydonini (bosim gradyanini) o'z ichiga olgan uchinchi tartibli vektor tenglamasi olinadi, u yuqoridagi to'rtinchi tartibli tenglamaga nisbatan qo'llanilishi mumkin bo'lgan bir xil chegara shartlaridan aniqlanishi mumkin.

Ortogonal koordinatalarda 2D oqim

Ushbu formulaning haqiqiy foydaliligi oqim ikki o'lchovli bo'lganda va tenglama umumiy holda yozilganda ko'rinadi. ortogonal koordinatalar tizimi, boshqacha aytganda bazis vektorlari ortogonal bo'lgan tizim. Shuni esda tutingki, bu dasturni hech qanday cheklamaydi Dekart koordinatalari, aslida umumiy koordinatalar tizimlarining aksariyati ortogonaldir, shu jumladan tanish bo'lganlar silindrsimon va shunga o'xshash noaniq bo'lganlar toroidal.

3D oqim tezligi quyidagicha ifodalanadi (munozarada hozirgacha koordinatalardan foydalanilmaganligiga e'tibor bering):

${ displaystyle mathbf {u} = u_ {1} mathbf {e} _ {1} + u_ {2} mathbf {e} _ {2} + u_ {3} mathbf {e} _ {3} }$

qayerda e_men shartli ravishda doimiy emas va normallashtirilmagan asosiy vektorlardir va siz_men oqim tezligining tarkibiy qismlari; fazoning koordinatalari ham bo'lsin (x₁, x₂, x₃).

Endi oqim 2 o'lchovli deb taxmin qiling. Bu oqim tekislikda ekanligini anglatmaydi, aksincha, oqim tezligining bir yo'nalishdagi komponenti nolga, qolgan komponentlar esa bir xil yo'nalishga bog'liq emasligini anglatadi. Bunday holda (3 komponentni nolga tenglashtiring):

${ displaystyle mathbf {u} = u_ {1} mathbf {e} _ {1} + u_ {2} mathbf {e} _ {2}; qquad { frac { qismli u_ {1}} { qisman x_ {3}}} = { frac { qisman u_ {2}} { qisman x_ {3}}} = 0}$

Vektor funktsiyasi ψ hali quyidagicha aniqlanadi:

${ displaystyle mathbf {u} = nabla times { boldsymbol { psi}}}$

ammo bu biron bir tarzda soddalashtirishi kerak, chunki oqim 2D ga teng. Agar ortogonal koordinatalar qabul qilinsa, burish juda sodda shaklga ega bo'ladi va yuqoridagi tenglama kengaytirilgan bo'ladi:

${ displaystyle u_ {1} mathbf {e} _ {1} + u_ {2} mathbf {e} _ {2} = { frac { mathbf {e} _ {1}} {h_ {2} h_ {3}}} chap [{ frac { qismli} { qismli x_ {2}}} chap (h_ {3} psi _ {3} o'ng) - { frac { qismli} { qisman x_ {3}}} chap (h_ {2} psi _ {2} o'ng) o'ng] + { frac { mathbf {e} _ {2}} {h_ {3} h_ {1 }}} chap [{ frac { qismli} { qismli x_ {3}}} chap (h_ {1} psi _ {1} o'ng) - { frac { qismli} { qisman x_ {1}}} chap (h_ {3} psi _ {3} o'ng) o'ng] + { frac { mathbf {e} _ {3}} {h_ {1} h_ {2}}} chap [{ frac { qismli} { qisman x_ {1}}} chap (h_ {2} psi _ {2} o'ng) - { frac { qismli} { qisman x_ {2} }} chap (h_ {1} psi _ {1} o'ng) o'ng]}$

Ushbu tenglamani o'rganish biz o'rnatishimiz mumkinligini ko'rsatadi ψ₁ = ψ₂ = 0 va umumiylikni yo'qotmasdan tenglikni saqlang, shunda:

${ displaystyle u_ {1} mathbf {e} _ {1} + u_ {2} mathbf {e} _ {2} = { frac { mathbf {e} _ {1}} {h_ {2} h_ {3}}} { frac { qismli} { qismli x_ {2}}} chap (h_ {3} psi _ {3} o'ng) - { frac { mathbf {e} _ { 2}} {h_ {3} h_ {1}}} { frac { qismli} { qisman x_ {1}}} chap (h_ {3} psi _ {3} o'ng)}$

bu erda muhimligi shundaki, faqat bitta komponent ψ qoladi, shuning uchun 2D oqim faqat bitta bog'liq o'zgaruvchida muammo bo'lib qoladi. O'zaro faoliyat differentsial Navier-Stoks tenglamasi ikkitaga aylanadi 0 = 0 tenglamalar va bitta mazmunli tenglama.

Qolgan komponent ψ₃ = ψ deyiladi oqim funktsiyasi. Uchun tenglama ψ soddalashtirishi mumkin, chunki turli miqdorlar endi nolga teng bo'ladi, masalan:

${ displaystyle nabla cdot { boldsymbol { psi}} = { frac {1} {h_ {1} h_ {2} h_ {3}}} { frac { qismli} { qismli x_ {3 }}} chap ( psi h_ {1} h_ {2} o'ng) = 0}$

agar o'lchov omillari h₁ va h₂ ham mustaqildirlar x₃. Shuningdek, ning ta'rifidan vektorli laplacian

${ displaystyle nabla times ( nabla times { boldsymbol { psi}}) = nabla ( nabla cdot { boldsymbol { psi}}) - nabla ^ {2} { boldsymbol { psi}} = - nabla ^ {2} { boldsymbol { psi}}}$

Yuqoridagi ikkita tenglama va xilma-xilliklardan foydalangan holda xochli differentsiallangan Navier-Stoks tenglamasini manipulyatsiya qilish^[7] oxir-oqibat oqim funktsiyasi uchun 1D skaler tenglamasini beradi:

${ displaystyle { frac { qismli} { qismli t}} chap ( nabla ^ {2} psi right) + ( nabla times { boldsymbol { psi}}) cdot nabla chap ( nabla ^ {2} psi o'ng) = nu nabla ^ {4} psi}$

qayerda ∇⁴ bo'ladi biharmonik operator. Bu juda foydali, chunki u 2D da impuls va massa saqlanishini tavsiflovchi yagona mustaqil skaler tenglama. Bu boshqa tenglamalar qisman differentsial tenglama ehtiyojlar - bu boshlang'ich va chegara shartlari.

Skalyar oqim funksiyasi tenglamasini chiqarish

Tarqatish burish: ${ displaystyle { frac { qismli} { qismli t}} ( nabla marta ( nabla marta { boldsymbol { psi}})) + nabla marta { bigl (} ( nabla times { boldsymbol { psi}}) cdot nabla ( nabla times { boldsymbol { psi}}) { bigr)} = nu nabla times left ( nabla ^ {2} ( nabla times { boldsymbol { psi}}) right)}$ Buruqning burilishini laplasiya bilan almashtirish va kengayadigan konveksiya va qovushqoqlik: ${ displaystyle - { frac { qismli} { qismli t}} chap ( nabla ^ {2} { boldsymbol { psi}} right) + nabla times left ( nabla left ( { frac {( nabla times { boldsymbol { psi}}) cdot ( nabla times { boldsymbol { psi}})} {2}} right) + left ( nabla times ( nabla times { boldsymbol { psi}}) right) times ( nabla times { boldsymbol { psi}}) right) = nu chap ( nabla ^ {2} ( nabla ( nabla cdot { boldsymbol { psi}})) - nabla ^ {4} { boldsymbol { psi}} right)}$ Yuqorida, gradientning burmasi nolga, divergentsiyasi esa ψ nolga teng. Salbiy: ${ displaystyle { frac { qismli} { qismli t}} chap ( nabla ^ {2} { boldsymbol { psi}} o'ng) + nabla times chap ( nabla ^ {2} { boldsymbol { psi}} times ( nabla times { boldsymbol { psi}}) right) = nu nabla ^ {4} { boldsymbol { psi}}}$ O'zaro faoliyat mahsulotning burilishini to'rtta muddatga kengaytirish: ${ displaystyle { frac { qismli} { qismli t}} chap ( nabla ^ {2} { boldsymbol { psi}} right) + ( nabla times { boldsymbol { psi}} ) cdot nabla chap ( nabla ^ {2} { boldsymbol { psi}} right) - left ( nabla ^ {2} { boldsymbol { psi}} right) cdot nabla ( nabla times { boldsymbol { psi}}) + chap ( nabla ^ {2} { boldsymbol { psi}} right) ( nabla cdot ( nabla times { boldsymbol { psi}})) - ( nabla times { boldsymbol { psi}}) left ( nabla cdot left ( nabla ^ {2} { boldsymbol { psi}} right) right) = nu nabla ^ {4} { boldsymbol { psi}}}$ Kengaygan kıvrımın to'rt atamasidan faqat bittasi nolga teng. Ikkinchisi nolga teng, chunki u ortogonal vektorlarning nuqta hosilasi, uchinchisi nolga teng, chunki u oqim tezligining divergentsiyasini o'z ichiga oladi, to'rtinchisi nolga teng, chunki faqat uch komponentli vektorning divergentsiyasi nolga teng (chunki u shunday deb taxmin qilinadi hech narsa (ehtimol bundan mustasno) h3) uchinchi komponentga bog'liq). ${ displaystyle { frac { qismli} { qismli t}} chap ( nabla ^ {2} { boldsymbol { psi}} right) + ( nabla times { boldsymbol { psi}} ) cdot nabla chap ( nabla ^ {2} { boldsymbol { psi}} right) = nu nabla ^ {4} { boldsymbol { psi}}}$ Ushbu vektor tenglamasi bitta mazmunli skalar tenglamasi va ikkitasi 0 = 0 tenglamalar.

Oqim funktsiyasi tenglamasining taxminlari quyidagilardan iborat:

• Oqim siqilmaydi va Nyutonga tegishli.
• Koordinatalar ortogonal.
• Oqim 2D: siz₃ = ∂siz₁/∂x₃ = ∂siz₂/∂x₃ = 0
• Koordinatalar tizimining dastlabki ikkita masshtablari oxirgi koordinatalarga bog'liq emas: ∂h₁/∂x₃ = ∂h₂/∂x₃ = 0, aks holda qo'shimcha shartlar paydo bo'ladi.

The oqim funktsiyasi ba'zi foydali xususiyatlarga ega:

• Beri −∇²ψ = ∇ × (∇ × ψ) = ∇ × siz, girdob oqim faqat oqim funktsiyasining laplasiyasiga manfiy.
• The egri chiziqlar oqim funktsiyalari soddalashtirishlar.

Stress tensori

Navier-Stoks tenglamasini hosil qilish suyuqlik elementlariga ta'sir qiluvchi kuchlarni hisobga olishni o'z ichiga oladi, shuning uchun miqdor stress tensori ichida tabiiy ravishda paydo bo'ladi Koshi momentum tenglamasi. Ushbu tensorning divergentsiyasi qabul qilinganligi sababli, tenglikni to'liq soddalashtirilgan holda yozish odat tusiga kiradi, shunda kuchlanish tensorining asl qiyofasi yo'qoladi.

Biroq, stress tensori hali ham ba'zi muhim foydalanishga ega, ayniqsa chegara sharoitlarini shakllantirishda suyuqlik interfeyslari. Buni eslab σ = −pMen + τ, Nyuton suyuqligi uchun stress tensori:

${ displaystyle sigma _ {ij} = - p delta _ {ij} + mu chap ({ frac { qismli u_ {i}} { qisman x_ {j}}} + { frac { qisman u_ {j}} { qisman x_ {i}}} o'ng) + delta _ {ij} lambda nabla cdot mathbf {u}.}$

Agar suyuqlik siqilmaydi deb taxmin qilinsa, tensor sezilarli darajada soddalashadi. Masalan, 3D dekartiyali koordinatalarda:

${ displaystyle { begin {aligned} { boldsymbol { sigma}} & = - { begin {pmatrix} p & 0 & 0 0 & p & 0 0 & 0 & p end {pmatrix}} + mu { begin {pmatrix} 2 displaystyle { frac { qismli u} { qisman x}} va displaystyle {{ frac { qisman u} { qisman y}} + { frac { qismli v} { qismli x}}} va displaystyle {{ frac { kısmi u} { qismli z}} + { frac { qisman w} { qismli x}}} displaystyle {{ frac { qismli v} { qismli x }} + { frac { kısmi u} { qismli y}}} va 2 displaystyle { frac { qisman v} { qisman y}} va displaystyle {{ frac { qisman v} { qismli z}} + { frac { kısalt w} { qismli y}}} displaystyle {{ frac { qismli w} { qisman x}} + { frac { qisman u} { qism z}}} & displaystyle {{ frac { kısalt w} { qisman y}} + { frac { qisman v} { qismli z}}} va 2 displaystyle { frac { qisman w} { qismli z}} end {pmatrix}} [6px] & = - p mathbf {I} + mu left ( nabla mathbf {u} + left ( nabla mathbf {u} o'ng) ^ { mathsf {T}} right) [6px] & = - p mathbf {I} +2 mu mathbf {e} end {aligned}}}$

e bo'ladi kuchlanish darajasi tenzor, ta'rifi bo'yicha:

${ displaystyle e_ {ij} = { frac {1} {2}} chap ({ frac { qismli u_ {i}} { qisman x_ {j}}} + { frac { qismli u_ {) j}} { qisman x_ {i}}} o'ng).}$

Adabiyotlar

• Batchelor, G. K. (2000). Suyuqlik dinamikasiga kirish. Nyu-York: Kembrij universiteti matbuoti. ISBN  978-0-521-66396-0.
• Oq, Frank M. (2006). Viskoz suyuqlik oqimi (3-nashr). Nyu-York: McGraw Hill. ISBN  0-07-240231-8.
• Yuzaki kuchlanish moduli, John W. M. Bush tomonidan, da MIT OCW
• Galdi, Navier-Stoks tenglamalarining matematik nazariyasiga kirish: barqaror holat masalalari. Springer 2011 yil