Diskret-barqaror taqsimot - Discrete-stable distribution

The diskret-barqaror taqsimotlar^[1] sinfidir ehtimollik taqsimoti bunday taqsimotdan bir nechta tasodifiy o'zgaruvchilar yig'indisi bir oilaga ko'ra taqsimlanadigan xususiyat bilan. Ular-ning diskret analogidir doimiy va barqaror taqsimotlar.

Diskret-barqaror taqsimotlar ko'plab sohalarda, xususan, ishlatilgan shkalasiz tarmoqlar kabi Internet, ijtimoiy tarmoqlar^[2] yoki hatto semantik tarmoqlar.^[3]

Barqaror taqsimotning diskret va uzluksiz sinflari kabi xususiyatlarga ega cheksiz bo'linish, kuch qonuni quyruq va noodatiylik.

Eng taniqli diskret barqaror taqsimot bu Poissonning tarqalishi bu alohida holat bo'lib, u uchun yagona diskret-barqaror taqsimot anglatadi va barchasi yuqori darajadagi lahzalar cheklangan.^{[shubhali – muhokama qilish]}

Ta'rif

Diskret-barqaror taqsimotlar aniqlangan^[4] ular orqali ehtimollik hosil qiluvchi funktsiya

{ displaystyle G (s | nu, a) = sum _ {n = 0} ^ { infty} P (N | nu, a) (1-s) ^ {N} = exp (-as ^ { nu}).}

Yuqorida, ${ displaystyle a> 0}$ o'lchov parametridir va ${ displaystyle 0 < nu leq 1}$ kuch-qonun xatti-harakatini shunday tasvirlaydi ${ displaystyle 0 < nu <1}$ ,

{ displaystyle lim _ {N to infty} P (N | nu, a) sim { frac {1} {N ^ { nu +1}}}.}

Qachon ${ displaystyle nu = 1}$ tarqatish tanish bo'lib qoladi Poissonning tarqalishi o'rtacha bilan ${ displaystyle a}$ .

Dastlabki taqsimot ishlab chiqaruvchi funktsiyani takroriy farqlash orqali tiklanadi:

{ displaystyle P (N | nu, a) = chap. { frac {(-1) ^ {N}} {N!}} { frac {d ^ {N} G (s | nu, a)} {ds ^ {N}}} right | _ {s = 1}.}

A yopiq shakldagi ifoda diskret-barqaror taqsimotlarning ehtimollik taqsimoti uchun elementar funktsiyalardan foydalanish, Puasson holatidan tashqari ma'lum emas.

{ displaystyle ! P (N | nu = 1, a) = { frac {a ^ {N} e ^ {- a}} {N!}}.}

Biroq, iboralar mavjud maxsus funktsiyalar ish uchun ${ displaystyle nu = 1/2}$ ^[5] (xususida Bessel funktsiyalari ) va ${ displaystyle nu = 1/3}$ ^[6] (xususida gipergeometrik funktsiyalar ).

Murakkab ehtimollik taqsimoti sifatida

Diskret-barqaror taqsimotlarning butun klassi Poisson sifatida shakllanishi mumkin aralash ehtimollik taqsimoti o'rtacha qaerda, ${ displaystyle lambda}$ , Puasson taqsimoti a bilan tasodifiy o'zgaruvchi sifatida aniqlanadi ehtimollik zichligi funktsiyasi (PDF). O'rtacha PDF bir tomonlama bo'lsa doimiy-barqaror taqsimot barqarorlik parametri bilan ${ displaystyle 0 < alfa <1}$ va o'lchov parametri ${ displaystyle c}$ natijada tarqatish^[7] indeks bilan diskret-barqaror ${ displaystyle nu = alfa}$ va o'lchov parametri ${ displaystyle a = c sec ( alpha pi / 2)}$ .

Rasmiy ravishda bu shunday yozilgan:

{ displaystyle P (N | alfa, c sec ( alfa pi / 2)) = int _ {0} ^ { infty} P (N | 1, lambda) p ( lambda; alpha , 1, c, 0) , d lambda}

qayerda ${ displaystyle p (x; alfa, 1, c, 0)}$ simmetriya parametri bilan bir tomonlama doimiy va barqaror taqsimotning pdf ${ displaystyle beta = 1}$ va joylashish parametri ${ displaystyle mu = 0}$ .

Umumiy natija^[6] dan birikma taqsimotini hosil qiladi har qanday indeksli diskret-barqaror taqsimot ${ displaystyle nu}$ indeksli bir tomonlama doimiy barqaror taqsimot bilan ${ displaystyle alpha}$ natijada diskret-barqaror taqsimot ko'rsatkichi bilan ${ displaystyle nu cdot alfa}$ , dastlabki taqsimotning kuch-qonun indeksini bir marta kamaytirish ${ displaystyle alpha}$ .

Boshqa so'zlar bilan aytganda,

{ displaystyle P (N | nu cdot alfa, c sec ( pi alpha / 2)) = int _ {0} ^ { infty} P (N | alfa, lambda) p ( lambda; nu, 1, c, 0) , d lambda.}

Puasson chegarasida

Chegarada ${ displaystyle nu rightarrow 1}$ , diskret-barqaror taqsimotlar o'zini tutadi^[7] kabi Poissonning tarqalishi o'rtacha bilan ${ displaystyle a sec ( nu pi / 2)}$ kichik uchun ${ displaystyle N}$ , ammo uchun ${ displaystyle N gg 1}$ , kuch-qonun dumi ustunlik qiladi.

I.i.ning yaqinlashishi kuch-quvvat dumlari bilan tasodifiy o'zgaradi ${ displaystyle P (N) sim 1 / N ^ {1+ nu}}$ diskret-barqaror taqsimotga nisbatan juda sekin^[8] qachon ${ displaystyle nu taxminan 1}$ - chegara qachon Puasson taqsimotiga teng bo'ladi ${ displaystyle nu> 1}$ va ${ displaystyle P (N | nu, a)}$ qachon ${ displaystyle nu leq 1}$ .

Shuningdek qarang

Adabiyotlar

^ Steutel, F. V.; van Xarn, K. (1979). "O'z-o'zini parchalanishi va barqarorligining alohida analoglari" (PDF). Ehtimollar yilnomasi. 7 (5): 893–899. doi:10.1214 / aop / 1176994950.
^ Barabasi, Albert-Laslo (2003). Bog'langan: hamma narsa boshqa narsalar bilan qanday bog'liq va bu biznes, fan va kundalik hayot uchun nimani anglatadi. Nyu-York, Nyu-York: Olxo'ri.
^ Steyvers, M .; Tenenbaum, J. B. (2005). "Semantik tarmoqlarning keng ko'lamli tuzilishi: statistik tahlillar va semantik o'sish modeli". Kognitiv fan. 29 (1): 41–78. arXiv:kond-mat / 0110012. doi:10.1207 / s15516709cog2901_3. PMID 21702767. S2CID 6000627.
^ Hopcraft, K. I .; Jakeman, E .; Matthews, J. O. (2002). "Diskret barqaror tasodifiy jarayonni yaratish va monitoring qilish". Fizika jurnali A. 35 (49): L745-752. Bibcode:2002 yil JPhA ... 35L.745H. doi:10.1088/0305-4470/35/49/101.
^ Metyus, J. O .; Hopcraft, K. I .; Jakeman, E. (2003). "Ko'plab immigratsiya modellaridan foydalangan holda diskret barqaror tasodifiy jarayonlarni yaratish va monitoring qilish". Fizika jurnali A. 36 (46): 11585–11603. Bibcode:2003JPhA ... 3611585M. doi:10.1088/0305-4470/36/46/004.
^ ^a ^b Lee, W.H. (2010). Stoxastik jarayonlarning uzluksiz va diskret xususiyatlari (Doktorlik dissertatsiyasi). Nottingem universiteti.
^ ^a ^b Li, V. X.; Hopcraft, K. I .; Jakeman, E. (2008). "Doimiy va diskret barqaror jarayonlar". Jismoniy sharh E. 77 (1): 011109-1 dan 011109-04 gacha. Bibcode:2008PhRvE..77a1109L. doi:10.1103 / PhysRevE.77.011109. PMID 18351820.
^ Hopcraft, K. I .; Jakeman, E .; Matthews, J. O. (2004). "Alohida masshtabsiz tarqatish va unga bog'liq chegara teoremalari". Fizika jurnali A. 37 (48): L635-L642. Bibcode:2004 yil JPhA ... 37L.635H. doi:10.1088 / 0305-4470 / 37/48 / L01.

Qo'shimcha o'qish

Feller, V. (1971) Ehtimollar nazariyasiga kirish va uning qo'llanilishi, 2-jild. Uili. ISBN 0-471-25709-5
Gnedenko, B. V .; Kolmogorov, A. N. (1954). Mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar summasi uchun cheklangan taqsimot. Addison-Uesli.
Ibragimov, I .; Linnik, Yu (1971). Tasodifiy o'zgaruvchilarning mustaqil va statsionar ketma-ketliklari. Wolters-Noordhoff nashriyoti Groningen, Gollandiya.

[SteutelvanHarn1979-1] Steutel, F. V.; van Xarn, K. (1979). "O'z-o'zini parchalanishi va barqarorligining alohida analoglari" (PDF). Ehtimollar yilnomasi. 7 (5): 893–899. doi:10.1214 / aop / 1176994950.

[2] Barabasi, Albert-Laslo (2003). Bog'langan: hamma narsa boshqa narsalar bilan qanday bog'liq va bu biznes, fan va kundalik hayot uchun nimani anglatadi. Nyu-York, Nyu-York: Olxo'ri.

[3] Steyvers, M .; Tenenbaum, J. B. (2005). "Semantik tarmoqlarning keng ko'lamli tuzilishi: statistik tahlillar va semantik o'sish modeli". Kognitiv fan. 29 (1): 41–78. arXiv:kond-mat / 0110012. doi:10.1207 / s15516709cog2901_3. PMID 21702767. S2CID 6000627.

[4] Hopcraft, K. I .; Jakeman, E .; Matthews, J. O. (2002). "Diskret barqaror tasodifiy jarayonni yaratish va monitoring qilish". Fizika jurnali A. 35 (49): L745-752. Bibcode:2002 yil JPhA ... 35L.745H. doi:10.1088/0305-4470/35/49/101.

[5] Metyus, J. O .; Hopcraft, K. I .; Jakeman, E. (2003). "Ko'plab immigratsiya modellaridan foydalangan holda diskret barqaror tasodifiy jarayonlarni yaratish va monitoring qilish". Fizika jurnali A. 36 (46): 11585–11603. Bibcode:2003JPhA ... 3611585M. doi:10.1088/0305-4470/36/46/004.

[LeeThesis2009-6] Lee, W.H. (2010). Stoxastik jarayonlarning uzluksiz va diskret xususiyatlari (Doktorlik dissertatsiyasi). Nottingem universiteti.

[LeeHopcraftJakeman2008-7] Li, V. X.; Hopcraft, K. I .; Jakeman, E. (2008). "Doimiy va diskret barqaror jarayonlar". Jismoniy sharh E. 77 (1): 011109-1 dan 011109-04 gacha. Bibcode:2008PhRvE..77a1109L. doi:10.1103 / PhysRevE.77.011109. PMID 18351820.

[HopcraftJakemanMatthews2004-8] Hopcraft, K. I .; Jakeman, E .; Matthews, J. O. (2004). "Alohida masshtabsiz tarqatish va unga bog'liq chegara teoremalari". Fizika jurnali A. 37 (48): L635-L642. Bibcode:2004 yil JPhA ... 37L.635H. doi:10.1088 / 0305-4470 / 37/48 / L01.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]